標量衍射理論角譜及其傳播第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日快速搶答！！！（續）平面波的復振幅（三維空間）：線性位相因子常量振幅平面波的復振幅(在與原點相距為z的平面上):第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日光波的數學描述

平面波的空間頻率-信息光學中最基本的概念空間頻率的單位:cm-1,mm-1,周/mm,條數/mm等空間頻率的正負:表示傳播方向與x(或y)軸的夾角小于或大于90在給定的座標系,任意單色平面波有一組對應的fx和fy,它僅決定于光波的波長和傳播方向.反之,給定一組fx和fy,對于給定波長的單色平面波就能確定其傳播方向cosa=lfx,cosb=lfy

要與光的時間頻率嚴格區分開空間是有形的,比時間更具體,更直觀.在xy平面上的復雜的復振幅分布可以分解為許多簡單的周期分布,即復雜的光振動可以分解成許多簡單平面波的疊加.二維F.T.在光學上的意義:第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日光波的數學描述

平面波的空間頻率-信息光學中最基本的概念這樣平面波的復振幅即平面波方程可以寫為:三個空間頻率不能相互獨立：因此

在任一距離z的平面上的復振幅分布，由在z=0平面上的復振幅和與傳播距離及方向有關的一個復指數函數的乘積給出。這說明了傳播過程對復振幅分布的影響，已經在實質上解決了最基礎的平面波衍射問題

第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日§2-2復振幅分布的角譜及角譜的傳播

1、復振幅分布的角譜

AngularSpectrumofComplexAmplitudeDistribution即:把U(x,y,z)看作不同空間頻率的一系列基元函數exp[j2p(fxx+fyy)]

之和,各分量的疊加權重是A(fx,fy,z).

稱為x-y平面上復振幅分布的頻譜對在z處的x-y平面上單色光場的復振幅分布U(x,y,z)作傅里葉變換:物理上,exp[j2p(fxx+fyy)]代表傳播方向余弦為cosa=lfx,cosb=lfy的單色平面波在xy平面的復振幅分布,U(x,y,z)是不同平面波分量分布的線性疊加.每個分量的相對振幅和初位相由頻譜A(fx,fy,z)決定.其逆變換為：第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日§2-2復振幅分布的角譜及角譜的傳播

1、復振幅分布的角譜根據可將頻譜函數A(fx,fy,z)用表示各平面波傳播方向的角度為宗量：稱為xyz平面上復振幅分布的角譜,表示不同傳播方向(a,b)的單色平面波的振幅(|A|)和初位相(arg{A})角譜是xyz平面上復振幅分布U(x,y,z)的空間頻譜,其空間頻率宗量用傳播矢量的方向余弦表示第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日復振幅分布的角譜：例在x-y平面上,光場復振幅分布為余弦型:可以分解為:U(x,y)的空間頻譜函數:U(x,y)的空間角譜函數:第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日復振幅分布的角譜

練習:P47,2.2第一步:寫出屏的透過率函數t(x,y):第二步:寫出入射波的復振幅分布U0(x,y,0)單位振幅的單色平面波垂直入射照明,U0(x,y,0)=1第三步:寫出緊靠屏后平面上的透射光場復振幅分布U

(x,y,0)U

(x,y,0)=U0(x,y,0)t(x,y)=t(x,y)第四步:求出U(x,y,0)的頻譜A(fx,fy,0)第五步:利用將A(fx,fy,0)改寫成角譜作業：P47:2.1,2.3第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日z§2-2復振幅分布的角譜及角譜的傳播

2、平面波角譜的傳播

PropagationofPlane-WaveAngularSpectrum光場分布U0(x,y,0)光場分布U

(x,y,z)孔徑平面（z=0）P(x,y,0)觀察平面（z=z）P(x,y,z)U0(x,y,0)與U

(x,y,z)的關系如何？——傳播的問題先找到相應的角譜A(fx,fy,0)和A(fx,fy,z)之間的關系——角譜的傳播角譜是xy平面上復振幅分布U(x,y)的空間頻譜,其空間頻率宗量用傳播矢量的方向余弦表示按角譜的觀點:孔徑平面和觀察平面上的光場,均看成許多不同方向傳播的單色平面波分量的線性組合.每一平面波的相對振幅和位相取決于相應的角譜第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日2、平面波角譜的傳播

角譜是傳播距離z的函數在孔徑平面(x,y,

0)的光場U0(x,y,

0):傳播距離z后到達z=z平面,光場變化為U(x,y,z),A是空間頻率(角度)的函數,同時是z的函數.傳播的效應體現為角譜由變化為

.第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日2、平面波角譜的傳播

思路:找出并求解A滿足的對z的微分方程,

從而得到角譜隨z變化的函數關系對任何x,y,z均應成立,故代入亥姆霍茲方程(2+k2)U(x,y,z)=0,并交換積分和微分的順序將U(x,y,z)的表達式第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日2、平面波角譜的傳播

