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文檔簡介

江蘇省常州市第二職業中學2021年高三數學文聯考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知,則f(x)>1的解集為()A.(-1,0)∪(0,e)B.(-∞,-1)∪(e,+∞)C.(-1,0)∪(e,+∞)D.(-∞,1)∪(e,+∞)參考答案:C2.過雙曲線的左焦點,作圓的切線交雙曲線右支于點,切點為,的中點在第一象限,則以下結論正確的是(

)A.

B.

C.

D.參考答案:A3.設a,b,c是三條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面.已知α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,則下列四個命題中不一定成立的是 A.若a,b相交,則a,b,c三線共點 B.若a,b平行,則a,b,c兩兩平行C.若a,b垂直,則a,b,c兩兩垂直 D.若α⊥γ,β⊥γ,則a⊥γ參考答案:C 本題主要考查立體幾何中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等,意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力.解題時,對選項逐個驗證,可以借助線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理與性質定理等.空間中點、線、面的位置關系是客觀題的常考題,借助幾何模型,強化空間想象能力,完善邏輯推理,是解題成功的關鍵. 選項A顯然正確;對于選項B,三個平面兩兩相交,若a,b平行,則a,b,c兩兩平行;對于選項D,如圖,在平面α內作直線m⊥b,在平面β內作直線n⊥c,因為α⊥γ,β⊥γ,所以m⊥γ,n⊥γ,所以m∥n.又m?α,n?α,所以n∥α,又n?β,α∩β=a,所以n∥a.又n⊥γ,所以a⊥γ.故選C. 4.設f(x)為定義在R上的奇函數,當x≥0時,f(x)=2x+2x+b(b為常數),則f(-1)=()A.3

B.1C.-1

D.-3參考答案:D5.已知等差數列的前n項和為,且=

)A.18

B.36

C.54

D.72參考答案:D略6.若α∈R,則“α=0”是“sinα<cosα”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件參考答案:A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】當“α=0”可以得到“sinα<cosα”,當“sinα<cosα”時,不一定得到“α=0”,得到“α=0”是“sinα<cosα”的充分不必要條件.【解答】解:∵“α=0”可以得到“sinα<cosα”,當“sinα<cosα”時,不一定得到“α=0”,如α=等,∴“α=0”是“sinα<cosα”的充分不必要條件,故選A.7.圓錐的側面展開圖是直徑為a的半圓面,那么此圓錐的軸截面是

A.等邊三角形

B.等腰直角三角形C.頂角為30°的等腰三角形

D.其他等腰三角形參考答案:A8.為了得到函數的圖像,只需把函數的圖像(

)A.向左平移個長度單位

B.向右平移個長度單位C.向左平移個長度單位

D.向右平移個長度單位參考答案:A9.對任意實數x,若表示不超過的最大整數,則“”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件參考答案:B10.(5分)已知函數f(x)=loga(2x+b﹣1)(a>0,且a≠1)在R上單調遞增,且2a+b≤4,則的取值范圍為()A.B.C.D.參考答案:A【考點】:復合函數的單調性;基本不等式.【專題】:函數的性質及應用.【分析】:由條件可得a>1,且b≥1.再根據2a+b≤4,可得1≤b<2,1<a≤,故有≤<1,∴≤<2,從而求得的取值范圍.解:已知函數f(x)=loga(2x+b﹣1)(a>0,且a≠1)在R上單調遞增,而函數t=2x+b﹣1是R上的增函數,故有a>1.再根據t>0恒成立可得b≥1.又2a+b≤4,∴1≤b<2,∴2a≤3,∴1<a≤,≤<1,∴≤<2,二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數列,對任意的,當時,;當時,,那么該數列中的第個是該數列的第

項.參考答案:略12.二次函數的部分對應值如下表:-3-2-10123460-4-6-6-406則不等式的解集是

.參考答案:13.定義某種運算,運算原理如右圖所示,則式子的值為

。參考答案:1314.已知角α的終邊上一點的坐標為,則角α的最小正值為

.參考答案:略15.如圖,為測量出山高,選擇和另一座山的山頂為測量觀測點,從點測得點的仰角,點的仰角,以及,從點測得,已知山高,則山高

.參考答案:試題分析:設山高,則由題設,在中,由正弦定理可得,解之得,故應填答案.考點:正弦定理及解直角三角形的有關知識及綜合運用.16.設復數滿足,其中為虛數單位,則的虛部為

.參考答案:試題分析:,所以虛部為考點:復數概念【名師點睛】本題重點考查復數的基本運算和復數的概念,屬于基本題.首先對于復數的四則運算,要切實掌握其運算技巧和常規思路,如.其次要熟悉復數相關基本概念,如復數的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為17.設a、b是實數,且a+b=3,則2a+2b的最大值是______.參考答案:4略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.坐標系與參數方程

