PAGEPAGE4理解“運算求解能力”促進高三數學復習一、引言高考制度不改革，不廢除高考，數學就總是處在高考的風口浪尖上，高考數學試題幾乎離不開運算，早在1998年任子朝先生在《高考數學能力考查與題型設計》一書中就指出：“運算量的大小以40％的考生在120分鐘內能完成全卷的解答為標準”，而近幾年江蘇卷則連10％的考生都達不到，正確求解填空題與解答題的壓軸題，則更是千里挑一、萬里挑一，運算能力的培養成為高考成敗的決定性因素，因為運算失誤導致高考失敗，改變一生命運成為部分考生永遠的痛，今天我就高考數學復習中的運算求解能力培養拋磚引玉，談一些認識和體會，敬請各位批評指正，本講座主要參考任子朝先生主編的《高考數學能力考查與題型設計》一書及川大附中周祝先老師的講座《對中學數學運算的認識》，同時得到省揚高中陳惠榮、卞國文、陸昌榮等老師的指導幫助，在此一并感謝。二、當前運算能力培養的現狀1.初中課程改革弱化了運算能力要求。（十字相乘法等乘法公式、因式分解、代數恒等變形、韋達定理、比例、平面幾何……刪減）2.計算器的廣泛使用削弱了運算意識和技能。3.高中數學教學突出了知識模塊弱化了運算教學、淡化了運算訓練意識，沒有補上初中去掉而高考又必考的一些運算內容，江蘇省高中數學教學要求和教學參考書也很少提及運算要求，如蘇教版教學參考書（必修2）第2章平面解析幾何初步提及本章教育目標8，在知識和概念的形成過程中，培養學生的合情推理能力，數學交流能力，探索能力和邏輯思維能力，唯獨不強調運算求解能力；而在選修1-1、2-1圓錐曲線一章也同樣只字不提運算求解能力，導致部分教師在實際教學中重視知識教學和解題思想、方法，輕視運算過程，自己鉆研解題不夠，對解題過程中的運算算理、算法不甚了解，無法有效、高效地指導學生。4.學生不明算理、機械套用運算公式，不顧運算目標，進行盲目的推理演算，運算過程中缺乏選擇合理、簡捷的運算途徑的意識，運算過程繁瑣，錯誤率高，對運算求解能力的內涵缺乏科學認識，誤以為是“馬虎”、“粗心”造成運算錯誤，平時復習解題認為“只要方法對，做錯了不要緊”。主要問題有：

①概念模糊不清（新增內容尤甚）學生容易因概念模糊而運算失誤。

②公式、性質記憶不準確.不會熟練進行順向等價變形，逆向回代、。

③數據處理能力差（計算、排序、篩選、分類等）.

④數學語言不過關，導致閱讀習慣差，閱讀能力差,運算無從下手.

⑤代數恒等變形常規方法不熟練.

⑥識別、駕馭圖表的能力差.

⑦算法意識差，算理不清，對運算問題缺乏檢驗、反思、總結的意識.

⑧審題不仔細、表達能力差、書寫不規范。

⑨運算習慣差，急于求成，粗枝大葉，說一套做一套,心里想的和手上寫的不一致.

⑩心理素質差，演繹了從“不喜歡”到“害怕”到“恐懼”的運算悲劇.

