2023/7/16高考專題突破四高考中的立體幾何問題1．正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為BC中點，E為A1C1中點，則DE與平面A1B1BA的位置關系為(

)A．相交B．平行C．垂直相交 D．不確定【解析】

如圖取B1C1中點為F，連接EF，DF，DE，則EF∥A1B1，DF∥B1B，∴平面EFD∥平面A1B1BA，∴DE∥平面A1B1BA.【答案】

B2．(2018·成都模擬)如圖是一個幾何體的三視圖(側視圖中的弧線是半圓)，則該幾何體的表面積是(

)A．20＋3π B．24＋3πC．20＋4π D．24＋4π3．(2019·全國Ⅰ卷)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(

)【解析】

A項，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線AB與平面MNQ相交．B項，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C項，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D項，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選A.【答案】

A4．(2019·全國Ⅱ卷)長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為________．題型一求空間幾何體的表面積與體積【例1】

(2019·全國甲卷)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．【思維升華】

(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規則幾何體，則可直接利用公式進行求解．其中，等積轉換法多用來求三棱錐的體積．(2)若所給定的幾何體是不規則幾何體，則將不規則的幾何體通過分割或補形轉化為規則幾何體，再利用公式求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解．【解析】

(1)證明

∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.又AD⊥AB，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴PD⊥AB.∵AP＝AD且E為PD的中點，∴AE⊥PD，又AE∩AB＝A，∴PD⊥平面ABE.題型二空間點、線、面的位置關系【例2】

(2019·山東高考)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖所示．四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點，E為AD的中點，A1E⊥平面ABCD.(1)證明：A1O∥平面B1CD1；(2)設M是OD的中點，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1.【證明】

(1)取B1D1的中點O1，連接CO1，A1O1，由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1O∥O1C.又O1C?平面B1CD1，A1O?平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因為AC⊥BD，E，M分別為AD和OD的中點，所以EM⊥BD.又A1E⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以A1E⊥BD.因為B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.又A1E，EM?平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM.又B1D1?平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.【思維升華】

(1)①證明面面垂直，將“面面垂直”問題轉化為“線面垂直”問題，再將“線面垂直”問題轉化為“線線垂直”問題．②證明C1F∥平面ABE：(ⅰ)利用判定定理，關鍵是在平面ABE中找(作)出直線EG，且滿足C1F∥EG.(ⅱ)利用面面平行的性質定理證明線面平行，則先要確定一個平面C1HF滿足面面平行，實施線面平行與面面平行的轉化．(2)計算幾何體的體積時，能直接用公式時，關鍵是確定幾何體的高，不能直接用公式時，注意進行體積的轉化．跟蹤訓練2

如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點．求證：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.【證明】

(1)由AS＝AB，AF⊥SB知F為SB中點，則EF∥AB，FG∥BC，又EF∩FG＝F，AB∩BC＝B，因此平面EFG∥平面ABC.(2)由平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF?平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC，則AF⊥BC.又BC⊥AB，AF∩AB＝A，則BC⊥平面SAB，又SA?平面SAB，因此BC⊥SA.

(1)證明：CD⊥平面A1OC；(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值．所以四邊形BCDE為平行四邊形，故有CD∥BE，所以四邊形ABCE為正方形，所以BE⊥AC，即在題圖2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，且A1O∩OC＝O，從而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC，所以∠A1OC為二面角A1BEC的平面角，【思維升華】

平面圖形的翻折問題，關鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關系和度量關系的變化情況．一般地，翻折后還在同一個平面上的性質不發生變化，不在同一個平面上的性質發生變化．跟蹤訓練3

(2018·桂林調研)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如圖(2)折疊，折痕EF∥DC.其中點E，F分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后，點P疊在線段AD上的點記為M，并且MF⊥CF.(1)證明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱錐M-CDE的體積．【解析】

(1)證明

因為PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PD⊥AD.又因為ABCD是矩形，CD⊥AD，PD與CD交于點D，所以AD⊥平面PCD.又CF?平面PCD，所以AD⊥CF，即MD⊥CF.又MF⊥CF，MD∩MF＝M，所以CF⊥平面MDF.(2)因為PD⊥DC，PC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°，題型四立體幾何中的存在性問題【例4】

(2018·邯鄲模擬)在直棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分別是CC1，BC的中點，AE⊥A1B1，D為棱A1B1上的點．【解析】

(1)證明

∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB.又∵AA1⊥AB，AA1∩AE＝A，∴AB⊥平面A1ACC1.又∵AC?平面A1ACC1，∴AB⊥AC.以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，【思維升華】

(1)對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假設，若得出矛盾的結論則否定假設．(2)對于探索性問題用向量法比較容易入手．一般先假設存在，設出空間點的坐標，轉化為代數方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在．跟蹤訓練4

如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側棱A1