2021年福建省漳州市火田中學高二數學文聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若，其中a、b∈R，i是虛數單位，則A． B． C． D．參考答案：C略2.已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的離心率為，則此雙曲線的漸近線方程為（）A．y=±2x B． C． D．參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由離心率的值，可設，則得，可得的值，進而得到漸近線方程．【解答】解：∵，故可設，則得，∴漸近線方程為，故選C．3.函數y=x2﹣6x+10在區間（2，4）上是(

)A．減函數 B．增函數 C．先遞減再遞增 D．先遞增再遞減參考答案：C【考點】二次函數的性質．【專題】計算題．【分析】由于二次函數的單調性是以對稱軸為分界線并與開口方向有關，但a=1＞0拋物線開口向上故只需判斷對稱軸與區間的關系即可判斷出單調性．【解答】解：∵函數y=x2﹣6x+10∴對稱軸為x=3∵3∈（2，4）并且a=1＞0拋物線開口向上∴函數y=x2﹣6x+10在區間（2，4）上線遞減再遞增故答案為C【點評】此題主要考查了利用二次函數的性質判斷二次函數在區間上的單調性，屬基礎題較簡單只要理解二次函數的單調性是以對稱軸為分界線并與開口方向有關即可正確求解！4.設F1，F2分別是橢圓的左、右焦點，若在直線（其中）上存在點P，使線段PF1的垂直平分線經過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是(

)A. B. C. D.參考答案：C分析】由題意得，，設點，由中點公式可得線段的中點，可得線段的斜率與的斜率之積等于，可得，可得e的范圍.【詳解】解：由題意得，，設點，則由中點公式可得線段的中點，線段的斜率與的斜率之積等于，即，，，，，或舍去，．又橢圓的離心率

，故，故選：C．【點睛】本題主要考查橢圓的離心率的相關問題，根據題意列出不等式是解題的關鍵.5.已知定義在R上的可導函數的導函數為，對任意實數x均有成立，且是奇函數，不等式的解集是（

）A.(1,+∞) B.(e,+∞) C.(－∞,1) D.(－∞,e)參考答案：A【分析】構造函數，利用導數和已知條件判斷出在上遞增，由此求解出不等式的解集.【詳解】要求解的不等式等價于，令，，所以在上為增函數，又因為是奇函數，故，所以，所以所求不等式等價于，所以解集為，故選A.【點睛】本小題主要考查構造函數法解不等式，考查導數的運算，考查利用導數判斷函數的單調性，考查函數的奇偶性，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.6.設，，，則a，b，c的大小關系是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】分別判斷a，b，c與0,1的大小關系得到答案.【詳解】故答案選B【點睛】本題考查了根據函數單調性判斷數值大小，01分界是一個常用的方法.7.已知定義在R上的可導函數f（x）的導函數為f′（x），滿足f′（x）＜f（x），且f（x+2）為偶函數，f（4）=1，則不等式f（x）＜ex的解集為（）A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞）參考答案：B【考點】利用導數研究函數的單調性；奇偶性與單調性的綜合．【分析】構造函數g（x）=（x∈R），研究g（x）的單調性，結合原函數的性質和函數值，即可求解【解答】解：∵y=f（x+2）為偶函數，∴y=f（x+2）的圖象關于x=0對稱∴y=f（x）的圖象關于x=2對稱∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1設g（x）=（x∈R），則g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定義域上單調遞減∵f（x）＜ex∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故選B．8.已知球O的直徑長為12，當它的內接正四棱錐的體積最大時，該四棱錐的高為（

）A．4

B．6

C．8

D．12參考答案：C設正四棱錐S?ABCD的底面邊長等于a，底面到球心的距離等于x，則：，整理可得：，而正四棱錐的高為h=6+x，故正四棱錐體積為：當且僅當，即x=2時，等號成立，此時正四棱錐的高為6+2=8.本題選擇C選項.

9.從1，2，3，4中任取2個不同的數，則取出的2個數之差的絕對值為2的概率是（）A. B. C. D.參考答案：B解法一：由排列組合知識可知，所求概率；解法二：任取兩個數可能出現的情況為（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合條件的情況為（1,3）、（2,4），故.【考點定位】本題考查古典概型的概率運算，考查學生的基本運算能力.10.設f(x)＝，則的定義域為（

）A．

B．C．

D．(－4,－2)(2，4)參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,則f(a)+f(b)+f(c)的值一定比零(填“大”或“小”).

參考答案：大略12.已知,且,則的最小值是

▲

．參考答案：【分析】由基本不等式可得，設，，利用函數的單調性可得結果.【詳解】因為,且，所以，設，則，，，即，，設，，在上遞減，，即的最小值是，故答案為.

