課標(biāo)要求:1.通過具體情境,感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,會用不等式及不等式組表示不等關(guān)系.2.會用作差法(或作商法)比較兩個實(shí)數(shù)或代數(shù)式值的大小.3.掌握不等式的性質(zhì),能運(yùn)用不等式的性質(zhì)解決問題.自主學(xué)習(xí)知識探究(1)不等式的定義在客觀世界中,量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的,我們用數(shù)學(xué)符號>、<、≥、≤、≠連接兩個數(shù)或代數(shù)式來表示它們之間的不等關(guān)系,含有這些不等號的式子,叫做不等式.(2)不等式的分類在兩個不等式中,如果每一個的左邊都大于右邊,或每一個的左邊都小于右邊,這樣的兩個不等式叫做同向不等式;在兩個不等式中,如果一個不等式的左邊大于右邊,而另一個不等式的左邊小于右邊,那么這兩個不等式叫做異向不等式.(3)關(guān)于a≤b和a≥b的含義①不等式a≤b應(yīng)讀作“a小于或者等于b”,其含義是指“或者a<b,或者a=b”,等價于“a不大于b”,即若a<b與a=b之中有一個正確,則a≤b正確.②不等式a≥b應(yīng)讀作“a大于或等于b”,其含義是指“或者a>b,若者a=b”,等價于“a不小于b”,即若a>b與a=b之中有一個正確,則a≥b正確.(4)用不等式表示不等關(guān)系①在現(xiàn)實(shí)生活中,存在著許許多多的不等關(guān)系,在數(shù)學(xué)中,我們用不等式來表示這樣的不等關(guān)系.例如:限速40km/h的路標(biāo),指示司機(jī)在前方路段行駛時,應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h,寫出不等式就是v≤40.②文字語言與數(shù)學(xué)符號之間的轉(zhuǎn)換,將實(shí)際的不等關(guān)系寫成對應(yīng)的不等式時,應(yīng)注意實(shí)際問題中關(guān)鍵性的文字語言與對應(yīng)的數(shù)學(xué)符號之間的正確轉(zhuǎn)換,這關(guān)系到能否正確地用不等式表示出不等關(guān)系.③常見的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于,高于,超過小于,低于,少于大于等于,至少,不低于小于等于,至多,不超過符號語言><≥≤【知識拓展】利用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系(1)在用不等式(組)表示不等關(guān)系時,應(yīng)注意必須是具有相同性質(zhì),可以進(jìn)行比較時,才可用,沒有可比性的兩個(或幾個)量之間不能用不等式(組)來表示.另外,在用不等式(組)表示實(shí)際問題時一定要注意單位的統(tǒng)一.(2)用不等式表示不等關(guān)系的方法①認(rèn)真審題,設(shè)出所求量,并確認(rèn)所求量滿足的不等關(guān)系;②找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞:至少、至多、不少于、不多于、超過、不超過等,用代數(shù)式表示相應(yīng)各量,并用關(guān)鍵詞連接,特別需要考慮的是≤、≥中的“=”能否取得.(3)注意變量的實(shí)際意義體積、面積、長度、質(zhì)量、時間等均為非負(fù)實(shí)數(shù).2.比較實(shí)數(shù)大小的依據(jù)在數(shù)軸上不同的點(diǎn)A與點(diǎn)B分別表示兩個不同的實(shí)數(shù)a與b,右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大.由實(shí)數(shù)減法在數(shù)軸上的表示(如圖所示),可以看出a,b之間具有以下性質(zhì):如果a-b是正數(shù),那么a>b;如果a-b等于零,那么a=b;如果a-b是負(fù)數(shù),那么a<b.反之也成立.就是a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b.【知識拓展】比較兩個實(shí)數(shù)大小的方法(1)作差法:對于兩個實(shí)數(shù)a,b,如果a-b是正數(shù),那么a>b;如果a-b是負(fù)數(shù),那么a<b;如果a-b等于零,那么a=b.反之也成立,即a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b.用表格表示為若數(shù)(式)的符號不明顯,作差后可化為積商的形式同號兩數(shù)比較大小或指數(shù)式之間比較大小要比較的兩數(shù)(式)中有根號(1)作差;(2)變形;(3)判斷符號;(4)下結(jié)論(1)作商;(2)變形;(3)判斷商值與1的大小;(4)下結(jié)論(1)乘方;(2)用作差比較法或作商比較法3.不等式的性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意性質(zhì)1對稱性a>b?b<aa<b?b>a可逆性質(zhì)2傳遞性a>b,b>c?a>cc<b,b<a?c<a同向性質(zhì)3可加性a>b?a+c>b+c可逆性質(zhì)3的推論移項(xiàng)法則a+b>c?a>c-b可逆自我檢測1.某隧道入口豎立著“限高米”的警示牌,是指示司機(jī)要安全通過隧道,應(yīng)使車載貨物高度h滿足關(guān)系為(