已知曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ,以極點為原點,極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系,設直線l的參數方程為(t為參數).(1)求曲線C的直角坐標方程與直線l的普通方程;(2)設曲線C與直線l相交于P、Q兩點,以PQ為一條邊作曲線C的內接矩形,求該矩形的面積.參考答案:略19.如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q為AD的中點,M是棱PC上的點,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(1)求證:平面PQB⊥平面PAD;(2)若二面角M﹣BQ﹣C為30°,設PM=tMC,試確定t的值.參考答案:【考點】用空間向量求平面間的夾角;平面與平面垂直的判定;與二面角有關的立體幾何綜合題.【分析】(Ⅰ)法一:由AD∥BC,BC=AD,Q為AD的中點,知四邊形BCDQ為平行四邊形,故CD∥BQ.由∠ADC=90°,知QB⊥AD.由平面PAD⊥平面ABCD,知BQ⊥平面PAD.由此能夠證明平面PQB⊥平面PAD.法二:由AD∥BC,BC=AD,Q為AD的中點,知四邊形BCDQ為平行四邊形,故CD∥BQ.由∠ADC=90°,知∠AQB=90°.由PA=PD,知PQ⊥AD,故AD⊥平面PBQ.由此證明平面PQB⊥平面PAD.(Ⅱ)由PA=PD,Q為AD的中點,知PQ⊥AD.由平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,知PQ⊥平面ABCD.以Q為原點建立空間直角坐標系,利用向量法能夠求出t=3.【解答】解:(Ⅰ)證法一:∵AD∥BC,BC=AD,Q為AD的中點,∴四邊形BCDQ為平行四邊形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°,即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BQ⊥平面PAD.∵BQ?平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.…(9分)證法二:AD∥BC,BC=AD,Q為AD的中點,∴四邊形BCDQ為平行四邊形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°.∵PA=PD,∴PQ⊥AD.∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ.∵AD?平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.…(9分)(Ⅱ)∵PA=PD,Q為AD的中點,∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD.如圖,以Q為原點建立空間直角坐標系.則平面BQC的法向量為;Q(0,0,0),,,.設M(x,y,z),則,,∵,∴,∴…(12分)在平面MBQ中,,,∴平面MBQ法向量為.…(13分)∵二面角M﹣BQ﹣C為30°,∴,∴t=3.…(15分)【點評】本題考查平面與平面垂直的證明,求實數的取值.綜合性強,難度大,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉化,合理地運用向量法進行解題.20.若函數在處取得極大值或極小值,則稱為函數的極值點。已知是實數,1和是函數的兩個極值點.(1)求和的值;(2)設函數的導函數,求的極值點;(3)設,其中,求函數的零點個數.參考答案:解:(1)由,得。

∵1和是函數的兩個極值點,

∴,,解得。

(2)∵由(1)得,,

∴,解得。

∵當時,;當時,,

∴是的極值點。

∵當或時,,∴不是的極值點。

∴的極值點是-2。(3)令,則。先討論關于的方程根的情況:當時,由(2)可知,的兩個不同的根為I和一2,注意到是奇函數,∴的兩個不同的根為一和2。當時,∵,,∴一2,-1,1,2都不是的根。由(1)知。①當時,,于是是單調增函數,從而。此時在無實根。②當時.,于是是單調增函數。又∵,,的圖象不間斷,∴在(1,2)內有唯一實根。同理,在(一2,一I)內有唯一實根。③當時,,于是是單調減兩數。又∵,,的圖象不間斷,∴在(一1,1)內有唯一實根。因此,當時,有兩個不同的根滿足;當時有三個不同的根,滿足。現考慮函數的零點:(i)當時,有兩個根,滿足。而有三個不同的根,有兩個不同的根,故有5個零點。(11)當時,有三個不同的根,滿足。而有三個不同的根,故有9個零點。綜上所述,當時,函數有5個零點;當時,函數有9個零點。略21.(2017?樂山二模)已知橢圓C:的離心率為,其左、右焦點分別為F1,F2,點P是坐標平面內一點,且,其中O為坐標原點.(1)求橢圓C的方程;(2)過點,且斜率為k的直線l交橢圓于A,B兩點,在y軸上是否存在定點M,使得以AB為直徑的圓恒過這個定點?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.參考答案:【考點】直線與橢圓的位置關系.【分析】(1)由橢圓的離心率為,得a2=2c2,設p(m,n),又F1(﹣c,0),F2(c,0),由,列出方程組求出c=1,從而a=,b=1,由此能求出橢圓C的方程.(2)設直線AB為:y=kx﹣,代入橢圓,得:(2k2+1)x2﹣﹣﹣=0,由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數量積,結合已知條件,能求出在y軸上存在定點M(0,1),以AB為直徑的圓恒過這個定點.【解答】解:(1)∵橢圓C:的離心率為,∴=,解得a2=2c2,設p(m,n),又F1(﹣c,0),F2(c,0),∵橢圓C的左、右焦點分別為F1,F2,點P是坐標平面內一點,且,∴,解得c=1,∴a=,b=1,∴橢圓C的方程為=1.(2)設直線AB為:y=kx﹣,代入橢圓,整理,得:(2k2+1)x2﹣﹣﹣=0,△>0成立,設A(x1,y1),B(x2,y2),則,,設存在定點M(m,0),使=0,則(x1,y1﹣m)?(x2,y2﹣m)==0,整理,得+=0,即﹣16(k2+1)﹣12k2(m+)+9(2k2+1)(m2+)=0,要滿足題意,則有,解得m=1,∴在y軸上存在定點M(0,1),使得以AB為直徑的圓恒過這個定點(0,1).【點評】本題考查橢圓方程的求法,考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意根的判別式、韋達定理、直線方程、向量的數量積、橢圓性質的合理運用.22.(本小題滿分12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,△PAD為等邊三角形,,,且,,,E為AD中點.(Ⅰ)求證:平面PAD⊥平面ABCD;(Ⅱ)若線段PC上存在點Q,使得二面角的大小為30°,求的值.參考答案:解:(Ⅰ)證明:連接,,∵是等邊三角形,

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