第二次課定積分的應用第1頁，課件共50頁，創作于2023年2月三。定積分的應用1.定積分的元素法（參多媒體·）平面圖形面積；直角坐標，極坐標，例1,7體積旋轉體體積，例1,4,5；平行截面面積已知體積，例7；考研題：1,3,5,6物理應用：（1）功例1—5；（2）水壓力例6—7（3）引力例8—9考研題4,8第2頁，課件共50頁，創作于2023年2月

定積分的微元法第3頁，課件共50頁，創作于2023年2月

定積分的應用

定積分是求某種總量的數學模型，它在幾何學、物理學、經濟學、社會學等方面都有著廣泛的應用，顯示了它的巨大魅力.也正是這些廣泛的應用，推動著積分學的不斷發展和完善.因此，在學習的過程中，我們不僅要掌握計算某些實際問題的公式，更重要的還在于深刻領會用定積分解決實際問題的基本思想和方法——微元法，不斷積累和提高數學的應用能力.第4頁，課件共50頁，創作于2023年2月

內容要點在應用學科中廣泛采用的將所求量（總量）表示為定積分的方法——微元法，這個方法的主要步驟如下：一、由分割寫出微元根據具體問題，選取一個積分變量，例如為積分變量，并確定它的變化區間，任取的一個區間，求出相應于這個區間微元上部分量的近似值，即求出所求總量的區間微元，；，并將其表示為：

微元第5頁，課件共50頁，創作于2023年2月二、由微元寫出積分

根據寫出表示總量的定積分應用微元法解決實際問題時，應注意如下兩點：第6頁，課件共50頁，創作于2023年2月1）所求總量關于區間應具有可加性，即如果把區間分成許多部分區間,則分成許多部分量,而等于所有部分量之和.這一要求是由定積分概念本身所決定的;相應地第7頁，課件共50頁，創作于2023年2月（2）使用微元法的關鍵是正確給出部分量的近似表達式，即使得.在通常情況下，要檢驗是否為的高階無窮小并非易事，因此，的合理性.在實際應用要注意第8頁，課件共50頁，創作于2023年2月積分的意義1.定積分可看作一個“高級”的加法—即求和與取極限；即將“微元”在區間[a,b]上進行“累積”這就是“元素法”的思想，因此在用元素法計算定積分時關鍵在于找準“元素”及“累積”的區間[a,b]第9頁，課件共50頁，創作于2023年2月2.這種加法是建立在“平行”意義上的，如果是非平行意義，例如非平行力，則要進行“平行化”處理。3.要注意定積分的應用是有范圍的：其總量必須與某直線段（區間）有關，否則便不能用定積分處理。第10頁，課件共50頁，創作于2023年2月一、旋轉體的體積1.繞x軸旋轉體積微元,旋轉體的體積2.繞y軸旋轉旋轉體的體積

（2）

（1）第11頁，課件共50頁，創作于2023年2月

二、平行截面面積為已知的立體的體積體積微元

所求立體的體積第12頁，課件共50頁，創作于2023年2月注：繞y軸旋轉還可用所謂的“柱殼法”：設由函數y=f(x)，【x，x+dx】

直線：x=a，x=b，x軸圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉：取區間微元：【x，x+dx】其對應的以dx為底，f(x)為高的矩形繞y周旋轉的體積微元為dv=，故繞y軸旋轉的體積為：

（3）第13頁，課件共50頁，創作于2023年2月例1.求x周所圍曲邊梯形繞y軸1的旋轉體體積解1.如應用公式（2）則化成兩個曲邊梯形繞y軸旋轉體積之差（運算麻煩）2.應用公式（3）第14頁，課件共50頁，創作于2023年2月例2.計算擺線相應于的圖形繞x，y軸旋轉所得旋轉體體積。解：方法1.繞y軸旋轉：

的一拱，直線y=0所圍成第15頁，課件共50頁，創作于2023年2月（運算麻煩）方法2.應用公式（3）得：

物理應用第16頁，課件共50頁，創作于2023年2月例1設40牛的力使彈簧從自然長度10厘米拉長成15厘米,問需要作多大的功才能克服彈性恢復力,將伸長的彈簧從15厘米處再拉長3厘米?例2在底面積為的圓柱形容器中盛有一)從點處推移到處.計算在移動過程中,氣體在等溫條件下,由于氣體的膨脹定量的氣體.

,把容器中的一個活塞(面積為壓力所作的功.功第17頁，課件共50頁，創作于2023年2月例3一圓柱形蓄水池高為5米,底半徑為3米,池內盛滿了水.問要把池內的水全部吸出,需作多少功?例4設有一直徑為20m的半球形水池,池內貯滿水,若要把水抽盡,問至少作多少功.例5一個橫放著的圓柱形水桶,桶內盛有半桶水,設桶的底半徑為,水的比重為,計算桶的一端面上所受的壓力.水壓力第18頁，課件共50頁，創作于2023年2月例6將直角邊各為及垂直地浸入水中，斜邊朝下，直角邊的邊長與水面平行，且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊長，求薄板所受的側壓力.的直角三角形薄板引力例7假設有一長度為線密度為的均勻細棒單位處有一質量為的引力.上距棒，在其中垂線試計算該棒對質點的質點第19頁，課件共50頁，創作于2023年2月課堂練習1.有一圓臺形的桶,盛滿了汽油,桶高為3米,上、下底半徑分別為1米及2米,試求將桶內汽油全部吸盡所需作的功(汽油密度2.一矩形水閘門,寬20米,高16米,水面與閘門頂齊,求閘門上所受的總壓力.第20頁，課件共50頁，創作于2023年2月