)(A)h<4.5 (B)h>4.5 C解析:限高指不超過,所以限高米指h≤4.5.B2.若a>b,c>d,則下列不等關(guān)系中不一定成立的是(

)(A)a-b>d-c (B)a+d>b+c(C)a-c>b-c (D)a-c<a-d解析:由不等式的性質(zhì)易知A,C,D成立,選B.B

3.已知a<b,那么下列式子中,錯誤的是(

)(A)4a<4b (B)-4a<-4b(C)a+4<b+4 (D)a-4<b-4解析:根據(jù)不等式的性質(zhì),a<b,4a<4b,A項(xiàng)正確;a<b,-4a>-4b,B項(xiàng)錯誤;a<b?a+4<b+4,C項(xiàng)正確;a<b?a-4<b-4,D項(xiàng)正確.故選B.4.已知x<1,則x2+2與3x的大小關(guān)系為

.

解析:(x2+2)-3x=(x-1)(x-2).因?yàn)閤<1,所以x-1<0,x-2<0,所以(x-1)(x-2)>0,所以x2+2>3x.答案:x2+2>3x5.若x≥1,y≥2,則2x+y的最小值為

.

解析:因?yàn)閤≥1,所以2x≥2,又y≥2,所以2x+y≥2+2=4.答案:4題型一用不等式來表示不等關(guān)系課堂探究【例1】配制A,B兩種藥劑,需要甲,乙兩種原料.已知配一劑A種藥需甲料3克,乙料5克;配一劑B種藥需甲料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若A,B兩種藥至少各配一劑,設(shè)A,B兩種藥分別配x,y劑(x,y∈N),請寫出x,y應(yīng)滿足的不等關(guān)系式.解:根據(jù)題意可得誤區(qū)警示

(1)利用不等式表示不等關(guān)系時,應(yīng)注意必須是具有相同性質(zhì),可以比較大小的兩個量才可用,沒有可比性的兩個量之間不能用不等式來表示.(2)在用不等式表示實(shí)際問題時,一定要注意單位統(tǒng)一.即時訓(xùn)練1-1:糖水在日常生活中經(jīng)常見到,可以說大部分人都喝過糖水.下列關(guān)于糖水濃度的問題,能提煉出一個怎樣的不等式呢?(1)如果向一杯糖水里加點(diǎn)糖,糖水變甜了;(2)把原來的糖水(淡)與加糖后的糖水(濃)混合到一起,得到的糖水一定比原來的糖水濃、比加糖后的糖水淡.題型二比較大小解:(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).由x≤1得x-1≤0,而3x2+1>0.所以(3x2+1)(x-1)≤0,所以3x3≤3x2-x+1.【例2】(1)已知x≤1,比較3x3與3x2-x+1的大小;(2)已知a>0,b>0,比較aabb與abba的大小.方法技巧(1)利用作差法比較大小的一般步驟為作差——變形——定號——結(jié)論.變形的目的是能判斷符號,變形越徹底就越易判斷符號.常用方法為配方、平方差公式、立方差、立方和公式、通分、因式分解、分子(或分母)有理化等.(2)作商法比較大小一般適用于含冪式、積式、分式且符號確定的數(shù)或式的大小的比較,作商后可變形為能與1比較大小的式子.(2)已知x∈R,m∈R,比較x2-x+1與-2m2-2mx的大小.方法技巧比較兩數(shù)(式)大小常用作差法或作商法,尤其是作商法,是學(xué)習(xí)不等式知識的基本出發(fā)點(diǎn).(1)作差法的步驟:作差——變形——判斷符號——下結(jié)論.(2)作商法的步驟:作商——變形——判斷與1的大小——下結(jié)論.其中,使用作商法比較大小時,要注意兩數(shù)(式子)的符號應(yīng)相同,而作差法沒有這個限制條件.題型三利用不等式性質(zhì)證明不等式【例3】(1)證明不等式:a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R);證明:(1)因?yàn)?(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)=(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2,又a,b,c∈R,所以(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(c-a)2≥0,所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”.所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca).即a2+b2+c2≥ab+bc+ca.(2)若a>b>0,c<d<0,e<0,求證:>.方法技巧用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明時要善于尋找欲證不等式的已知條件,利用相應(yīng)的不等式性質(zhì)證明;要注意觀察一個不等式是不是在某個已知條件的兩邊同乘以(除以)一個常數(shù);一個不等式是不是某兩個同向不等式相加得到的等.即時訓(xùn)練3-1:(1)已知a>b,e>f,c>0.求證:f-ac<e-bc;(2)若bc-ad≥0,bd>0.求證:≤.證明:(1)因?yàn)閍>b,c>0,所以ac>bc,所以-ac<-bc.因?yàn)閒<e,所以f-ac<e-bc.題型四利用不等式的性質(zhì)求取值范圍誤區(qū)警示

題中出現(xiàn)求含有兩個變