數學物理方法格林函數法第一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三

格林（Green）函數，又稱為點源影響函數，是數學物理中的一個重要概念．格林函數代表一個點源在一定的邊界條件下和初始條件下所產生的場．知道了點源的場，就可以用疊加的方法計算出任意源所產生的場．

格林函數法是解數學物理方程的常用方法之一．14.1格林公式上具有連續一階導數,

在區域

及其邊界

和中具有連續二階導數，應用矢量分析的高斯定理(14.1.1)

單位時間內流體流過邊界閉曲面S的流量單位時間內V內各源頭產生的流體的總量

第二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三將對曲面

的積分化為體積分

(14.1.2)以上用到公式稱上式為第一格林公式．同理有

(14.1.3)上述兩式相減得到

第三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三表示沿邊界

的外法向偏導數．稱式（14.1.4）為第二格林公式．進一步改寫為（14.1.4）第四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三14.2泊松方程的格林函數法討論具有一定邊界條件的泊松方程的定解問題．

泊松方程(14.2.1)

邊值條件

（14.2.2）是區域邊界

上給定的函數.是第一、第二、第三類邊界條件的統一描述

第五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三典型的泊松方程（三維穩定分布）邊值問題

(14.2.3)表示邊界面

上沿界面外法線方向的偏導數

一、格林函數的引入及其物理意義引入：為了求解定解問題（14.2.3），我們必須定義一個與此定解問題相應的格林函數它滿足如下定解問題，邊值條件可以是第一、二、三類條件：

第六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三（14.2.4）

代表三維空間變量的

函數，在直角坐標系中其形式為

（14.2.4）式中函數前取負號是為了以后構建格林函數方便格林函數的物理意義【2】：在物體內部（內）處放置一個單位點電荷，而該物體的界面保持電位為零,那么該點電荷在物體內產生的電勢分布，就是定解問題(14.2.4)的解――格林函數．由此可以進一步理解通常人們為什么稱格林函數為點源函數．

第七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三

格林函數互易定理：

因為格林函數

代表

處的脈沖（或點源）在

處所產生的影響（或所產生的場）,所以它只能是距離

的函數,

故它應該遵守如下的互易定理：（14.2.5）

根據格林公式（14.1.4）

令得到

（14.2.6）即為

(14.2.7)第八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三根據函數性質有：

(14.2.8)故有

(14.2.9)稱式(14.2.9)為泊松方程的基本積分公式．

格林函數滿足互易定理

并利用格林函數的對稱性則得到

（14.2.10）

第九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三

二、解的基本思想

通過上面解的形式（14.2.9）我們容易觀察出引用格林函數的目的：主要就是為了使一個非齊次方程(14.2.1)與任意邊值問題（14.2.2）所構成的定解問題轉化為求解一個特定的邊值問題（14.2.4）.一般后者的解容易求得，通（14.2.9）即可求出（14.2.1）和（14.2.2）定解問題的解．

考慮格林函數所滿足的邊界條件討論如下：

第一類邊值問題：（14.2.11）相應的格林函數是下列問題的解：

（14.2.12）第十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三

考慮到格林函數的齊次邊界條件，由公式（14.2.9）可得第一類邊值問題的解

（14.2.13）另一形式的第一類邊值問題的解

(14.2.14)第十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三2.第二類邊值問題

相應的格林函數是下列問題的解：（14.2.15）

（14.2.16）由公式（14.2.9）可得第二類邊值問題解

（14.2.17）第十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三3.第三類邊值問題

相應的格林函數是下列問題的解：（14.2.18）（14.2.19）（14.2.18）的邊值條件，兩邊同乘以格林函數第十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三（14.2.19）的邊值條件的兩邊同乘以函數得

相減得到代入（14.2.9）得到第三類邊值問題的解

(14.2.20)利用格林函數的互易性則得到

(14.2.21)第十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三這就是第三邊值問題解的積分表示式．右邊第一個積分表示區域

中分布的源

在點產生的場的總和.第二個積分則代表邊界上的狀況對

點場的影響的總和．兩項積分中的格林函數相同．這說明泊松方程的格林函數是點源在一定的邊界條件下所產生的場．對于拉普拉斯方程

第一邊值問題的解為

(14.2.22)第三邊值問題的解為

(14.2.23)第十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三14.3無界空間的格林函數基本解無界區域這種情形公式（14.2.10）中的面積分應為零，故有

(14.3.1)選取和分別滿足下列方程

(14.3.2)

(14.3.3)

