(完整版)解三角形完整講義

正余弦定理是解決三角形問題的基礎知識。其中，正弦定理可以表示三角形的邊與角度之間的關系，即a:b:c=sinA:sinB:sinC或abc=2RsinA*sinB*sinC。余弦定理則可以表示三角形的邊與角度之間的余弦值的關系，即b^2=a^2+c^2-2accosB或cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)。解決斜三角形問題的常規思維方法可以根據已知條件應用正余弦定理求解，但要注意解可能有多種情況。判定三角形形狀時，可以利用正余弦定理實現邊角轉化，統一成邊的形式或角的形式。在解三角形問題時，可能出現一解、兩解或無解的情況，可以結合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”。此外，還有三角學中的射影定理和兩內角與其正弦值的關系。最后，通過例題可以檢驗對公式的掌握程度。4、已知三角形ABC中，A=30°，C=105°，b=8，則a等于（B）。A.4B.42C.43D.455、在三角形ABC中，a=10，B=60°，C=45°，則c等于（B）。A.10+3√3B.10C.3+√3D.1036、已知三角形ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sinA=1/3，b=3sinB，則a等于（3）。7、在三角形ABC中，B=45°，C=60°，c=1，則最短邊的邊長等于（A）。A.1B.6/√3C.2√3/3D.2/√38、在三角形ABC中，則cosA=（C）。A.1/3B.1/2C.3/5D.2/39、在三角形ABC中，證明：2ab(sin2A*sin2B-cos2A*cos2B)=1-2sin2A-2sin2B。證明：由正弦定理得：a/2sinA=b/2sinB，化簡得ab=4R^2sinAsinB。由余弦定理得：c^2=a^2+b^2-2abcosC，代入ab的表達式，化簡得cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。代入cos2A和cos2B的表達式，化簡得cos2Acos2B=(a^2+b^2-c^2)^2/(4a^2b^2)-1/4。代入sin2A和sin2B的表達式，化簡得sin2Asin2B=4R^2sin^2Asin^2B/(4a^2b^2)。將cos2Acos2B和sin2Asin2B代入原式，經過計算化簡可得左邊等于右邊，證畢。專題：兩邊之和1、在三角形ABC中，A=60°，B=45°，a+b=12，則a=6-√3，b=6+√3。2、已知三角形ABC的周長為2+√3，且sinA+sinB=2sinC，求邊AB的長和角C的度數。解：由正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入周長公式得a+b+c=2+√3。又由sinA+sinB=2sinC，化簡得2cos((A-B)/2)sin((A+B)/2)=2sinC，即cos((A-B)/2)=cos(90°-C/2)。因為A+B+C=180°，所以A-B=135°-C/2，代入上式得cos(135°-C/2)=cos(90°-C/2)，解得C=45°。代入周長公式和邊長比例式，解得a=1+√3，b=1-√3，c=√6-√2。3、在三角形ABC中，根據下列條件解三角形，則其中有兩個解的是（D）。A.b=10，A=45°，B=70°B.a=60，c=48，B=100°C.a=7，b=5，A=80°D.a=14，b=16，A=45°4、符合下列條件的三角形有且只有一個的是（D）。A.a=1，b=2，c=3B.a=1，b=2，∠A=30°C.a=1，b=2，∠A=100°D.b=c=1，∠B=45°。5、在△ABC中，已知a=12，b=13，C=60°，根據余弦定理可得c=√(a^2+b^2-2abcosC)=5，因此此三角形有一解。6、滿足A=45°，c=6，a=2的△ABC的個數記為m，則am的值為4，因為在這種情況下，根據正弦定理可得b=2√3，且只有4種不同的排列組合方式。7、已知△ABC中，a=181，b=209，A=121°，根據余弦定理可得c^2=a^2+b^2-2abcosA<0，因此此三角形無解。8、在△ABC中，已知b=503，c=150，B=30°，根據余弦定理可得a=503，因此邊長a=503。1、在△ABC中，若A=60°，a=3，則a+b-c=sinA+sinB-sinC=3/2。2、已知△ABC中，a:b:c=1:3:2，則A:B:C=1:2:3。3、在△ABC中，周長為7.5cm，且sinA:sinB:sinC=4:5:6，成立的結論有2個，即①a:b:c=4:5:6，②A:B:C=4:5:6。4、在△ABC中，已知邊c=10，cosA=4/5，cosB=3/5，解得a=6，b=8。5、在△ABC中，若角A、B所對的邊分別為a、b，且cosA=(3b-c)/c，cosC=a/c，則b=2a。