5.高考對運算能力的考查力度不降反升，盡管有人堅持“多考想、少考算”，但“如何想”，很難有操作性的考查方法，況且江蘇卷近幾年的運算要求一直很高，因為考查運算求解能力是提高區分度的重要手段，且考查運算比較容易操作。三、理解運算求解能力數學能力是一種個性心理，它對數學活動的進程方式起著直接的、穩定的調節作用，數學能力是數學素質在數學活動中的外化，高考考查的數學能力主要包括空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理等能力，其中運算求解能力的考查要求是：能夠根據法則、公式進行運算及變形；能夠根據問題的條件與目標尋找與設計合理簡捷的運算途徑；能夠根據要求對數據進行估計和近似計算。要正確理解運算求解能力，必須弄清以下幾個問題：1.高中階段常見運算形式：⑴數的四則運算（含復數運算）⑵代數式的運算（法則、運算律）⑶冪、指、對數運算法二：易知等差數列連續相等項的和所組成的數列仍然是等差數列，則運算量較小.設前項的和為，中間項的和為，后項和為.則，，，∴.本法熟練運用等差數列的定義和性質，計算量變得很小。法三：從已知條件可知：結果與的取值無關，令，得：，，∴，∴，∴.法三則是熟練運用簡縮思維進行運算的結果。熟練掌握常用的恒等變形，不僅可以提高運算的速度，還可以得到不同的結論，如兩角和與差的正切公式的各種變形，半角的余弦公式，余弦定理的各種變形。如橢圓方程的一種變形：變形得，再變形為.這是一個有趣的結論：橢圓上異于長軸端點的任一點與長軸端點的連線斜率之積為定值；在推導橢圓標準方程的過程中,也可由變形得：.這一過程揭示了第一定義與第二定義的等價性.還可以把分子有理化從而計算出構造出二元方程組然后兩式相加得最后兩邊平方，化簡得（a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2)⑶.運算的合理運算的合理性是運算能力的核心，一般一個較復雜的運算，往往是由多個較簡單的運算組合而成的，如何合理確定運算目標？設計運算程序，選擇運算途徑，并將各部分有機地聯系在一起？這是運算合理性的主要標志。①運算的合理性表現在運算要符合算理，算理即理由、道理、依據，運算過程中的每一步變形都要有依據、或依據概念，或依據運算法則和運算律，或依據公式，可以說運算的每一步變形都是演繹法的體現，都必須步步有理，高考對算理的考查是通過變形過程中的正誤來體現的。②運算的合理性表現在運算目標的確定，難度較大的試題，其運算目標通常比較復雜，需要經過多步運算才能達到最后結果，有時運算的目標模糊不能確定。③運算的合理性還表現在運算途徑的選擇，合理選擇運算途徑不僅是運算迅速的需要，也是運算準確性的保證，是提高運算能力的關健，運算步驟越多、越繁瑣、越容易出錯。必須靈活運用公式、法則和有關的運算律，掌握同一個問題的多種運算方法和途徑，并善于通過觀察、分析、比較，作出合理的選擇。運算求解的程序即算法、步驟，復雜的運算必須按照一定的算法實施，如解方程、解不等式就有比較明確規范的步驟，利用解析法解決幾何問題也有清晰的步驟如建系、設點，把幾何問題轉化為代數問題、求解代數問題、回到幾何問題驗證等步驟例３.已在等比數列中，已知是其前n項的和，，則的值為：分析：本題出現了三個條件：等比數列，，結論是求前5項的倒數和我們知道等比數列的各項倒數也成等比數列，因而問題化為求等比數列前5項的和，通法是運用求和公式，難點是不知首項和公比，關鍵是如何將表示，指導思想是運用整體思想，把和看做一個整體。即：此法常規簡明，對于一般等比數列求和題具有普適性，比較以下方法：此法表面上看構思新穎，構造了一個對稱式，其實和法一都采用了共同的思想方法――整體思想，這一特法并未簡化運算，在技巧上沒有明顯優勢，相反下面方法更具技巧性，且思維方式有了新變化法三，由是等比數列，可知也是等比數列，且公比是原數列的倒數，再利用等比數列性質：此法逆向改變數列順序，其公比與原數列各項的例數組成等比數列的公比一樣，且求和形式僅是首項不同，但由等比中項的結論立刻轉化，可為妙解，但同樣運用轉化與整體化思想，困此，特技僅是數學思想在解題過程中“靈光閃現”的定格，以上三法種掌握法和另兩種方法中的一種即可。