2021-2022學年河南省南陽市高一下學期第三次考試數學試題

一、單選題

1.已知點A(l,3),8(4,-1),則與AB同方向的單位向量為

【答案】A

【詳解】試題分析：48=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以與48同方向的單位向量為

AB1.八,34、

戶國p(3，-4)=(y？，故選A.

【解析】向量運算及相關概念.

2.下列函數中是奇函數，且最小正周期是兀的函數是()

A.y=cos|2RB.y-|sinC.y=sin(2x+])D.y=cos(2x--y)

【答案】D

【分析】根據函數解析式判斷奇偶性，結合最小正周期即可得出結果.

【詳解】對于A,???cos|2(一x)|=cos|24函數y=cos|2R是偶函數,故A錯誤；

對于B,，.1sin(-x)|=卜sinH=binx|,.?.函數y邛由可是偶函數，故B錯誤；

對于C,函數y=sin(2x+/)=cos2x是偶函數，故C錯誤；

對于D,函數y=cos(2x-■])=-sm2x是奇函數，最小正周期7=5=兀，故D正確.

故選：D.

3.已知向量4=(6,1),b是單位向量，若|百，則”與b的夾角為()

A.工B.&C.生D,

6336

【答案】C

【分析】根據題意，利用向量的運算法則，求得4包=-1,再結合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】由題意，向量4=(6,1),是單位向量，可得忖=2，W=1,

因為卜+,=6，可得(4+力2=1+62+2“力=4+1+2。為=3,可得4/=-1，

因為加,所以的=尊

故選：C.

jr377r

4.已知sin（；-x）=：,貝lJcostr+丁）等于

356

43

B.C.

5

【答案】C

【分析】由誘導公式化簡后即可求值.

COS"%=一cosx|=-￡-k￡

【詳解】+sin[+]=

I6）

故選c.

【點睛】本題主要考查了三角函數誘導公式的應用，屬于基礎題.

TT7T

5.函數/(x)=tan(s:-：)與函數g(x)=sin(7-2戈)的最小正周期相同，貝

44

A.±1B.1C.+2D.2

【答案】A

【詳解】解：因為函數f(x)=tan(ox-f)與函數g(x)=sin(f_2x)的最小正周期相同，因此

44

42乃.

；―；=>/=±1,選A

l<y|2

6.設q,02是兩個不共線的向量，若向量"?=-q+加2(ICR)與向量"=02-2q共線，則()

A.k=0B.k=1C.k=2D.k=；

【答案】D

【分析】根據向量共線定理可得機=2〃，再由q與e?是不共線向量，可得;=；一二解方程組即

可求解.

【詳解】由共線向量定理可知存在實數九使機=4”，

即+ke2=-24)=Ae2-2Ae1,

又“與e；是不共線向量,

1

-1=-2A2

，解得

k=A

2=-.

2

故選：D

「A5TI,3萬

7.已知。=tan五*=cos-^-,c=cos，則()

A.b>a>cB.a>b>c

C.b>c>aD.a>c>b

【答案】D

【解析】化簡，利用三角函數正負值及及有界性，即可得出結論.

.57r.,3TC_.?177r?71c

【詳解】6r=tan—>l,p=cos—<0,1>c=cosI———I=cos1>0.

故選:D

【點睛】本題考查誘導公式化簡三角函數值，考查三角函數的正負及有界性，屬于基礎題.

8.已知/(x)=0sin(x+g),把心)的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的;倍，縱坐標不變，再向

62

TT

右平移￡個單位，得到g(x)的函數圖象，則()

6

rrk7T

A.g(x)圖象的對稱軸為x=q+券,keZ

rrk7T

B.g(x)圖象的對稱軸為x=￡+與水￡Z且為奇函數

C.g(x)圖象的對稱軸為尸7r+2for,k￡Z且為奇函數

D.g(x)圖象的對稱軸為x=7~+2Z肛2￡Z

6

【答案】A

【解析】根據圖象變換得g(x)表達式，再結合對稱軸公式求解即可.

【詳解】依題意得g(x)=Ain(2x-/

?-7TTV./口7Ck/C.—

由2%----=—Fk,7i彳尋x——I------、keZ

6232

故選：A

9.已知函數/(x)的局部圖象如圖所示，則下列選項中可能是函數解析式的是()

y=xcosxC.y=x2sinxD.y=xsinx

【答案】c

【分析】利用函數的奇偶性首先排除選項A,D,再通過特殊值排除選項B,確定正確答案.

【詳解】選項A,/(-%)=(-x)2cos(-x)=/cosx=f(x),是偶函數，其圖象關于丫軸對稱，所

以選項A錯誤；同理選項B,C的函數是奇函數，它們的圖象關于原點對稱；選項D的函數也是偶函

數，其圖象關于y軸對稱，所以選項D錯誤；

當x=1時，y=XCOSX=y-COSy=0,與函數的圖象不符，所以選項B錯誤；

當x時，y=x2sinx=--sin—=—>0,與圖象相符，所以選項C正確.

故選：C

【點睛】方法點睛：根據函數的圖象找解析式，一般研究函數的奇偶性、單調性、周期性、對稱性、

特殊點等，來確定正確答案.