13.若虛數、是實系數一元二次方程的兩個根，且，則______.參考答案：1【分析】設z1＝a+bi，則z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根據兩個復數相等的充要條件求出z1，z2，再由根與系數的關系求得p，q的值．【詳解】由題意可知z1與z2為共軛復數，設z1＝a+bi，則z2＝a﹣bi，（a，b∈R且），又則a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）由根與系數關系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1?z2＝1，∴pq＝1．故答案為：1.【點睛】本題考查實系數一元二次方程在復數集的根的問題，考查了兩個復數相等的充要條件，屬于基礎題．14.一個幾何體的三視圖及其尺寸如右圖所示，其中正（主）視圖是直角三角形，側（左）視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，則這個幾何體的表面積是______________cm2．參考答案：略15.展開式中的一次項系數為

▲．參考答案：55

16.過雙曲線的右焦點F作直線與雙曲線交于A、B兩點，若則這樣的直線有______條。參考答案：2略17.定義在[0，+∞）上的函數f（x）滿足：①當x∈[1，2）時，；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．設關于x的函數F（x）=f（x）﹣a的零點從小到大依次為x1，x2，x3，…xn，…，若，則x1+x2+…+x2n=．參考答案：6×（2n﹣1）【考點】數列與函數的綜合；函數零點的判定定理．【分析】利用已知當x∈[1，2）時，；?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．可得當x∈[2，4）時的解析式，同理，當x∈[4，8）時，f（x）的解析式，分別作出y=f（x），y=a，則F（x）=f（x）﹣a在區間（2，3）和（3，4）上各有一個零點，分別為x1，x2，且滿足x1+x2=2×3，依此類推：x3+x4=2×6，…，x2013+x2014=2×3×2n﹣1．利用等比數列的前n項和公式即可得出．【解答】解：∵①當x∈[1，2）時，；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．當x∈[2，4）時，∈[1，2），f（x）=2f（x）=2（﹣|﹣|）=1﹣|x﹣3|，x∈[4，8）時，∈[2，4），f（x）=2f（x）=2（1﹣|x﹣3|）=2﹣|x﹣6|，同理，則，F（x）=f（x）﹣a在區間（2，3）和（3，4）上各有1個零點，分別為x1，x2，且滿足x1+x2=2×3=6，依此類推：x3+x4=2×6=12，x5+x6=2×12=24…，x2n﹣1+x2n=2×3×2n﹣1．∴當時，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=6×（1+2+22+…+2n﹣1）=6×=6×（2n﹣1），故答案為：6×（2n﹣1）．【點評】本題考查了函數的圖象與性質、區間轉換、對稱性、等比數列的前n項和公式等基礎知識與基本技能，屬于難題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在長方體中，已知，求異面直線與所成角的余弦值..參考答案：連接，為異面直線與所成的角.連接，在△中，，

則略19.已知（x+）n的展開式中前三項的系數成等差數列，設（x+）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，求：（1）a0﹣a1+a2﹣a3+…+（﹣1）nan的值；（2）ai（i=0，1，2，…，n）的最大值．參考答案：【考點】二項式定理的應用；二項式系數的性質．【分析】（1）運用二項式展開式的通項，結合等差數列的中項性質求出n，再在等式兩邊同時取x=﹣1，即可求出所求和；（2）設第r+1項的系數最大，那么第r+1項的系數大于等于第r項的系數和第r+2項的系數，由此得出兩個關于r的不等式，解出r，計算即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由題設，得+=2××，即n2﹣9n+8=0，解得n=8，n=1（舍）．即有（x+）8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，在等式的兩邊取x=﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8=；（2）設第r+1項的系數最大，由Tr+1=x8﹣r?（）r，則，即，即為即2≤r≤3，由r為整數，解得r=2或r=3．即有?（）r=?=28?=7或?=7．所以ai系數最大值為7．20.設命題p:實數x滿足(x－a)(x－3a)＜0，其中a＞0，命題q:實數x滿足.（1）若a=1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍.（2）若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.參考答案：對于命題p:，其中，∴，則，.由，解得，即.

（6分）（1）若解得，若為真，則同時為真，即，解得，∴實數的取值范圍

（9分）（2）若是的充分不必要條件，即是的充分不必要條件，∴，即，解得

（12分）21.正方形的邊長為1，分別取邊的中點，連結，以為折痕，折疊這個正方形，使點重合于一點，得到一個四面體，如下圖所示。

（1）求證：；（2）求證：平面。參考答案：證明：（1）由是正方形，所以在原圖中

折疊后有…………2分

所以

所以…………7分（2）.由原圖可知，

所以…………10分

又

，所以…………14分略22.在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數列，a，b，c成等比數列，求證△ABC為等邊三角形．參考答案：【考點】GZ：三角形的形狀判斷；8F：等差數列的性質；8G：等比數列的性質．【分析】先根據A，B，C成等差數列和三角形內角和定理求出B的值，進而根據等比中項的性質可知b2=ac代入余弦定理求得a2+c2﹣ac=ac，整理求得a=c，判斷出A=C，最后利用三角形內角和氣的A和C，最后證明原式．【解答】解：由A，B，C成等差數列，有2B=A+C（1）因為A，B