例４.鹽城市2013屆高三第二次模擬試卷第20題：⒛設是各項均為非零實數的數列的前項和，給出如下兩個命題上：命題：是等差數列；命題：等式對任意（）恒成立，其中是常數。⑴若是的充分條件，求的值；⑵對于⑴中的與，問是否為的必要條件，請說明理由；⑶若為真命題，對于給定的正整數（）和正數M，數列滿足條件，試求的最大值。解：（1）設的公差為，則原等式可化為所以，即對于恒成立，所以………………4分（2）當時，假設是否為的必要條件，即“若①對于任意的恒成立，則為等差數列”.當時，顯然成立.………………6分當時，②，由①-②得，，即③.當時，，即、、成等差數列，當時，④，即.所以為等差數列，即是否為的必要條件.………………10分(3)由，可設，所以.設的公差為，則，所以，所以，，所以的最大值為……………16分(3)另解：設的公差為，則（*）設由得所以的最大值為注：（*）式也可由柯西不等式得到最大值。⑷.運算的簡捷運算的簡捷是指運算過程中所選擇的運算路徑短，運算步驟少，運算時間省，運算的簡捷是運算合理性的標志，是運算速度的要求、運算的簡捷主要體現在概念的靈活運用，公式的恰當選擇，數學思想方法的合理使用。例４.過雙曲線的左焦點作圓的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若，則雙曲線的離心率為______解：設，由知E為PF中點，E在圓上，且又點P在雙曲線上，則得得或（舍）另解：由知E為PF中點，連接PF’（F’為右焦點）則，又由可得由OG=可得，由即，得例6.2012年江蘇高考試題第15題。在中，已知.（1）求證：；（2）若，求的值.解：（1）∵，∴，即：.由正弦定理，得：，∴.又∵，∴，，∴，即：.（2）∵，，∴，∴.∴，即：∴由（1）得：解之得：或.∵，∴∴.注意：平時教學往往強調切化弦較多，但在什么條件下化弦為切強調不夠，學生只會順向思維，不會逆向為之，而善于逆向思維往往是高考命題的基本做法。⑸.運算的規范在運算求解過程中，通過認真審題，確定解題目標，尋找解題方向，選擇運算途徑，最后解決問題，但如何正確呈現運算求解過程，就需要規范的表述。目前指導學生讀評分標準是一條捷徑。例7.2012江蘇高考試題第18題。求函數極值是：，，令，解得：，（）.判斷-2是極值點得.當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；當時，，單調遞增，所以是的極小值點，不是極值點（）.許多學生被扣掉.另外在三角運算中，要寫步.四、培養運算求解能力㈠遵循運算求解能力發展的基本規律發展運算能力的大致過程是：知識→技能→能力：相應要求分別是：懂知識、會技能、能變通。1.建構完善系統的知識體系準確理解數學定義、概念、公式、定理，對于考試說明中的A級知識點要能直接使用，對于B級、C級知識點要弄清概念的發生、概括、形成過程，主要公式、定理要掌握其發現、推導過程，還要掌握它們的各種等價變形，如余弦定理的推導過程與常見的恒等變形。.2.熟練掌握有關運算的方法、步驟。模仿、操作階段，運算步驟不宜跳躍，每一步運算的算理必須明確、清晰，算法和運算過程的表述必須規范、條理，經過一定量的、有層次的、按部就班的訓練后，逐漸簡化運算步驟，靈活運用運算法則、公式，在運算求解過程中，學生能夠自覺地認識運算的目的性，準確判斷運算方向，合理選擇運算途徑，規范表述運算過程和結果，從而由懂到會，由會到對，由對到熟，由熟到變，由變到通，避免“會而不對，對而不全”的運算錯誤。3.在熟練掌握運算求解的算理、算法及運算技能基礎上弄清其隱含的數學思想方法，并以數學思想方法促進運算技能向能力過渡，一方面，合理使用數學思想方法可以簡化運算，提高速度，其中數形結合可以借助圖形直觀簡化運算量，等價轉化可以將復雜的運算轉化為簡單的運算，分類、整合可以化整為零，分解難點或整體思維、優化策略。