第十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三一、三維球對稱對于三維球對稱情形，我們選取

對（14.3.3）式兩邊在球內積分

（14.3.4）

（14.3.5）利用高斯定理（14.1.1）得到

(14.3.6)第十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三

故有

使上式恒成立，有

因此，,故得到

第十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三對于三維無界球對稱情形的格林函數可以選取為

（14.3.7）

代入（14.3.1）得到三維無界區域問題的解為

（14.3.8）上式正是我們所熟知的靜電場的電位表達式

第十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三二、二維軸對稱情形用單位長的圓柱體來代替球．積分在單位長的圓柱體內進行，即因為由于

只是垂直于軸，且向外的分量，所以上式在圓柱體上、下底的面積分為零，只剩下沿側面的積分，即

第二十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三選取的圓柱的高度為單位長，則很容易得到下面的結果

令積分常數為0，得到

因此二維軸對稱情形的格林函數為

（14.3.9）

將（14.3.9）代入式（14.3.1）得到二維無界區域的解為第二十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三14.4用電像法確定格林函數用格林函數法求解的主要困難還在于如何確定格林函數本身

一個具體的定解問題，需要尋找一個合適的格林函數

為了求解的方便，對一些具體問題我們給出構建格林函數的方法一、電像法定義

考慮一個具體的物理模型：設在一接地導體球內的

放置一個單位正電荷，求在體內的電勢分布，并滿足邊界條件為零

點第二十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三對于第一類邊值問題，其格林函數可定義為下列定解問題的解

（14.4.1）

為了滿足邊界條件：電勢為零，所以還得在邊界外像點（或對稱點）放置一個合適的負電荷，這樣才能使這兩個電荷在界面上產生的電勢之和為零

這方法是基于靜電學的鏡像原理來構建格林函數，所以我們稱這種構建方法為電像法（也稱為鏡像法）．

第二十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三二、上半平面區域第一邊值問題的格林函數構建拉普拉斯方程的第一邊值問題求解物理模型：若在處放置一正單位點電荷

則虛設的負單位點電荷應該在

于是得到這兩點電荷在xoy的上半平面的電位分布．也就是本問題的格林函數，即為

（14.4.2）

第二十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三據上述物理模型可求解下列定解問題

例1

定解問題：

解：

根據第一邊值問題，構建的格林函數滿足

處放置于一個正和一個負的點電荷（或點源）

構建格林函數為

第二十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三邊界外法線方向為負軸，故有

代入到拉普拉斯第一邊值問題解的公式（14.2.13），拉普拉斯方程的自由項,則由得

(14.4.3)第二十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三或代入拉普拉斯方程的第一邊值問題的解公式（14.2.22）得到

(14.4.4)公式（14.4.3）或（14.4.4）稱為上半平面的拉普拉斯積分公式．第二十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三三、泊松方程的第一邊值問題求解

例2

定解問題：

根據第一類邊值問題的解公式(14.2.14)得到

（14.4.5）第二十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三根據半平面區域第一類邊值問題的格林函數(14.4.2)式，得到

(14.4.6)

因為邊界上的法線為負y軸，故

(14.4.7)將（14.4.6）和(14.4.7)代入（14.4.5）得到泊松方程在半平面區域第一邊值問題的解第二十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三四、上半空間內求解拉普拉斯方程的第一邊值問題物理模型:

第三十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三例.3

在上半空間內求解拉普拉斯方程的第一邊值問題

解：構建格林函數滿足第三十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三根據物理模型和無界區域的格林函數可以構建為

(14.4.8)

即有

第三十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三為了把代入拉普拉斯第一邊值問題的解的公式（14.2.22），需要先計算即為

第三十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三代入（14.2.22）即得到

這公式叫作半空間的拉普拉斯積分．

（14.4.9）第三十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三五、圓形區域第一邊值問題的格林函數構建物理模型2：在圓內任找一點

放置一個單位第三十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三根據圖14.2，這兩線電荷在圓內任一觀察點所產生的電勢為當觀察點位于圓周上時，應該有，即滿足第一類齊次邊值條件,

即為第三十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三上式應對任何值成立，所以上式對的導數應為零，即即得到

要求上式對任意的值要成立，故提供了確定的方程第三十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三

聯立解得

于是圓形區域的第一類邊值問題的格林函數為

（14.4.10）

即為

(14.4.11).其中第三十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三例.4

求解如下泊松方程定解問題

根據第一類邊值問題解的公式(14.2.14)，并取沿垂直于圓的方向取單位長積分，