PAGE2022年“卡西歐杯”全國初中數(shù)學競賽試題及參考答案選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分。）1、如圖，有一塊矩形紙片ABCD，AB＝8，AD＝6。將紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將△AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F，則△CEF的面積為（）A、2B、4C、6D、8AAAABBBCCCEEDDDF答：A解：由折疊過程知，DE＝AD＝6，∠DAE＝∠CEF＝45°，所以△CEF是等腰直角三角形，且EC＝8－6＝2，所以，S△CEF＝22、若M＝（x，y是實數(shù)），則M的值一定是（）A、正數(shù)B、負數(shù)C、零D、整數(shù)A1BCDABA1BCDAB1C1I且，，這三個數(shù)不能同時為0，所以M≥03、已知點I是銳角三角形ABC的內(nèi)心，A1，B1，C1分別是點I關于邊BC，CA，AB的對稱點。若點B在△A1B1C1圓上，則∠ABC等于（）A、30°B、45°C、60°D、90°答：C解：因為IA1＝IB1＝IC1＝2r（r為△ABC的內(nèi)切圓半徑），所以點I同時是△A1B1C1的外接圓的圓心，設IA1與BC的交點為D，則IB＝IA1所以∠IBD＝30°，同理，∠IBA＝30°，于是，∠ABC＝60°4、設A＝，則與A最接近的正整數(shù)為（）A、18B、20C、24D、25答：D解：對于正整數(shù)mn≥3，有，所以A＝＝因為＜＜，所以與A最接近的正整數(shù)為25。5、設a、b是正整數(shù)，且滿足56≤a＋b≤59，0.9＜＜0.91，則等于（）A、171B、177C、180D、182答：B例題：1．某一出租車一天下午以鼓樓為出發(fā)地在東西方向營運，向東為正，向西為負，行車里程（單位：km）依先后次序記錄如下：+9、3、5、+4、8、+6、3、6、4、+10。（1）將最后一名乘客送到目的地，出租車離鼓樓出發(fā)點多遠？在鼓樓的什么方向？（2）若每千米的價格為2.4元，司機一個下午的營業(yè)額是多少？解答：（1）0km，就在鼓樓；（2）139.2元。2.同學們都知道,|5－(－2)|表示5與－2之差的絕對值,實際上也可理解為5與－2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離。試探索：(1)求|5－(－2)|=______。(2)找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x+5|+|x-2|=7這樣的整數(shù)是_____。(3)由以上探索猜想對于任何有理數(shù)x，|x－3|+|x－6|是否有最小值？如果有寫出最小值如果沒有說明理由。(8分)解答：3或1或5或9。解：由題設得0.9b＋b＜59，0.91b＋b＞56，所以29＜b＜32。因此b＝30，31。當b＝30時，由0.9b＜a＜0.91b，得27＜a＜28，這樣的正整數(shù)a不存在。當b＝31時，由0.9b＜a＜0.91b，得27＜a＜29，所以a＝28。所以＝177填空題：（共5小題，每小題6分，滿分30分。）6、在一個圓形時鐘的表面，OA表示秒針，OB表示分針，（O為兩針的旋轉中心），若現(xiàn)在時間恰好是12點整，則經(jīng)過秒鐘后，△OAB的面積第一次達到最大。答：解：設OA邊上的高為h，則h≤OB，所以S△OAB＝≤當OA⊥OB時，等號成立。此時△OAB的面積最大。設經(jīng)過t秒時，OA與OB第一次垂直。又因為秒針1秒鐘旋轉6度，分針1秒鐘旋轉0.1度，于是（6－0.1）t＝90，解得t＝7、在直角坐標系中，拋物線（m＞0）與x軸交于A、B兩點，若A、B兩點到原點的距離分別為OA、OB，且滿足，則m的值等于答：2解：設方程的兩根分別為且＜，則有＜0，＜0所以有＜0，＞0，由，可知OA＞OB，又m＞0，所以，拋物線的對稱軸在y軸的左側，于是，OB＝，所以由得m＝28、有兩副撲克牌，每副牌的排列順序是：第一張是大王，第二張是小王，然后是黑桃、紅桃、方塊、梅花四種花色排列，每種花色的牌又按A、2、3、…J、Q、K的順序排列。