6、設銳角三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，根據正弦定理可得b=2asinB，因此B=sin^(-1)(b/2a)。根據余弦定理和正弦定理可得cosA+sinC的取值范圍為[0,√2]。1、在△ABC中，已知b=2，B=60°，根據正弦定理可得a/sinA=c/sinC=2/sinB，因此a=2sinA，c=2sinC。由于A+B+C=180°，因此sinA=sin(120°-B)=sin60°=√3/2，sinC=sin(180°-A-B)=sin60°=√3/2。因此a=c=2√3，取值范圍為2<x≤4。2、在△ABC中，已知a:b:c=1:3:2，根據正弦定理可得sinA:a=3sinB:b=2sinC:c，因此sinA:3sinB:2sinC=1:3:2。設sinA=x，因此3sinB=3x/4，2sinC=x/2，又因為sinA+sinB+sinC=4/3，代入可得x=2/3。因此sinA=2/3，sinB=8/9，sinC=4/9，A=41.81°，B=75.52°，C=62.67°。3、在△ABC中，已知周長為7.5cm，且sinA:sinB:sinC=4:5:6，根據正弦定理可得a:b:c=4:5:6。因此a=1.5，b=1.875，c=2.25。由于a+b>c，b+c>a，a+c>b，因此滿足條件的三角形存在，且成立的結論有2個，即a:b:c=4:5:6，A:B:C=4:5:6。4、在△ABC中，已知邊c=10，cosA=4/5，cosB=3/5，根據余弦定理可得a=6，b=8。5、在△ABC中，已知角A、B所對的邊分別為a、b，且cosA=(3b-c)/c，cosC=a/c，代入可得b=2a。6、設銳角三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，根據正弦定理可得b=2asinB，因此B=sin^(-1)(b/2a)。根據余弦定理和正弦定理可得cosA+sinC的取值范圍為[0,√2]。2、已知銳角三角形的邊長分別為2、3、x，則x的取值范圍是（B）5＜x＜13。3、在銳角三角形ABC中，BC=1，B=2A，則AC的值等于2cosA，AC的取值范圍為5＜x＜13。1、在△ABC中，a=3，b=7，c=2，則cosB=（-11/42），B≈120°。2、在三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，則cosA=（-11/21），∠BAC≈123.7°。3、長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為120°。4、在△ABC中，a=33，c=2，B=150°，則b=7。5、在△ABC中，若(a+c)(a-c)=b(b+c)，則cosA=0，∠A=90°。6、在△ABC中，三邊長分別為a=3，b=5，c=6，則bccosA+cacosB+abcosC的值為35。7、在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，則cosA=（-1/2），∠A≈120°。8、在鈍角△ABC中，已知a=1，b=2，則最大邊c的取值范圍是5＜c＜3。9、設a、b、c是△ABC的三邊長，對任意實數x，f(x)=bx+(b+c-a)x+c，則f(x)>0。10、在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC邊的中線AD=7/2，則BC=9。設三角形ABC的三個內角分別為A、B、C。問題11：已知方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x+(sinC－sinB)=0有等根，求角B的取值范圍。解：根據二次方程求根公式，當判別式（sinA-sinC）2-4（sinB-sinA)(sinC-sinB)等于0時，方程有等根。化簡可得（sinA+sinC-2sinB)2=4sinB(sinA+sinC)，即（sinB-sinA+sinC)2=0，因此sinB=sinA-sinC。由于-1≤sinA、sinB、sinC≤1，所以-1≤sinA-sinC≤1，即-1≤sinB≤1。又因為sinB=sin(180°-B)，所以sinB的取值范圍為-1≤sinB≤1，即角B的取值范圍為0°≤B≤180°。問題1：已知tanA×tanB＜1，求△ABC的形狀。解：tanA×tanB＜1可化為tanA＋tanB＞1，由于A、B為銳角，所以tanA、tanB均大于0，因此tanA＋tanB＞tanA×tanB＞1，即tan(A＋B)＞1。又因為A、B為銳角，所以A＋B＜90°，即tan(A＋B)＜∞，因此1＜tan(A＋B)＜∞，即A＋B＞45°。因為A、B為銳角，所以C為鈍角，即△ABC為鈍角三角形。問題2：在△ABC中，角A、B均為銳角，且cosA＞sinB，求△ABC的形狀。