2021年山西省呂梁市名師高級中學高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，側棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側棱長為3，則BB1與平面AB1C1所成的角是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A2.函數的大致圖象為（

）參考答案：C3.在復平面內，復數i（2+i）對應的點位于

（A涕一象限

（B）第二象限 （C）第三象限

（D）第四象限參考答案：B略4.若曲線在點處的切線與兩條坐標軸圍成的三角形的面積為54，則A．3 B．6 C．9 D．18參考答案：B5.已知復數滿足是虛數單位，則的虛部為（

）A． B． C． D．參考答案：考點：1.復數的概念；2.復數的四則運算.6.已知函數，，則函數

的振幅為（

）A、

B、5

C、7

D、13參考答案：A7.把標號為1，2，3，4的四個小球分別放入標號為1，2，3，4的四個盒子中，每個盒子只放一個小球，則1號球不放入1號盒子的方法共有（）A.18種 B.9種 C.6種 D.3種參考答案：A【分析】先確定1號盒子的選擇情況，再確定2、3、4號盒子的選擇情況，根據分步計數原理即可求解。【詳解】由于1號球不放入1號盒子，則1號盒子有2、3、4號球三種選擇，還剩余三個球可以任意放入2、3、4號盒子中，則2號盒子有三種選擇，3號盒子還剩兩種選擇，4號盒子只有一種選擇，根據分步計數原理可得1號球不放入1號盒子的方法有種。故答案選A。【點睛】本題考查排列組合問題，對于特殊對象優先考慮原則即可求解，屬于基礎題。8.若函數，的最小正周期為，且，則（

）．A．，

B．，

C．，

D．，．參考答案：D9.設f(x)是周期為2的奇函數，當0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則＝()A．－ B．－C. D．參考答案：A10.將函數f（x）=sin2x+cos2x圖象上所有點向右平移個單位長度，得到函數g（x）的圖象，則g（x）圖象的一個對稱中心是（）A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）參考答案：D【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數的圖象的對稱性，求得g（x）圖象的一個對稱中心．【解答】解：將函數f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+sin2x）=2sin（2x+）圖象上所有點向右平移個單位長度，得到函數g（x）=2sin2x的圖象，令2x=kπ，求得x=，k∈Z，令k=1，可得g（x）圖象的一個對稱中心為（，0），故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線被圓x2+y2﹣6x+5=0截得的弦長為2，則離心率e=．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】求得雙曲線的方程的漸近線方程，求得圓的圓心和半徑，運用點到直線的距離公式和弦長公式，解方程可得a2=2b2，由a，b，c的關系和離心率公式，計算即可得到所求值．【解答】解：雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±x，圓x2+y2﹣6x+5=0即為（x﹣3）2+y2=4，圓心為（3，0），半徑為2，圓心到漸近線的距離為d=，由弦長公式可得2=2，化簡可得a2=2b2，即有c2=a2+b2=a2，則e==．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程的運用，考查直線和圓相交的弦長公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．12.設數列滿足，點對任意的，都有向量，則數列的前項和

.參考答案：n2+n

【知識點】數列與向量的綜合．B4解析：∵Pn（n，an），∴Pn+1（n+1，an+1），∴=（1，an+1﹣an）=（1，2），∴an+1﹣an=2，∴{an}等差數列，公差d=2，將a2=a1+2，a4=a1+6代入a2+a4=10中，解得a1=2，∴an=2+（n﹣1）×2=2n，∴Sn==n2+n．故答案為：n2+n．【思路點撥】由已知得an}等差數列，公差d=2，將a2=a1+2，代入a1+2a2=7中，得a1=1，由此能求出{an}的前n項和Sn．13.計算：=．參考答案：8考點：對數的運算性質．專題：計算題．分析：把要計算的代數式中的指數式變分數指數冪為根式，把對數式的真數的指數拿到對數符號前面，運用換底公式化簡．解答：解：=．故答案為8．點評：本題考查了對數的運算性質，對數式logab與logba互為倒數，是基礎題．14.若點（其中）為平面區域內的一個動點，已知點,O為坐標原點，則的最小值為_____________。參考答案：13【分析】作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的及其內部．根據題意，將目標函數對應的直線進行平移，由此可得本題的答案．【詳解】點坐標為，點坐標為，作出不等式組表示的平面區域，得到如圖的區域，其中，可得，將直線進行平移，可得當經過點時，目標函數達到最小值，．故答案為：13．【點睛】本題給出二元一次不等式組，求目標函數的取值范圍，著重考查了向量的數量積、二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于中檔題．15.已知函數f（x）滿足：x≥4，則f（x）=；當x＜4時f（x）=f（x+1），則f（2+log23）=．參考答案：【考點】分段函數的應用．【專題】計算題．【分析】判斷的范圍代入相應的解析式求值即可【解答】解：∵2+log23＜4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=f（log224）==故應填【點評】本題考查分段函數求值及指數對數去處性質，對答題者對基本運算規則掌握的熟練程度要求較高16.已知函數，則不等式的解集是

