江蘇省常州市第二職業中學2021年高三數學文聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，則f(x)>1的解集為()A．(－1,0)∪(0，e)B．(－∞，－1)∪(e，＋∞)C．(－1,0)∪(e，＋∞)D．(－∞，1)∪(e，＋∞)參考答案：C2.過雙曲線的左焦點，作圓的切線交雙曲線右支于點，切點為，的中點在第一象限，則以下結論正確的是(

)A．

B．

C.

D．參考答案：A3.設a,b,c是三條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面.已知α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,則下列四個命題中不一定成立的是 A.若a,b相交,則a,b,c三線共點 B.若a,b平行,則a,b,c兩兩平行C.若a,b垂直,則a,b,c兩兩垂直 D.若α⊥γ,β⊥γ,則a⊥γ參考答案：C 本題主要考查立體幾何中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等,意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力.解題時,對選項逐個驗證,可以借助線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理與性質定理等.空間中點、線、面的位置關系是客觀題的常考題,借助幾何模型,強化空間想象能力,完善邏輯推理,是解題成功的關鍵. 選項A顯然正確;對于選項B,三個平面兩兩相交,若a,b平行,則a,b,c兩兩平行;對于選項D,如圖,在平面α內作直線m⊥b,在平面β內作直線n⊥c,因為α⊥γ,β⊥γ,所以m⊥γ,n⊥γ,所以m∥n.又m?α,n?α,所以n∥α,又n?β,α∩β=a,所以n∥a.又n⊥γ,所以a⊥γ.故選C. 4.設f(x)為定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數)，則f(－1)＝()A．3

B．1C．－1

D．－3參考答案：D5.已知等差數列的前n項和為，且=

（

）A．18

B．36

C．54

D．72參考答案：D略6.若α∈R，則“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】當“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，當“sinα＜cosα”時，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要條件．【解答】解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，當“sinα＜cosα”時，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要條件，故選A．7.圓錐的側面展開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸截面是

A.等邊三角形

B.等腰直角三角形C.頂角為30°的等腰三角形

D.其他等腰三角形參考答案：A8.為了得到函數的圖像，只需把函數的圖像(

)A．向左平移個長度單位

B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位

D．向右平移個長度單位參考答案：A9.對任意實數x，若表示不超過的最大整數，則“”是“”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：B10.（5分）已知函數f（x）=loga（2x+b﹣1）（a＞0，且a≠1）在R上單調遞增，且2a+b≤4，則的取值范圍為（）A．B．C．D．參考答案：A【考點】：復合函數的單調性；基本不等式．【專題】：函數的性質及應用．【分析】：由條件可得a＞1，且b≥1．再根據2a+b≤4，可得1≤b＜2，1＜a≤，故有≤＜1，∴≤＜2，從而求得的取值范圍．解：已知函數f（x）=loga（2x+b﹣1）（a＞0，且a≠1）在R上單調遞增，而函數t=2x+b﹣1是R上的增函數，故有a＞1．再根據t＞0恒成立可得b≥1．又2a+b≤4，∴1≤b＜2，∴2a≤3，∴1＜a≤，≤＜1，∴≤＜2，二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數列，對任意的，當時，；當時，，那么該數列中的第個是該數列的第

項．參考答案：略12.二次函數的部分對應值如下表：－3－2－10123460－4－6－6－406則不等式的解集是

．參考答案：13.定義某種運算，運算原理如右圖所示，則式子的值為

。參考答案：1314.已知角α的終邊上一點的坐標為，則角α的最小正值為

．參考答案：略15.如圖，為測量出山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點，從點測得點的仰角，點的仰角，以及，從點測得，已知山高，則山高

．參考答案：試題分析:設山高,則由題設,在中,由正弦定理可得,解之得,故應填答案.考點：正弦定理及解直角三角形的有關知識及綜合運用．16.設復數滿足，其中為虛數單位，則的虛部為

.參考答案：試題分析：，所以虛部為考點：復數概念【名師點睛】本題重點考查復數的基本運算和復數的概念，屬于基本題.首先對于復數的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規思路，如.其次要熟悉復數相關基本概念，如復數的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為17.設a、b是實數，且a＋b＝3，則2a＋2b的最大值是______．參考答案：4略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.坐標系與參數方程