解：由于A、B為銳角，所以cosA、sinB均大于0，因此cosA＞sinB可化為cosA/sinA＞sinB/sinA，即cotA＞tanB。又因為A、B為銳角，所以C為鈍角，即△ABC為鈍角三角形。問題3：已知△ABC中，角B＝60°，b2＝ac，求△ABC的形狀。解：由于B＝60°，所以C＝180°-A-B＝120°，因此A＋C＝180°-B＝120°。又因為b2＝ac，所以b/a＝c/b，即b3＝ac2。根據余弦定理可得b2＝a2＋c2-2accosB，代入B＝60°可得b2＝a2＋ac/2，即a2＋c2＝2b2。將a2＋c2代入b3＝ac2可得b3＝2b2c/2，即b＝2c/√3。因此a2＋b2＝4c2/3，c2＝3a2/4，即a2＝4c2/3，b2＝3c2/4。由于a2＋b2＞c2，所以△ABC為銳角三角形。問題4：如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新的三角形的形狀為什么？解：設直角三角形的三邊分別為a、b、c，其中c為斜邊。將三邊都增加同樣的長度x，則新的三邊分別為a＋x、b＋x、c＋x。由勾股定理可得(a＋x)2＋(b＋x)2＝(c＋x)2，展開可得a2＋b2＋2ax＋2bx＋2ab＝c2＋2cx＋x2，即2ab＝2cx＋x2-2ax-2bx，即ab＝cx-x(a＋b)+x2。因為a、b、c為正數，所以x2-ax-bx＜ab，即x2＜ab＋ax＋bx＝a(b＋x)+b(a＋x)。因此c＋x＜√(a(b＋x)+b(a＋x))，即新的三角形的斜邊小于原來的斜邊。由于直角三角形的兩條直角邊相等，所以新的三角形也是直角三角形。問題5：已知△ABC中abc/(cosAcosBcosC)=1，求△ABC的形狀。解：根據三角形面積公式可得abc/(2R)=△ABC，其中R為△ABC的外接圓半徑，根據正弦定理可得a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R，因此abc/(cosAcosBcosC)=8△2ABC/(sinAcosA·sinBcosB·sinCcosC)=8△2ABC/(1/4(sin2A+sin2B+sin2C+1))=32△2ABC/(2-sin2A-sin2B-sin2C)。根據余弦定理可得cosA＝(b2＋c2-a2)/(2bc)，代入cosAcosBcosC可得cosBcosC=(a2-b2-c2)2/(4b2c2)。根據三角形面積公式可得△ABC=1/2bcsinA，代入cosAcosBcosC可得cosBcosC=1/4(sinBsinC/sinA)2。因此32△2ABC/(2-sin2A-sin2B-sin2C)=16b2c2/sin2A(2-sin2A-sin2B-sin2C)。由于a2＝b2＋c2-2bccosA，所以2bccosA＝b2＋c2-a2，代入sin2A＝1-cos2A可得sin2A＝4b2c2/(b+c)2(2-a2/(b2+c2))。因此16b2c2/sin2A(2-sin2A-sin2B-sin2C)=16(b+c)2(2-a2/(b2+c2))/(2-b2/(a2+c2)-c2/(a2+b2))。因為a、b、c為三角形的三邊，所以a、b、c均大于0，因此2-b2/(a2+c2)-c2/(a2+b2)＞0，即16(b+c)2(2-a2/(b2+c2))＞0，因此b＝c，即△ABC為等邊三角形。問題6：已知△ABC中cosAcosBsinC/abc=1，求△ABC的形狀。解：根據正弦定理可得a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R，因此abc=8R3△ABC。根據余弦定理可得cosA＝(b2＋c2-a2)/(2bc)，代入cosAcosBsinC/abc可得sinBsinC=(a2-b2-c2)sinA/2bc。因此8R3△ABC=cosAcosBsinC/abc=1，即R3=△ABC/(2sinAsinBsinC)。因為a、b、c為三角形的三邊，所以a、b、c均大于0，因此2sinAsinBsinC＜sin2A+sin2B+sin2C，即R3＞△2ABC/(sin2A+sin2B+sin2C)。根據海龍公式可得△ABC=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2為半周長，代入R3＞△2ABC/(sin2A+sin2B+sin2C)可得(a+b+c)2＞4abc，即(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)＞0。因此a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，即△ABC為非退化三角形。由于cosAcosBsinC/abc＝1，所以cosAcosB＝sinC/b，即cosAcosB＝cos(90°-C)/b，因此a＝b，即△ABC為等腰直角三角形。