角譜沿z傳播遵循的規律方向余弦cos2a+cos2b<1的不同平面波,傳播過程中振幅不改變,但經受不同的相移.方向余弦cos2a+cos2b=1的平面波,g=p/2,k在xy平面,不沿z軸傳播.cos2a+cos2b>1:代表倏逝波初始條件:z=0時,

A=(孔徑平面).微分方程的解為:第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日2、平面波角譜的傳播

傳播現象作為線性空不變系統表征系統頻譜特性的傳遞函數：系統的傳遞函數:系統的輸出系統的輸入第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日2、平面波角譜的傳播

傳播現象作為線性空不變系統1/lfxfy0系統的傳遞函數:把光波的傳播現象看作一個帶寬有限的空間濾波器。在頻率平面上的半徑為1/l的圓形區域內，傳遞函數的模為1，對各頻率分量的振幅沒有影響。但要引入與頻率有關的相移。在這一圓形區域外，傳遞函數為零。對空域中比波長還要小的精細結構，或者說空間頻率大于1/l的信息，在單色光照明下不能沿z方向向前傳遞。光在自由空間傳播時，攜帶信息的能力是有限的。第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日§2-2復振幅分布的角譜及角譜的傳播

3、衍射孔徑對角譜的作用

EffectofDiffractionApertureonAngularSpectrum孔徑的復振幅透過率：t(x0,y0)=1在∑內0其它光場通過衍射屏后的變化：Ut(x0,y0)=Ui(x0,y0)t(x0,y0)角譜的變化：At(fx,fy)=Ai(fx,fy)T(fx,fy)F.T.由于卷積運算具有展寬帶寬的性質，因此，引入衍射孔徑使入射光波在空間上受到限制，其效應就是展寬了光波的角譜。第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日§2-2復振幅分布的角譜及角譜的傳播

3、衍射孔徑對角譜的作用Ui(x0,y0)Ut(x0,y0)例:單位振幅平面波垂直入射照明一矩孔,求角譜的變化At(fx,fy)=d(fx,fy)T(fx,fy)

=T(fx,fy)角譜展寬孔徑限制了入射波面的范圍,展寬了入射角譜故角譜的展寬就是在出射波增加了與入射光波傳播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空間頻率的波，這就是衍射波。Ai(fx,fy)=d(fx,fy)Ui(x0,y0)=1T(fx,fy)=absinc(afx)sinc(bfy)t(x0,y0)=rect(x0/a)rect(y0/b)第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日(2)衍射理論要解決的問題是：光場中任意一點為P的復振幅U(P)能否用光場中各源點的復振幅表示出來。

§2-3標量衍射的角譜理論幾何陰影區平面波入射衍射現象第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日§2-3標量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式1.惠更斯包絡作圖法(1678):從某一時刻的波陣面求下一時刻波陣面的方法.把波陣面上每一面元作為次級子波的中心,后一時刻的波陣面是所有這些子波的包絡面.惠更斯原理不僅能解釋光的反射和折射,也能預見光在通過簡單孔徑時的衍射現象.但它只能判斷光的傳播方向,不能定量計算.衍射理論要解決的問題是：光場中任意一點為P的復振幅U(P)能否用光場中其它各點的復振幅表示出來。

第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日§2-3標量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式2.菲涅耳子波干涉說(1818):子波間應當互相干涉,并且應當考慮不同方向子波的差異.—惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理:波陣面上任意未受阻擋的點,產生一個與原波頻率相同的子波.此后空間任何一點的光振動是這些子波疊加的結果.其數學表述為:常數幅相因子傾斜因子球面子波表達式源點光擾動U(P0)ds:球面子波的振幅相干疊加觀察點(場點)復振幅球面子波源第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日§2-3標量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式原波陣面源點處的面元法線場點源點到場點的距離所考慮的傳播方向與面元法線的夾角源點成功:可計算簡單孔徑的衍射圖樣強度分布.局限:難以確定K(q).無法引入-p/2的相移第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日惠-菲原理基爾霍夫衍射公式基爾霍夫邊界條件§2-3標量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式在單色點光源照明平面孔徑的情況下:∑P0nP’Prr'常數幅相因子1/jl自動出現，K(q)函數形式確定第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日§2-3標量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式隨近似程度的不同,將衍射現象分為菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射.在傍軸近似下基爾霍夫衍射公式第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日§2-3標量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式

菲涅耳衍射公式略去(x-x0)/z和(y-y0)/z的二次以上的項,則在振幅部分取r的一級近似,位相因子用r的二級近似,代入基爾霍夫公式,即得菲涅耳衍射公式在菲涅耳衍射公式基礎上再做遠場近似，可得夫瑯禾費衍射公式。第二十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日§2-3標量衍射的角譜理論

2、基于平面波角譜的衍射理論從頻域的角度即用平面波角譜方法來討論衍射問題

xyz平面的光場分布的角譜與x0y00平面角譜的關系（角譜傳播）：