指數函數經典題目第一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三識記與理解?練習：（口答）判斷下列函數是不是指數函數，為什么？√√第二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三例1

已知指數函數的圖象經過點(2,4)，求f(0),f(1),f(-3)。

解:因為的圖象經過點(2,4),所以f(2)=4,即,解得a=2,于是f(x)=所以,f(0)=1,f(1)=2,f(-3)=8__1第三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三—x21.一般地，函數

叫做指數函數，其中x是

，函數的定義域是

值域是

.2.函數y=ax(a>0,且a≠1)，當

時，在(-∞,+∞)上是增函數；當

時，在(-∞,+∞)上是減函數.3.y=ax(a>0,且a≠1)的圖象一定過點

.當a>1時，若x>0,則y

，若x<0，則y

;當0<a<1時，若x>0,則y

,若x<0，則y

.4.函數y=2的圖象可以看成指數函數y=2x的圖象向

平移

個單位得到的；函數y=2

(a>0,且a≠1,m>0)的圖象可以看成指數函數y=ax的圖象向

平移個

單位得到的；函數y=a(a>0,且a≠1,m>0)的圖象可以看成指數函數y=ax的圖象向

平移個

單位得到的.xm+y=ax(a＞0,且a≠1)自變量R（0,+∞）a>10<a<1(0,1)>1∈(0,1)∈(0,1)>1右2右m左m—xm第四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三5.函數y=ax和y=a-x的圖象關于

對稱；函數y=ax和y=-a-x的圖象關于

對稱.6.當a>1時，af(x)>ag(x)

；當0<a<1時，af(x)>ag(x)f(x)<g(x).y軸原點f(x)>g(x)5.函數y=ax和y=a-x的圖象關于

對稱；函數y=ax和y=-a-x的圖象關于

對稱.6.當a>1時，af(x)>ag(x)

；當0<a<1時，af(x)>ag(x)f(x)<g(x).第五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三學點一基本概念指出下列函數中，哪些是指數函數：（1）y=4x;（2）y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=x;(6)y=4x2;(7)y=xx;（8）y=(2a-1)x（a>,且a≠1.）【分析】根據指數函數的定義進行判斷.【解析】由定義，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數叫指數函數.由此可以確定（1）（5）（8）是指數函數.（2）不是指數函數.（3）是-1與指數函數4x的積.第六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三(4)中底數-4<0,所以不是指數函數.(6)是二次函數,不是指數函數.(7)底數x不是常數,不是指數函數.第七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三已知指數函數y=(m2+m+1)·（）x,則m=

.解：∵y=(m2+m+1)·（）x為指數函數,∴m2+m+1=1,即m2+m=0,∴m=0或-1.0或-1第八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三求下列函數的定義域、值域:（1）y=2;（2）y=（）（3）y=4x+2x+1+1;（4）y=10.第九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三【解析】（1）令x-4≠0,得x≠4.∴定義域為{x|x∈R,且x≠4}.∴≠0,∴2≠1,∴y=2的值域為{y|y>0，且y≠1}.（2）定義域為x∈R.∵|x|≥0,∴y==≥=1,故y=的值域為{y|y≥1}.（3）定義域為R.∵y=4x+2x+1+1=(2)2+2·2x+1=(2+1)2,且>0,∴y>1.故y=4x+2x+1+1的值域為{y|y>1}.XX第十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三（4）令≥0,得≥0,解得x<-1或x≥1.故定義域為{x|x<-1或x≥1}.值域為{y|y≥0,且y≠10}.第十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三（1）要使函數有意義，必須1-x≠0，即x≠1,∴函數的定義域是{x|x∈R,且x≠1}.（2）要使函數有意義，必須-≥0,則≥2-1,∴-x2≥-1,即-1≤x≤1,∴函數的定義域是{x|-1≤x≤1}.求下列函數的定義域:（1）y=2;（2）y=；（3）第十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三(3)∵1-≥0∴≤1,∴x≥0,即定義域為{x|x≥0}.第十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三比較下列各題中兩個數的大小：（1）1.72.5,1.73;（2）0.8-0.1,0.8-0.2;（3）1.70.3,0.93.1.第十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三【解析】（1）指數函數y=1.7x，由于底數1.7>1，∴指數函數y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函數.∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.（2）函數y=0.8x，由于0<0.8<1,∴指數函數y=0.8x在(-∞,+∞)上為減函數.∵-0.1>-0.2，∴0.8-0.1<0.8-0.2.（3）由指數函數的性質得1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,∴1.70.3>0.93.1.第十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三討論函數f(x)=的單調性,并求其值域.∵f(x)的定義域為R,令u=-x2+2x,則f(u)=.又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1］上是增函數,即當時，有.又∵f(u)=在其定義域內為減函數,∴.∴函數f(x)在(-∞,1］上為減函數,同理可得f(x)在［1,+∞)上為增函數.又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,f(u)=在(-∞,1］上是減函數,∴f(u)≥.即f(x)的值域為第十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三【解析】令=t,∵x∈［-3,2］,∴t∈,∴y==t2-t+1=,當t=時，y=;當t=8時，y=57.∴函數的最大值為57,最小值為.求函數y=，x∈［-3,2］的最大值和最小值.【分析】令=t，化函數為關于t的二次函數，再求解.第十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三已知函數y=a2x+2ax-1(a>1)在區間［-1,1］上的最大值是14,求a的值.令t=ax,∵x∈［-1,1］，且a>1,∴t∈.原函數化為y=t2+2t-1=(t+1)2-2.∴單調增區間是［-1,+∞),∴當t∈時,函數單調遞增,∴當t=a時,=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5,又∵a>1,∴a=3.第十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三畫出函數的圖象，并根據圖象指出這個函數的一些重要性質.【解析】其圖象是由兩部分合成的，一是把y=2x的圖象向右平移1個單位，在x≥1的部分，二是把的圖象向右平移1個單位，在x<1的部分，對接處的公共點為(1,1)，如上圖.第十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三由圖象可知函數有三個重要性質：（1）對稱性：對稱軸為x=1;（2）單調性：(-∞,1］上單調遞減，［1,+∞)上單調遞增；（3）函數的值域：［1,+∞).第二十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三畫出函數y=2x-1+1的圖象，然后指出其單調區間及值域.先畫出指數函數y=2x的圖象，然后將其向右平移一個單位，再向上平移一個單位即可，由圖象可看出函數的單調增區間為(-∞,+∞),函數的值域為(1,+∞).第二十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三設a是實數，f(x)=a-(x∈R).（1）證明：不論a為何實數，f(x)均為增函數；（2）試確定a的值，使f(-x)+f(x)=0成立.(1)證明：設x1,x2∈R，且x1<x2，x1-x2<0,則f(x1)-f(x2)=(a-)-(a-)==.由于指數函數y=2x在R上是增函數，且x1<x2,所以,即.第二十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三又由2x>0得所以f(x1)-f(x2)<0,因為此結論與a的取值無關，所以不論a為何實數，f(x)均為增函數.（2）由f(-x)+f(x)=0得得a=1.第二十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第二十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第二十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三刪除第二十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三例題第二十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三例4指數函數y＝3x的圖象經過怎樣的變換，可以得到函數y＝3x＋1＋1的圖象，并畫出它的圖象．解把函數y＝3x的圖象向左平移一個單位得到函數y＝3x＋1的圖象，再把函數y＝3x＋1的圖象向上平移1個單位就得到函數y＝3x＋1＋1的圖象，如圖．___第二十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三