問題7：已知△ABC中acosA=bcosB，求△ABC的形狀。解：根據余弦定理可得a2＝b2+c2-2bccosA，代入acosA=bcosB可得a2＝b2+c2-2b2cosB，即cosB＝(b2+c2-a2)/(2bc)。根據正弦定理可得a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R，因此sinA＝a/2R，sinB＝b/2R，cosB＝(b2+c2-a2)/(2bc)＝b/2R，代入acosA=bcosB可得cosA＝a/2R，即sinA＝cosA，因此A＝45°，B＝45°，C＝90°，即△ABC為等腰直角三角形。問題8：根據下列條件判斷△ABC的形狀：(1).(a＋b＋c)(b＋c-a)=3bc，且sinA＝2sinBcosC；(2).(a＋b)sin(A-B)=(a-b)sin(A+B)。解：(1)將(b＋c-a)移項可得a＝2bc/(b＋c)，代入sinA＝2sinBcosC可得sinB＝(b2-c2)/(2bc)。因此b2＝c2，即△ABC為等腰三角形。(2)將(a＋b)sin(A-B)=(a-b)sin(A+B)化簡可得bcosA-acosB＝0，即b/a＝cosB/cosA。由于A、B為銳角，所以cosA、cosB均大于0，因此b/a＞1，即b＞a。又因為a＋b＞c，所以b＞(a＋c)/2，即b/a＞(a＋c)/(2a)＝1/2＋c/(2a)＞1/2，因此B＞45°，即△ABC為鈍角三角形。問題9：已知(a＋b＋c)(b＋c-a)=3abc，且sinA＝2sinBcosC，求△ABC的形狀。解：將(b＋c-a)移項可得a＝2bc/(b＋c)，代入(a＋b＋c)(b＋c-a)=3abc可得b2＋c2＝3a2，即a2＝(b2＋c2)/3。代入sinA＝2sinBcosC可得2(b2-c2)/(b2+c2-2bc)＝4bc/(b2+c2)，即b2+c2-2bc＝2b2-2c2，即b2-c2＝2bc-2a2，代入a2＝(b2＋c2)/3可得b2-c2＝4bc/3，即9b2-9c2＝16bc，即(3b-4c)(3b+4c)=0。因此b/c＝4/3或b/c＝-4/3。由于b、c為三角形的兩條邊，所以b、c均大于0，因此b/c＝4/3，即3b=4c。代入a＝2bc/(b＋c)可得a＝8c/5，因此△ABC為等邊三角形。10、在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，則可以推斷△ABC是等腰三角形。11、在△ABC中，如果acosA=bcosB，則△ABC的形狀是等腰或直角三角形。12、在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對邊，如果a=2bcosC，則這個三角形一定是等腰直角三角形。13、在△ABC中，如果tanA/a=2/tanB/b，則可以確定△ABC的形狀是等腰或直角三角形。14、已知銳角三角形的邊長分別為1、3、a，則可以推斷a的范圍是(8,10)。15、如果A為ΔABC的一個內角，且sinA+cosA=7/12，則可以推斷ΔABC是鈍角三角形。16、在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，根據正弦定理可以推斷△ABC是等邊三角形。17、已知△ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量m=(4,-1)，n=(cos2A/7,cos2A)，且m·n=3，求當b·c取得最大值時△ABC的形狀。(1)求角A的大小：由m=(4,-1)，n=(cos2A/7,cos2A)，m·n=4cos(π/9)-2cos2A+2cosA+3=3，解得cosA=cos(π/9)。(2)若a=(A,cos2A)/2(1+cosA)，則cos2A-cosA=4·(2cos2A-1)/(A·cos2A)·(4/7-cos2A/7)。根據余弦定理，有a2=b2+c2-2bc·cosA，代入a=(A,cos2A)/2(1+cosA)和cosA=cos(π/9)，可得A=10，b·c取得最大值時，根據余弦定理可得cosA=-1/2，所以△ABC是等腰直角三角形。1、根據公式推導，得到b+c≥2bc，進一步得到bc≤3，當且僅當b=c=3時，bc取得最大值。由題目中的條件可知△ABC為正三角形。2、①根據余弦定理，得到a=c，由B=60°可知△ABC為等邊三角形。②根據正弦定理和條件變形，得到sin2A=sin2B，進一步得到A=B或A+B=90°，因此△ABC為等腰△或Rt△。③根據正弦定理和余弦定理，得到c2=a2+b2，因此△ABC為Rt△。④根據條件變形和正弦定理，得到sin2A=sin2B，進一步得到A=B或A+B=90°，因此△ABC為等腰△或Rt△。3、根據正弦定理，得到sinA:sinB:sinC=(a:b:c)，由題目中的條件可得a:b:c=4:5:6，因此sinA:sinB:sinC=4:5:6。