2021年湖南省湘潭市湘鄉大田中學高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知在復平面內對應的點為P，則P點不可能在（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：B【分析】分、、、和五種情況討論，分析復數的實部和虛部的符號，可得出點可能所在的位置.【詳解】當時，則，，此時復數所對應的點在第三象限；當時，則，則復數所對應的點在軸上；當時，則，，此時復數所對應的點在第四象限；當時，則，此時復數所對應的點在軸上；當時，則，，此時復數所對應的點在第一象限.因此，點不可能在第二象限.故選：B.【點睛】本題考查復數對應點所在的象限，解題時要從復數的實部和虛部的符號來進行分析，考查分類討論思想的應用，屬于基礎題.2.已知集合A={x|x－1≥0}，B={0,1,2}，則A∩B=A．{0} B．{1} C.{1,2} D．{0,1,2}參考答案：C解答：∵，，∴.故選C.

3.設雙曲線的一個焦點為，虛軸的一個端點為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D4.已知函數，若則（）

A． B．－ C．2 D．－2參考答案：B5.已知集合，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A6.將某選手的7個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，剩余5個分數的平均數為91，現場作的7個分數的莖葉圖有一個數據模糊，無法辨認，在圖中以表示，則5個剩余分數的方差為（

）A．

B．

C.6

D．30參考答案：C7.設是虛數單位，若復數是純虛數，則的值為（

）A．

B．

C．1

D．3參考答案：D略8.若點P為拋物線C：上的動點，F為C的焦點，則的最小值為A.1

B. C.

D.參考答案：D9.如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，則由圖形中的數據，可以估計眾數與中位數分別是()A．12.512.5

B．12.513C．1312.5 D．1313參考答案：B10.

條件，條件，則是的

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件參考答案：答案：A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對于數列{an}，若?m，n∈N*（m≠n），均有（t為常數），則稱數列{an}具有性質P（t）（1）若數列{an}的通項公式為an=n2，具有性質P（t），則t的最大值為

（2）若數列{an}的通項公式為an=n2﹣，具有性質P（7），則實數a的取值范圍是

．參考答案：3;a≥8.【考點】數列遞推式；全稱命題．【專題】函數思想；歸納法；點列、遞歸數列與數學歸納法．【分析】（1）若數列{an}的通項公式為an=n2，具有性質P（t），則t的最大值為（2）根據定義≥7恒成立，利用參數分離法進行求解即可．【解答】解：（1）若數列{an}的通項公式為an=n2，具有性質P（t），則==m+n，由得m+n≥t，∵?m，n∈N*（m≠n），∴當m+n=1+2時，t≤3，則t的最大值為3．（2）若數列{an}的通項公式為an=n2﹣，具有性質P（7），則≥7恒成立，即==m+n+≥7，即當m=1，n=2時，=m+n+=1+2+≥7，即≥4則a≥8．故答案為：3，a≥8【點評】本題主要考查遞推數列的應用，以及不等式恒成立問題，考查學生的運算和推理能力．12.（幾何證明選講選做題）如圖，是⊙的直徑，是延長線上的一點，過作⊙的切線，切點為，，若，則⊙的直徑__________

參考答案：413.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為______．參考答案：20π【分析】由幾何體的直觀圖為三棱錐，其中的外接圓的圓心為，的外接圓的圓心為，的球心為，球的半徑為，且平面，平面，在和中，分別求得和，根據球的性質，求得求得半徑，即可求解外接球的表面積。【詳解】由三視圖可推知，幾何體的直觀圖為三棱錐，如圖所示，其中的外接圓的圓心為，的外接圓的圓心為，的球心為，球的半徑為，且平面，平面.因為是頂角為的等腰三角形，所以的外接圓的直徑為，即，即，又由為邊長為的等邊三角形，所以，即，根據球的性質，可得，所以外接球的表面積為.【點睛】本題主要考查了球的表面積的計算，以及三棱錐外接球的性質的應用，其中解答中根據幾何體的結構特征和球的性質求得球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力，以及運算與求解能力，屬于中檔試題。14.在中，點在線段的延長線上，且，點在線段上（與點不重合），若，則的取值范圍是

．參考答案：15.設是的重心，且，則角的大小為

．參考答案：略16.函數y=lg（1﹣）+的定義域是

．參考答案：[log23，+∞）【考點】函數的定義域及其求法．【專題】函數的性質及應用．【分析】根據函數成立的條件，即可求出函數的定義域．【解答】解：要使函數有意義，則，即，∴x≥log23，即函數的定義域為[log23，+∞），故答案為：[log23，+∞）【點評】本題主要考查函數定義域的求法，要求熟練掌握常見函數成立的條件，比較基礎．17.若函數的反函數為，則

▲

．參考答案：3

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題共12分，第Ⅰ問5分，第Ⅱ問7分），，，平面⊥平面，是線段上一點，，．（Ⅰ）證明：⊥平面；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值．參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）

19.（本題滿分10分）選修4-5:不等式選講

設函數f(x)=|x-2|-|2x+l|．(I)求不等式f(x)≤x的解集；(II)若不等式f(x)≥t2一t在x∈[-2，-1]時恒成立，求實數t的取值范圍．參考答案：20.已知函數(1)當x∈時，求函數f(x)的最小值和最大值.(2)設△ABC的內角A,B,C的對應邊分別為a,b,c，且c=f(C)=0，若向量m=(1,sinA)與向量n=(2,sinB)共線，求a,b的值．參考答案：略21.已知f（x）=（x﹣a）2+（lnx2﹣2a）2，其中x＞0，a∈R，存在x0使f（x0）≤，求a的值．參考答案：【考點】3R：函數恒成立問題．【分析】把f（x）=（x﹣a）2+（lnx2﹣2a）2看作是動點P（x，lnx2）與動點Q（a，2a）之間距離的平方，然后把存在x0使f（x0）≤轉化為直線y=2x與曲線y=2lnx上點的距離的最小值小于等于，再利用導數得答案．【解答】解：f（x）=（x﹣a）2+（lnx2﹣2a）2可以看作是動點P（x，lnx2），與動點Q（a，2a）之間距離的平方，動點P在函數y=2lnx的圖象上，Q在直線y=2x上，問題存在x0使f（x0）≤，轉化為求直線y=2x上的動點到曲線的最小距離，對函數y=2lnx求導，得，由，解得x=1，此時直線y=2x與曲線y=2lnx的切點為（1，0），∴直線y=2x上的動點與曲線y=2lnx上點的最小距離為d=，∴，根據題意，要使f（x0）≤，則，此時Q恰好為垂足，即，解得a=．22.(本小題滿分13分)已知函數,其中為大于零的常數,,函數的圖像與坐標軸交點處的切線為,函數的圖像與直線交點處的切線為,且.(I)若在閉區間上存在使不等式成立,求實數的取值范圍;(II)對于函數和公共定義域內的任意實數,我們把的值稱為兩函數在處的偏差.求證:函數和在其公共定義域內的所有偏差都大于2.參考答案：解:(I)函數的圖像與坐標軸的交點為,又,.函數的圖像與直線的交點為,又,.由題意可知,,又,所以.……………………3分不等式