知識要點1.整數指數冪及其運算法則第二十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三

2.分數指數（1）根式的定義；（2）根式的性質；（3）分數指數冪；一般地，若則x叫做a的n次方根n叫做根指數，a叫做被開方數當n為奇數時，=a；當n為偶數時，=|a|=第三十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第三十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第三十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第三十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三設函數y1=a2x2+1,y2=ax2+5,求使y1<y2的x的值.解:(1)當a>1時，使y1<y2,由性質(3)有2x2+1<x2+5x2<4

-2<x<2

(2)當0<a<1時，使y1<y2,由性質(3)有2x2+1>x2+5x2>4

x>2或x<-2即解為{x|x>2或x<-2}

第三十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三求下列各等式中的x的值(1)2x2+1=2x+3；(2)22x-3(2x)-4=0解(1)要使兩個同底的冪相等，只需它們的冪指數相等，所以由原式得x2+1=x+3

即x2–x-2=0∴x=-1或2

(2)設z=2x，原等式化為z2-3z-4=0(z+1)(z-4)=0即z=-1(舍去)或z=4由2x=4，得x=2

第三十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三例1,比較下列各題中幾個值的大小：（1）（2）Oxy(0,1)y=1Oxy(0,1)y=1第三十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三

解：

(1)考察函數y=1.7x，由于底數1.7＞1，所以指數函數y=1.7x在R上是增函數.∵2.5＜3,∴1.72.5＜1.73

(2)

考察函數y=0.8x.由于底數0.8﹤1，所以指數函數y=0.8x在R上是減函數.∵－0.1﹥－0.2,∴0.8–0.1﹤0.8–0.2

第三十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三

(3)已知2m﹤2n判斷m,n的大小

(4)已知am﹥an(0﹤a﹤1)判斷m,n的大小解:(3)考察函數y=2x，由于底數２﹥1,所以指數函數y=2x在R上是增函數。∵2m﹤2n∴m﹤n.

(4)考察函數y=ax.由于底數0﹤a﹤1,所以指數函數y=ax在R上是減函數∵am﹥an∴m﹤n.

第三十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三求下列函數的定義域和值域.解:(1)要使函數有意義，必須使x≠0，所以定義域為(-∞,0)∪(0,+∞);因為x≠0，則y≠1所以函數的值域為(0,1)∪(1,+∞).(2)要使函數有意義，必須使x-1≥0，即x≥1,所以定義域為[1,+∞);因為指數大于等于0，所以y≥1，即函數的值域為[1,+∞).第三十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第四十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第四十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第四十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第四十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第四十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第四十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三(1,+)(0,+)[1,+)(0,1](-1/2,0)><二、課前練習第四十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三例4.如圖是指數函數①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象．則a,b,c,d與1的大小關系是()在y軸右側的圖象，底大圖高.xyo①②③④a<b<1<c<dB.b<a<1