第三節(jié)一階線性微分方程第1頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義6.2形如例如線性的;非線性的.上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的.第三節(jié)一階線性微分方程第2頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月齊次方程的通解為1.線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)第3頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.線性非齊次方程討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比:解法第4頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實(shí)質(zhì):未知函數(shù)的變量代換.作變換,設(shè)是的解第5頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解定理6.1(一階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu))一階非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解與一階非齊次線性方程的一個(gè)特解之和第6頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常數(shù)變易法的求解步驟：要求大家熟練掌握第7頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月把所給方程寫成

這是一階非齊次線性方程解先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解再用常數(shù)變易法求式的通解，第8頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月化簡(jiǎn)得積分可得即得所給方程的通解第9頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這是一階非齊次線性方程，可用公式，解，其通解為

其中第10頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方法一公式法解由公式得原方程的通解第11頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方法二常數(shù)變易法所以通解為化簡(jiǎn)，得積分可得由此得到原方程的通解為第12頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解將x看作未知函數(shù)，y看作自變量，這是一階線性微分方程，按一階非齊次線性方程的解法可求出其通解為把方程變形為第13頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解第14頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排出鹽的速率為(克/分)

從而桶內(nèi)鹽的變化率為即第15頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解上面的微分方程，得其通解為由此得所以這就是30分鐘時(shí)桶內(nèi)所存鹽水的含鹽量．第16頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.線性非齊次方程

小結(jié)1.齊次方程常數(shù)變易法：通解為:▲一階線