根據三角函數的基本關系式，得到cosC=-sin(A+B)=-sin(180°-C)=sinC，因此cosC=sinC/sinA=sinC/(4sinC/15)=15/4。12、根據三角函數的基本關系式，得到cosA=sinBsinC/sinA=(5/6)(4/7)=20/42=10/21。14、根據題目中的條件，得到a:b:c=4:5:6，因此設a=4x，b=5x，c=6x。根據余弦定理，得到cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(11x2-c2)/(40x2)，由題目中的條件可得b+c=11x，進一步得到c=11x-5x=6x。代入cosC的式子中，得到cosC=(25x2-36x2)/(40x2)=-11/40。由cosC是方程2x2-3x-2=0的一個根可知cosC=2/5。因此，由cosC的式子可得25x2-36x2=16x2，解得x=4/3，因此a=16/3，b=20/3，c=8。△ABC的最大內角為120°，周長為a+b+c=48/3=16。1.已知cosC是方程2x^2-3x-2=0的一個根，求cosC的值。解：根據題意，得到2cosC^2-3cosC-2=0，解得cosC=1或cosC=-1/2，因為cosC<1，所以cosC=-1/2。2.在三角形ABC中，已知a,b,c分別是角A,B,C所對的邊，且滿足cosC=1/2，b+c=6，求a的值。解：根據余弦定理，有a^2=b^2+c^2-2bc*cosC=25，因為b+c=6，所以b=5,c=1或b=1,c=5，代入a^2=25得到a=5。3.已知三角形ABC中AB=a,AC=b，且ab<2S，求三角形ABC的面積。解：根據海倫公式，三角形ABC的面積S=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2。因為ab<2S，所以s(s-a)(s-b)(s-c)>ab，代入s=(a+b+c)/2得到(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)>4ab，即[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]>4ab，化簡得到c^4-(a^2-b^2)^2>4ab，因為c^2<(a+b)^2，所以c^2-(a-b)^2>0，所以c^4-(a^2-b^2)^2>c^2-(a-b)^2>0，所以S>ab/(2sqrt[c^4-(a^2-b^2)^2])。4.已知三角形ABC的周長等于20，面積是103，角A=60°，求BC的長度。解：根據正弦定理，有a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入周長和面積的公式得到a+b+c=20和103=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]=sqrt[15(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]，化簡得到a+b-c=20/3。又因為角A=60°，所以sinA=sqrt(3)/2，代入正弦定理得到b=20sin60°/sinB=20sqrt(3)/3sinB，代入面積公式得到103=sqrt[15a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=20sqrt(3)/3sqrt[15a^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4]，化簡得到a^2+b^2-c^2=25/3。聯立a+b-c=20/3和a^2+b^2-c^2=25/3，解得a=5,b=5sqrt(3)，c=10/3，所以BC的長度為10/3。5.在三角形ABC中，若SΔABC=(a^2+b^2-c^2)/4π，那么角C=90°。解：根據海倫公式，三角形ABC的面積S=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2。代入題意得到(a^2+b^2-c^2)/4π=s^2π/sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]，化簡得到(a^2+b^2-c^2)^2=16π^2s(s-a)(s-b)(s-c)，即(a^2+b^2-c^2)^2=16a^2b^2c^2，所以a^2+b^2=c^2，即角C=90°。6.在三角形ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x^2-23x+2=0的兩個根，且2cos(A+B)=1。求：(1)角C的度數；(2)AB的長度。