10.《擲鐵餅者》取材于希臘的現實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程

中具有表現力的瞬間(如圖).現在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的

手臂長約為fm,肩寬約為gm,“弓”所在圓的半徑約為gm,則擲鐵餅者雙手之間的距離約為(參

484

考數據：>/2?1.414,V3?1.732)()

A.1.012mB.1.768mC.2.043mD.2.945m

【答案】B

【分析】由題意分析得到這段弓形所在的弧長，結合弧長公式求出其所對的圓心角，雙手之間的距

離，求得其弦長，即可求解.

54

【詳解】如圖所示，由題意知“弓''所在的弧4cB的長/=E+￡+g=￥，其所對圓心角a==

4488±2

4

STT

則兩手之間的距離=2\AD\=2x-xsin-?1.768(m).

故選：B.

11.設點4(—2,-2),8(-2,6),C(4,-2),P(2sina,2cosa),其中aeR,則|4P+8P+CP|的取值范圍

為()

A.[4,8]B.[4,6]C.[-2,4]D.[6,8J

【答案】A

【分析】由題可知，點P在圓f+V=4上，設P(x,y),根據向量的坐標運算可求得

IAP+BP+CP『=40-12)，，由丫的范圍可求得|4P+BP+CP|的取值范圍得選項.

【詳解】由題可知，點尸在圓d+V=4上，設尸(x,y),

貝!]AP=(x+2,y+2),BP=(x+2,y-6),C尸=(x-4,y+2),所以AP+8P+CP=(3x,3y-2),

UI|AP+BP+CP|2=9x2+9y2-12y+4=40-12y,因為-2WyW2,所以16M40-12yV64,

所以40AP+BP+CP|<8,所以|AP+BP+CP|的取值范圍為[4,8],

故選：A.

【點睛】關鍵點睛：本題考查向量的模的范圍的問題，關鍵在于得出點P的軌跡方程，運用點的坐

標表示出所求的向量的模，由點的坐標的范圍可得以解決.

?I|II.A89AC

12.已知w，|AB|=],|ACbf,若P點是所在平面內一點，且o”=詞+而，則

P&PC的最大值等于()

A.16B.4C82D.76

【答案】D

【分析】以A為坐標原點建立平面直角坐標系，可得c(o,r)(z>o),利用平面向量坐標運

算可求得「(1,9),由數量積的坐標運算可表示出PC，利用基本不等式可求得結果.

【詳解】以A為坐標原點，可建立如圖所示平面直角坐標系，則C(0,?)(r>0),

9

-(0,r)=(l,9),即P(L9),

=PC=(-l,/-9),...尸3尸。=1一;一次+81=82—(%+；

和=6(當且僅當勿斗即舊時取等號)，

.?.(PBPC)<82-6=76.

故選：D.

【點睛】方法點睛：求解平面向量數量積問題的常用方法有兩種：

(1)利用平面向量線性運算將所求數量積進行轉化，轉化為夾角和模長已知的向量數量積的求解問

題；

(2)建立平面直角坐標系，利用平面向量數量積的坐標運算來進行求解.

二、填空題

13.設04=(1,-2),0B=3-1),0C=(也0),〃>0力>0,。為坐標原點，若A,B,C三點共線，則a+1■的值是

【答案】g##0.5

【詳解】AB=(a—1,1),AC=(—6—1,2),則A3AC,所以2a—2=—b—1,所以2a+匕=1,即a+g=g.

點睛：本題考查平面向量的三點共線問題.三點共線問題向量平行，本題中得

AB=(a-l,l),AC=(-6-l,2),則ABAC,由向量平行的公式，若“=(%|,%)力=(%,%),且ab,

則%％=々蘆，利用公式，解得答案.

14.已知—43C是邊長為2的正三角形，則向量43在8c上的投影數量是.

【答案】T

【分析】根據數量積的幾何意義即可求解.

【詳解】向量AB在8c上的投影數量為1Aqeos(AB,BC)=2xcosl20=-1,

故答案為：-1

15.已知函數/(x)=2sin?x+e)卜＞0,|同臼的部分圖象如圖所示，則〃x)在y,2n上的最大

值為.

【答案】"

【分析】先根據圖象求出函數解析式，再根據所在區間求出最大值.

【詳解】7X—==解得。=2,由/p^]=2sin(2x粵+w)=2,所以夕=g+2E,

4CD1234k12；I12J3

keZ.

因為冏所以0=],所以/(x)=2sin(2x+￡|.

,_,、，371——_71_71.71

因為5'之九，所以2工+§￡3K+y,4K+—,

所以f(x)=2sin(2x+,卜[-2,75],所以的最大值為用.

故答案為：x/3.

7T

16.將函數/(x)=sin2x的圖象向右平移￡個單位后得到函數g(x)的圖象，若存在小弓，使得

0

+四(々)]2=2,則k-^|n.n=.

IT

【答案】y

o

【分析】根據三角函數圖象的平移變換求得g(x),然后考察最值點可得.