參考答案：17.若數列{an}滿足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，那么就稱數列{an}具有相紙P，已知數列{an}具有性質P，且a1=1，a2=2，a3=3，a5=2，a6+a7+a8=21，則a2017=．參考答案：15【考點】數列遞推式．【分析】根據題意，由于數列{an}具有性質P以及a2=a5=2，分析可得a3=a6=3，a4=a7，a5=a8=3，結合題意可以將a6+a7+a8=21變形為a3+a4+a5=21，計算可得a4的值，進而分析可得a3=a6=a9=…a3n=3，a4=a7=a6=…a3n+1=15，a5=a8=…a3n+2=3，（n≥1）；分析可得a2017的值．【解答】解：根據題意，數列{an}具有性質P，且a2=a5=2，則有a3=a6=3，a4=a7，a5=a8=3，若a6+a7+a8=21，可得a3+a4+a5=21，則a4=21﹣3﹣3=15，進而分析可得：a3=a6=a9=…a3n=3，a4=a7=a6=…a3n+1=15，a5=a8=…a3n+2=3，（n≥1）則a2017=a3×672+1=15，故答案為：15．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（1）Sn為等差數列{an}的前n項和，S2=S6，a4=1，求a5．（2）在等比數列{an}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首項a1和公比q．參考答案：【考點】88：等比數列的通項公式；85：等差數列的前n項和．【分析】（1）設等差數列{an}的公差為d，由已知可得，解之即可；（2）由已知可得，解之可得．【解答】解：（1）設等差數列{an}的公差為d，由已知可得，解之可得，故a5=1+（﹣2）=﹣1；（2）由已知可得，解之可得19.在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程；（2）曲線的方程為，設P、Q分別為曲線與曲線上的任意一點，求的最小值.參考答案：解（I）原式可化為

2分即

4分（II）依題意可設，由（I）知圓C1圓心坐標C1（2，0）Ks5u 所以.略20.已知函數f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）討論f（x）的單調性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，證明：當0＜x1＜x2時，．參考答案：考點：利用導數研究函數的單調性；函數單調性的性質．專題：導數的綜合應用．分析：（I）利用導數的運算法則可得f′（x），對a分類討論即可得出其單調性；（II）通過對a分類討論，得到當a=2，滿足條件且lnx≤x﹣1（當且僅當x=1時取“=”）．利用此結論即可證明．解答： 解：（Ⅰ）求導得f′（x）=，x＞0．若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增；若a＞0，當x∈（0，）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上遞增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．若a＞2，當x∈（，1）時，f（x）遞減，f（x）＞f（1）=0，不合題意．若0＜a＜2，當x∈（1，）時，f（x）遞增，f（x）＞f（1）=0，不合題意．若a=2，f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，f（x）≤f（1）=0，合題意．故a=2，且lnx≤x﹣1（當且僅當x=1時取“=”）．當0＜x1＜x2時，f（x2）﹣f（x1）=2ln﹣2（x2﹣x1）＜2（﹣1）﹣2（x2﹣x1）=2（﹣1）（x2﹣x1），∴＜2（1﹣1）．點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值、等價轉化、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．21.（本小題滿分13分）某單位從一所學校招收某類特殊人才．對位已經選拔入圍的學生進行運動協調能力和邏輯思維能力的測試，其測試結果如下表：

一般良好優秀一般良好優秀例如，表中運動協調能力良好且邏輯思維能力一般的學生有人．由于部分數據丟失，只知道從這位參加測試的學生中隨機抽取一位，抽到運動協調能力或邏輯思維能力優秀的學生的概率為．（I）求，的值；（II）從參加測試的位學生中任意抽取位，求其中至少有一位運動協調能力或邏輯思維能力優秀的學生的概率；（III）從參加測試的位學生中任意抽取位，設運動協調能力或邏輯思維能力優秀的學生人數為，求隨機變量的分布列及其數學期望．參考答案：（I）設事件：從位學生中隨機抽取一位，抽到運動協調能力或邏輯思維能力優秀的學生．由題意可知，運動協調能力或邏輯思維能力優秀的學生共有人．則．解得．所以．

……………4分（II）設事件：從人中任意抽取人，至少有一位運動協調能力或邏輯思維能力優秀的學生．由題意可知，至少有一項能力測