第三節平面向量的數量積及平面向量應用舉例1平面向量的數量積與向量的模已知|a|＝2，|b|＝3，a，b的夾角為120°，求：(1)a·b；(2)

；(3)(2a－b)·(a＋3b)；(4)|a＋b|.2解

分析用數量積和模的定義以及運算性質，逐題計算．3

規律總結

(1)向量的數量積的運算結果是一個數量，平面向量的數量積運算類似多項式的乘法．

(2)利用數量積求模問題是數量積的重要應用，根據實際合理選擇以下公式：①②③4變式訓練1已知點A(6,1)、B(1,3)、C(3,1)，則向量在向量方向上的投影是________．

【解析】

5【答案】平面向量的數量積與兩向量的夾角已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：(1)a與b的夾角；(2)a－b與a＋b的夾角的余弦值．6分析先求出|b|，|a－b|和|a＋b|的值，再運用夾角公式即可求出．解78

規律總結求兩向量的夾角的余弦值需要求兩向量的數量積和兩向量的模，由此我們可進一步體會到向量的夾角、向量的模和向量的數量積的關系．9變式訓練２已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosφ，sinφ)，且a與b之間滿足關系|ka＋b|＝|a－kb|，其中k∈R且k＞0.(1)用k表示a·b；(2)求a·b的最小值，并求此時a與b夾角θ的大小．10【解析】11又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a與b的夾角為60°.12平面向量的數量積與向量垂直已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是120°，k為何值時，(a＋2b)⊥(ka－b)?分析向量垂直的充要條件可得(a＋2b)·(ka－b)＝0，可得含k的方程組，則問題可解

13解

14規律總結

(1)非零向量a·b＝0?a⊥b是非常重要的性質，它對于解決平面幾何圖形中有關垂直的問題十分有效，應熟練掌握．(2)若a＝，b＝，則a⊥b?.15

變式訓練３(精選考題·浙江高考·改編)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，則|2α＋β|＝________.．16【解析】

【答案】17平面向量的綜合應用問題(12分)

在平面直角坐標系xOy中，經過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在常數k，使得向量共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由

18

分析1)聯立直線與橢圓方程，整理成關于x的一元二次方程，由于直線與橢圓有兩個不同的交點，則Δ>0.(2)根據向量共線規律，轉化為A，B的坐標關系．19①...3分

20由方程①得②………..7分③...8分21將②③代入上式，解得

...10分

22規律總結新課標強調向量的工具性，要求加強向量與三角函數、函數、解析幾何等知識的聯系，因此，把各知識綜合起來的問題必將是高考的趨勢．在解決這類問題時應分清層次，明確向量在綜合問題中的作用，把復雜問題分解為多個簡單問題來解決．

23

變式訓練４

24【解析】25263.a、b的夾角是銳角?a·b>0且a、b不同向．4.a、b的夾角是鈍角?a·b<0且a、b不反向．5.a·b＝a·c?a·(b－c)＝0但一般不能得到b＝c.6.(a·b)c與a(b·c)一般不相等．7.用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：2728已知兩定點A(1,1)，B(1,5)，點P在直線l：y＝2x＋1上，求使得∠APB為鈍角的P點的橫坐標的取值范圍．

29錯解

30經常不斷地學習,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe寫在最后31