定積分的應用題解答變力沿直線所作的功例1設40牛的力使彈簧從自然長度10厘米拉長成15厘米,問需要作多大的功才能克服彈性恢復力,將伸長的彈簧從15厘米處再拉長3厘米?解如圖(見系統演示)，根據胡克定律，有分析：應用虎克定理；先求k，再求功第21頁，課件共50頁，創作于2023年2月當彈簧從10厘米拉長到15厘米時，它伸長量完為5厘米＝0.05米.因有即故得于是可寫出這樣，彈簧從15厘米拉長到18厘米，所作的功為(焦).注意：積分區間不要寫成【15,18】，F對應的是彈簧“拉伸”的長度第22頁，課件共50頁，創作于2023年2月例2把一個帶電量的點電荷放在軸上坐標原點處，它產生一個電場，這個電場對周圍的電荷有作用力.由物理學知道,如果一個單位正電荷放在這個電場中距離原點為的地方,那么電場對它的作用力的大小為

第23頁，課件共50頁，創作于2023年2月

如圖6-5-2所示，當這個單位正電荷在電場中從處沿軸移動到處時,計算電場力對它所作的功.分析：用元素法第24頁，課件共50頁，創作于2023年2月解取為積分變量，任取一小區間功微元:所求功為如果要考慮將單位電荷從點移到無窮遠處第25頁，課件共50頁，創作于2023年2月例3在底面積為的圓柱形容器中盛有一)從點處推移到處.計算在移動過程中,氣體在等溫條件下,由于氣體的膨脹定量的氣體.

,把容器中的一個活塞(面積為壓力所作的功.第26頁，課件共50頁，創作于2023年2月.解如圖，活塞的位置可用坐標表示.由物理學知道，一定量的氣體在等溫條件下，壓強與體積的乘積是常數即因為

所以故作用在活塞上的力在氣體膨脹過程中，體積是變的，因而也是變的，所以作用在活塞上的力也是變的.取為積分變量，它的變化區間為第27頁，課件共50頁，創作于2023年2月

或

設為上任一小區間.當活塞從移動到時，變力所作的功近似于即功微元為于是所求的功為

第28頁，課件共50頁，創作于2023年2月例4一圓柱形蓄水池高為5米,底半徑為3米,池內盛滿了水.問要把池內的水全部吸出,需作多少功?解建立如下坐標系，取為積分變量，取任一小區間

這一薄層水的重力為功微元所求功

(千焦).第29頁，課件共50頁，創作于2023年2月例5設有一直徑為20m的半球形水池,池內貯滿水,若要把水抽盡,問至少作多少功.解如圖，選取區間微元相應該微元上的一層水的體積(),抽出這層水需作的功為第30頁，課件共50頁，創作于2023年2月

水壓力例6一個橫放著的圓柱形水桶,桶內盛有半桶水,設桶的底半徑為,水的比重為,計算桶的一端面上所受的壓力.解在桶一端面建立如圖坐標系，取第31頁，課件共50頁，創作于2023年2月小矩形片的壓力微元為

第32頁，課件共50頁，創作于2023年2月例7

將直角邊各為及的直角三角形薄板垂直地浸入水中，斜邊朝下，直角邊的邊長與水面平行，且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊長，求薄板所受的側壓力.解建立如圖坐標系，取任一小區間面積微元第33頁，課件共50頁，創作于2023年2月壓力微元

所求壓力

第34頁，課件共50頁，創作于2023年2月引力例8假設有一長度為、線密度為的均勻細棒，在其中垂線上距棒單位處有一質量為的質點M，試計算該棒對質點的引力.解建立如下坐標系，取為積分變量任取一微元小段與質

第35頁，課件共50頁，創作于2023年2月點的距離為小段對質點的引力水平方向的分力微元由對稱性，在鉛直方向分力為第36頁，課件共50頁，創作于2023年2月例9計算半徑為a,密度為均質的圓形薄板以怎樣的引力吸引質量為m的質點P.此質點位于通過薄板中心Q且垂直于薄板平面的垂直直線上,最短距離PQ等于b.解建立如圖坐標系.由于薄板均質且關于兩坐標軸對稱，在圓心的中垂線上，顯然引力在水平方向的分力為0，在垂直方向的分力指向第37頁，課件共50頁，創作于2023年2月軸的正向，所求的引力看成分布在區間上.選取區間微元對于以為內半徑的圓環，對質點的引力其質量

在y軸方向上的分力為：第38頁，課件共50頁，創作于2023年2月即相應于微元的引力微元從而即所求引力的大小方向指向軸的正向.第39頁，課件共50頁，創作于2023年2月課堂練習1.有一圓臺形的桶,盛滿了汽油,桶高為3米,上、下底半徑分別為1米及2米,試求將桶內汽油全部吸盡所需作的功(汽油密度2.一矩形水閘門,寬20米,高16米,水面與閘門頂齊,求閘門上所受的總壓力.第40頁，課件共50頁，創作于2023年2月

考研題1.設曲線，與交與點A，過坐標原點O與A的直線與曲線圍成一平面圖形，問a為何值時該圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體體積最大？最大體積是多少？第41頁，課件共50頁，創作于2023年2月解：當時，由直線OA的方程為：第42頁，課件共50頁，創作于2023年2月所求旋轉體體積為：

第43頁，課件共50頁，創作于2023年2月2.位于曲線下方，x軸的上方的無界圖形的面積是

解：第44頁，課件共50頁，創作于2023年2月3.設是由拋物線，和直線x=a，x=2和y=0所圍成的平面區域，是由拋物線，和直線x=a，和y=0所圍成的平面區域，其中0<a<2，（1）試求繞y軸旋轉所成的旋轉體體積及繞y軸旋轉所成的旋轉體