已知曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系，設直線l的參數方程為（t為參數）．（1）求曲線C的直角坐標方程與直線l的普通方程；（2）設曲線C與直線l相交于P、Q兩點，以PQ為一條邊作曲線C的內接矩形，求該矩形的面積．參考答案：略19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C為30°，設PM=tMC，試確定t的值．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定；與二面角有關的立體幾何綜合題．【分析】（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC=AD，Q為AD的中點，知四邊形BCDQ為平行四邊形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能夠證明平面PQB⊥平面PAD．法二：由AD∥BC，BC=AD，Q為AD的中點，知四邊形BCDQ為平行四邊形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此證明平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）由PA=PD，Q為AD的中點，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q為原點建立空間直角坐標系，利用向量法能夠求出t=3．【解答】解：（Ⅰ）證法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q為AD的中點，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）證法二：AD∥BC，BC=AD，Q為AD的中點，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）（Ⅱ）∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系．則平面BQC的法向量為；Q（0，0，0），，，．設M（x，y，z），則，，∵，∴，∴…（12分）在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量為．…（13分）∵二面角M﹣BQ﹣C為30°，∴，∴t=3．…（15分）【點評】本題考查平面與平面垂直的證明，求實數的取值．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化，合理地運用向量法進行解題．20.若函數在處取得極大值或極小值，則稱為函數的極值點。已知是實數，1和是函數的兩個極值點．（1）求和的值；（2）設函數的導函數，求的極值點；（3）設，其中，求函數的零點個數．參考答案：解：（1）由，得。

∵1和是函數的兩個極值點，

∴，，解得。

（2）∵由（1）得，，

∴，解得。

∵當時，；當時，，

∴是的極值點。

∵當或時，，∴不是的極值點。

∴的極值點是－2。（3）令，則。先討論關于的方程根的情況：當時，由（2）可知，的兩個不同的根為I和一2，注意到是奇函數，∴的兩個不同的根為一和2。當時，∵，，∴一2,－1，1，2都不是的根。由（1）知。①當時，，于是是單調增函數，從而。此時在無實根。②當時．，于是是單調增函數。又∵，，的圖象不間斷，∴在（1,2）內有唯一實根。同理，在（一2，一I）內有唯一實根。③當時，，于是是單調減兩數。又∵，，的圖象不間斷，∴在（一1，1）內有唯一實根。因此，當時，有兩個不同的根滿足；當時有三個不同的根，滿足。現考慮函數的零點：(i）當時，有兩個根，滿足。而有三個不同的根，有兩個不同的根，故有5個零點。(11）當時，有三個不同的根，滿足。而有三個不同的根，故有9個零點。綜上所述，當時，函數有5個零點；當時，函數有9個零點。略21.（2017?樂山二模）已知橢圓C：的離心率為，其左、右焦點分別為F1，F2，點P是坐標平面內一點，且，其中O為坐標原點．（1）求橢圓C的方程；（2）過點，且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點，在y軸上是否存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個定點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系．【分析】（1）由橢圓的離心率為，得a2=2c2，設p（m，n），又F1（﹣c，0），F2（c，0），由，列出方程組求出c=1，從而a=，b=1，由此能求出橢圓C的方程．（2）設直線AB為：y=kx﹣，代入橢圓，得：（2k2+1）x2﹣﹣﹣=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數量積，結合已知條件，能求出在y軸上存在定點M（0，1），以AB為直徑的圓恒過這個定點．【解答】解：（1）∵橢圓C：的離心率為，∴=，解得a2=2c2，設p（m，n），又F1（﹣c，0），F2（c，0），∵橢圓C的左、右焦點分別為F1，F2，點P是坐標平面內一點，且，∴，解得c=1，∴a=，b=1，∴橢圓C的方程為=1．（2）設直線AB為：y=kx﹣，代入橢圓，整理，得：（2k2+1）x2﹣﹣﹣=0，△＞0成立，設A（x1，y1），B（x2，y2），則，，設存在定點M（m，0），使=0，則（x1，y1﹣m）?（x2，y2﹣m）==0，整理，得+=0，即﹣16（k2+1）﹣12k2（m+）+9（2k2+1）（m2+）=0，要滿足題意，則有，解得m=1，∴在y軸上存在定點M（0，1），使得以AB為直徑的圓恒過這個定點（0，1）．【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、直線方程、向量的數量積、橢圓性質的合理運用．22.(本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAD為等邊三角形，，，且，，，E為AD中點．（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）若線段PC上存在點Q，使得二面角的大小為30°，求的值．參考答案：解：（Ⅰ）證明：連接，，∵是等邊三角形，