某人把按上述排列的兩副撲克牌上下疊放在一起，然后從上到下把第一張丟掉，把第二張放在最底層，再把第三張丟掉，把第四張放在最底層，……如此下去，直至最后只剩下一張牌，則所剩的這張牌是答：第二副牌中的方塊6解：根據(jù)題意，如果撲克牌的張數(shù)為2，，，…，那么依照上述操作方法，只剩下的一張牌就是這些牌的最后一張。例如，手中只有64張牌，依照上述操作方法，最后只剩下第64張牌。現(xiàn)在，手中有108張牌，多出108－64＝44（張），如果依照上述操作方法，先丟掉44張牌，那么此時手中恰好有64張牌，而原來順序的第88張牌恰好放在手中牌的最底層。這樣，再繼續(xù)進行丟、留的操作，最后剩下的就是原來順序的第88張牌。按照兩副撲克牌的花色排列順序，88－54－2－26＝6，所剩下的最后一張牌是第二副牌中的方塊6。9、已知D、E分別是△ABC的邊BC、CA上的點，且BD＝4，DC＝1，AE＝5，EC＝2。連結AD和BE，它們相交于點P，過點P分別作PQ∥CA，PR∥CB，它們分別與邊AB交于點Q、R，則△PQR的面積與△ABC的面積之比為。ABCABCDFEPQR解：過點E作EF∥AD，且交邊BC于點F，則所以FD＝CD＝，又因為PQ∥CA，所以，于是PQ＝由△QPR∽△ACB，故10、已知,,…，都是正整數(shù)，且，若的最大值為A，最小值為B，則A＋B的值等于。答：494解：因為把58寫成40個正整數(shù)的和的寫法只有有限種，故的最小值和最大值是存在的。不妨設≤≤…≤，若＞1，則＋＝，且＞所以當＞1時，可以把逐步調(diào)整到1，這時，將增大；同樣地，可以把，，…逐步調(diào)整到1，這時將增大。于是，當，，…均為1，＝19時，取得最大值，即39個A＝。39個若存在兩個數(shù)，，使得－≥2(1≤i＜j≤40，則＜這說明在,,…，中，如果有兩個數(shù)的差大于1，則把較小的數(shù)加1，較大的數(shù)減1，這時，將減小。所以，當取到最小時，,,…，中任意兩個數(shù)的差都不大于1。于是，當，時，取得最小值，即18個22個B＝＝94，故A＋B＝49418個22個解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）11、某校舉行春季運動會時，由若干個同學組成一個8列的長方形隊列。如果原隊列中增加120人，就能組成一個正方形隊列；如果原隊列中減少120人，也能組成一個正方形隊列。問原長方形隊列有同學多少人？①②①②其中m、n均為正整數(shù)，且m＞n。－②得即由①、②可知，、都是8的倍數(shù)，所以m、n均能被4整除。于是m＋n，m－n均能被4整除。所以或解得：或所以，或 。故原長方形隊列有同學136人或904人。12、已知p，q都是質(zhì)數(shù)，且使得關于x的二次方程至少有一個正整數(shù)根，求所有的質(zhì)數(shù)對（p，q）。解：由方程兩根的和為8p－10q可知，若方程有一個根為整數(shù)，則另一個根也是整數(shù)。由方程兩根的積為5pq，知方程的另一個根也是正整數(shù)。設方程的兩個正整數(shù)根分別為，（≤），由根與系數(shù)的關系得＋＝8p－10q①＝5pq②由②得，，有如下幾種可能的情況：所以＋＝5pq＋1，pq+5，p＋5q，q＋5p，代入①當＋＝5pq＋1時，5pq＋1＝8p－10q，而5pq＋1＞10p＞8p－10q，故此時無解。當＋＝pq＋5時，pq＋5＝8p－10q，所以（p＋10）（q－8）＝－85因為p、q都是質(zhì)數(shù)，只可能所以（p，q）＝（7，3）當＋＝p＋5q時，p＋5q＝8p－10q，所以7p＝15q，不可能。當＋＝5p＋q時，5p＋q＝8p－10q，所以3p＝11q，于是（p，q）＝（11，3）綜上所述，滿足條件的質(zhì)數(shù)對（p，q）＝（7，3）或（11,3）13、如圖，分別以△ABC（△ABC為銳角三角形）的邊AB，BC，CA為斜邊向外作等腰直角三角形DAB，EBC，F(xiàn)AC。求證：（1）AE＝DF；（2）AE⊥DF。證明：（1）延長BD至點P，使DP＝BD，連結AP、CP。ABCFABCFPDE所以∠ADB＝90°，AD＝BD，在等腰直角三角形EBC中，∠BEC＝90，BE＝CE，所以因為∠PBC＝∠PBA＋∠ABC＝45°＋∠ABC，∠ABE＝∠CBE＋∠ABC＝45°＋∠ABC所以∠PBC＝∠ABE。于是△ABE∽