另一方面，數學思想方法是使基本運算技能內化為思維能力的紐帶，在具體運算求解過程中還要注重充分運用通性通法，通性通法是指解決具有相同性質數學問題所用的通用方法，是數學思想和數學方法在解決數學問題中的集中體現，做數學就是要通過解決數學問題找到同類問題的一般方法。㈡抓實運算求解能力培養的各個環節1.在定理、公式、法則及重要結論的發現形成推導和應用過程中，教師要重點示范、講法算理算法，開始接觸各種運算與定理公式推導應用和典型例題時要盡量詳細規范板演，直接應用公式、定理解題時，要多讓不同層次學生在黑板上板演或展示各種解法、暴露運算中存在的各種錯誤和問題，通過比較算理的合理性，算法的簡捷性，過程的規范性，促進學生迅速形成各種運算技能。2.加強審題訓練，發現運算目標，啟發、幫助學生細致分析問題的條件、結論以及條件與結論間的聯系，尤其是如何發現問題中的隱含條件，及早確定運算目標，并在運算求解過程及時調整運算方向。弄清條件是解題的前提，可分為一級條件（原始條件）、二級條件（變形條件）、三級條件（隱含條件）例8.2012江蘇試題第10題設是定義在上且周期為的函數，在區間上，其中，若，則的值為.分析：本題的運算目標是求出的值，只須求出，的值即可，題中有一顯性條件可得關于，的一個方程，除非此方程中出現這一整體，否則還需再找條件，周期為，區間如何結合，由周期性定義可得，這樣本題的求解過程化為解方程組.解：因為函數是周期為的函數，所以；又，得，聯立方程組解得：，.所以.3.強化限時訓練，提高運算速度。限時訓練首先在選題，要根據不同層次的學生特點，選擇運算量適度的習題，且兼顧幾種解法，這樣便于不同層次的學生在現有水平上有所提高，在評講時也可提供多種運算途徑供學生選擇，要盡量減少利用填空題訓練運算能力，因為求解填空題無規范的運算過程，一些難題可以憑猜測得到結論，不利于訓練運算求解能力，影響思維能力的提升。4.重視解題反思，提升運算能力。在解題教學中，要指導學生學會驗算、減少失誤，可采用以下方法：復查驗算――草稿紙每算一題畫上邊框，便于檢驗。代值檢驗――選取邊界值和特殊值驗算。多解對照――通法求解巧法對照。逆向運算――順向解答逆向回代。觀測估算――離心率的范圍、三角函數有界性。量綱檢查――長度是一次函數、面積是二次函數、體積是三次函數。特值檢驗――例如直線斜率不存在時，等比數列公比為1時。條件檢驗――條件是否用足，尤其是隱含條件是否發現運用。邏輯檢驗――運算復雜的問題通過邏輯推理可能輕松解決。圖形檢驗――代數方法幾何檢驗。解題后檢驗發現問題必須不斷糾錯、訂正到位，訂正可分為老師評講前自我糾正、老師評講中對比訂正、老師評講后二次訂正，解題后更要總結反思⑴此題運用了哪些知識和方法，題中有哪些條件，尤其是否存在隱含條件，本題的算理是否清晰，算法是否簡捷，運算過程是否跳步，還有更好的解法嗎？5.重視簡化運算，提高求解能力。運算求解能力是其它數學能力的基礎，簡化運算是提高求解能力的重要環節。⑴熟記一些常見的運算結論和推理結果有利于尋找解題思路，簡化運算過程，提高運算結果的準確性，如四面體的體積公式、勾股數、20以上的自然數的平方，圓的第二定義，圓錐曲線的半徑公式，圓錐曲線的第二、第三定義，和差化積與積化和差公式等。例如四市一模試題第１３題利用結論⑵在解析幾何解題運算中，教給學生簡化運算的基本方法，如：恰當建系、巧妙設元、回歸定義、設而不求、數形結合、整體代換、數式化簡、特殊引路、特征分析（定量、定性）、直覺判斷、合情推理……例9.如圖在平面直角坐標系中，橢圓的左焦點為，右頂點為，動點為右準線上一點（異于右準線與軸的交點），設線段交橢圓于點，已知橢圓的離心率為，點的橫坐標為.⑴求橢圓的標準方程；⑵設直線的斜率為，直線的斜率為，求的取值范圍。分析：本題中求解斜率的表達式是關鍵，用參數表示斜率通常有以下幾種方法：①設；②或設PF的斜率為Ｋ。③設的斜率為；設的斜率為；④設.其