解：(1)根據余弦定理，有a^2=b^2+c^2-2bc*cosA，a^2=c^2+b^2-2cb*cosB，兩式相加得到2(a^2+b^2-c^2)=2bc(1+cos(A+B))，代入2cos(A+B)=1得到a^2+b^2-c^2=bc，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1/2，所以角C=60°或300°，因為a，b都是正數，所以角C=60°。(2)根據余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2ab*cosC，代入cosC=1/2得到c^2=a^2+b^2-ab，所以AB^2=a^2+b^2-c^2=ab，即AB=sqrt(ab)。在三角形ABC中，已知內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，且a2-c2=2b，又已知sinAcosC=3cosAsinC，求b。解法一：根據正弦定理和余弦定理，可以得到以下式子：a2+b2-c2=2bccosAa=3ccosA將a代入a2-c2=2b中，可以得到2b=4c2cos2A-c2，化簡得2(a2-c2)=b2，即4b=b2。解得b=4或b=0（舍去）。解法二：根據余弦定理，可以得到a2-c2=b2-2bccosA。又已知a2-c2=2b，代入可得b=2ccosA+2。又根據sinAcosC=3cosAsinC，可以得到sin(A+C)=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC。根據正弦定理，可以得到b=4ccosA/sinC。將b的兩個式子相等，可以解得b=4。專題：求三角形面積1、在△ABC中，已知AB=3，AC=1，∠A=30°，則△ABC的面積為3/2。2、已知△ABC的三邊長a=3，b=5，c=6，則△ABC的面積為2。3、三角形的一邊長為14，這條邊所對的角為60°，另兩邊之比為8：5，則這個三角形的面積為403。4、在△ABC中，a=sin10°，b=sin50°，∠C=70°，那么△ABC的面積為1/16。5、在△ABC中，b=8，c=8√3，S(ABC)=16√3，則∠A等于30°或150°。6、在△ABC中，sin(C-A)=1，sinB=√3/2，求△ABC的面積。7、在△ABC中，已知內角B、C的對邊分別為b、c，若cosBcosC-sinBsinC=1，求A和△ABC的面積。已知a=2/3，b+c=4，代入余弦定理可得c2-2bccosA+b2=4/9。根據cosBcosC-sinBsinC=1，可得cos(B+C)=1，即B+C=0°或360°。因為B、C都是銳角，所以B+C=180°，即A=180°-B-C=180°。代入c2-2bccosA+b2=4/9，可得c2-2bccos(180°-B-C)+b2=4/9，即c2+2bccosBcosC+b2=4/9。代入cosBcosC-sinBsinC=1，可得c2+b2=13/9。解得c=√7/3，b=√22/3。代入海倫公式可得△ABC的面積為√21/9。12=16-2bc-2bc(-)，所以bc=4，因此S△ABC=1/2×13×4×sinA=26。改寫：根據等式12=16-2bc-2bc(-)，可以得到bc=4，因此△ABC的面積為1/2×13×4×sinA=26。在銳角三角形中，邊a、b是方程x2－23x+2=0的兩根，角A、B滿足2sin(A+B)－3=0。求角C的度數，邊c的長度及△ABC的面積。解：由2sin(A+B)－3=0，可得sin(A+B)=3/2，因為△ABC是銳角三角形，所以A+B=120°，C=60°。又因為a、b是方程x2－23x+2=0的兩根，所以a+b=23。根據余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=12-6=6，所以c=√6。根據正弦定理，S△ABC=1/2×ab×sinC=2。已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，其中c=2，又向量m=(1,cosC)，n=(cosC,1)，m·n=1。（1）若A=45°，求a的值；（2）若a+b=4，求△ABC的面積。解：（1）因為m·n=1，所以1+cosC2=1，解得cosC=±1，但C∈(0°,180°)，所以cosC=1。根據正弦定理，a/√2=sin45°/sin60°，所以a=3。（2）由a+b=4，得b=4-a。根據余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=8-4acosC。根據正弦定理，S△ABC=1/2×ab×sinC=1/2×a(4-a)×sinC。將c2代入其中，得S△ABC=1/2×a(4-a)×√(8-4acosC)。在△ABC中，cosA=-54/25，sinB=1/√135，absinC=3/2。（1）求cosC的值；（2）設BC=15，求△ABC的面積。解：（1）由cosA=-54/25和sin2A+cos2A=1，可得sinA=7/25。由sinB=1