■JTTT

【詳解】由題知g*)=八*-")=sin(2x-；)

63

222

所以"0])?+[g(x2)]=sin2%4-sin(2x2-y)=2

2

所以sir^ZX]=sin(2x2-y)=l

則2X[=—+k、7T,2x)——=—+k-)7i,k\eZ,k2GZ,

r1rl7ik.7r5TTk、7T,.

即玉=—H—,x2=—,k\GZ,k2wZ,

所以|占_司卡+竽喑_卓卜件押q

當占-《=0時，N-乩"嗑

故答案為：g

0

三、解答題

17.己知向量a、b的夾角為?，且悶=用=血，

（1）求的值;

（2）求a與a+〃的夾角的余弦.

【答案】（1）小（2）平.

【分析】⑴先求出|：+,=（"）2=；+2/+》的值，再開方即可求出卜+0的值;

〃?(〃+/7)

（2）設a與.+/,的夾角為6,由cos6=可以求出.

棉+4

【詳解】(1)a-b=[xy[2x^^=\,

2

二.卜+4=y](a+h)2=+2a-b+\f^=>/1+2+2=石;

（2）設q與a+b的夾角為，,

；》?(，+心)=|4+〃力=1+1=2,

a-(a+b)_2_275

卜小卜+〃|lx百5

故a與a+b的夾角的余弦￥.

【點睛】本題主要考查平面向量的數量積，正確使用數量積的定義運算，對于卜+q,一般先平方,

再開方進行求解.

18.已知30),xeR

COSX

3

(1)若a為第三象限角，且sina=-g,求f(a)的值.

7T7T1

(2)若xe,且g(x)='r-+2/(x)+l,求函數g(x)的最小值，并求出此時對應的x的值.

34Jcosx

【答案】⑴"43Q)函數g。)的最小值為1，止匕時x=7fT

44

【解析1(1)先化簡函數解析式得f(x)=-tanx,則由條件可得tana=[3,得出答案.

⑵由條件可得g(x)=tan2x_2tanx+2,則由xe,設￡=tanxe[-Gl],根據二次函數

y=『_2f+2=(f_l)2+]即可得出答案.

?'工‘一1心?、sin(x-3^)-sin(3^-x)sinx

【詳解】由已知有f(x)=—------=——-------=-——=一tanx

cosXcosXCOSX

343

(1)右a為第三象限角，且sina=-=,則cosa=-=,則tana=：

554

3

-tana=-

/(?)=4

/八/\cos2x+s.m2xicc

(2)g(x)=------z-----F2/(X)+1=tan2-x-2tanx+2

COS-X

XG,設1=tanxe[-G,l]

即丫=產-2￡+2=。-1)2+1,當f=l,即x=(時，有最小值1

TT

所以當'=時,函數蚣)有最小值L

【點睛】關鍵點睛：本題考查根據三角函數求值和將函數化為tana的二次式求最值，解答本題的關

鍵是由g(x)=c°s：；；：n~+2〃x)+[=tan2x_2tanx+2將函數化為二次式,根據tana式一6,1]

求最小值，屬于中檔題.

19.已知向量。=(1,2),1=(x,l).

(1)若(a+26)_L(2a-6)時，求*的值;

(2)若向量a與向量b的夾角為銳角，求x的取值范圍.

【答案】⑴x=-2或7不⑵{x|x>—2且、嗎1}.

【解析】(1)先求出a+2力，2“-6的坐標，再由(a+2r)_L(2l1)得(。+2辦(22-母=0,列方程

可求出x的值;

(2)由向量a與向量6的夾角為銳角，可得a/>0，且向量.與向量匕不共線，從而可求出x的取

值范圍

【詳解】解：(1)因為向量a=(l,2),b=(x,1)>

所以a+2Z?=(l,2)+2(x,l)=(2x+l,4),2a-b=2(l,2)-(x,l)=(2-x,3),

因為(a+2h)r(2a-b),所以(a+2力Q--)=0,

所以(2x+l)(2-x)+4x3=0,即2/一3*-14=0,

7

解得x=—2或x,

2

(2)因為向量a與向量b的夾角為銳角，所以“力>0，且向量a與向量b不共線，

x+2>0

所以7x,解得x>-2且

一工一2

121

所以X的取值范圍為{x|x>-2且X*g}

7T

20.已知函數/(x)=2sin(-2x+§)+l.

(1)求f(x)的單調遞增區間；

(2)求f(x)在區間一工勺上的最值，并求出取最值時x的值；

(3)求不等式“X)22的解集.

【答案】(l)[57]r+E,E+11g7Tl?eZ

(2)當“若時，函數”X)取最大值3；當A：時，函數〃x)取最小值0；

7TTT

⑶五]入Z

TVTT

【分析】⑴根據正弦函數的單調性，計算1+2祈即37r可求解；

(2)由-黃可得：一號42X-U，利用正弦函數的性質即可求解A》)在區間-J，勺上的最

4463644

值，并能求出取最值時x的值；

⑶由/(幻22可得：sin(2x-^)<-1,利用正弦函數的圖象和性質即可求解不等式.

TTIT

【詳解】(1)因為/(x)=2sin(—2x+§)+l=-2sin(2x-5)+l,

—+2fau<2x-—<—4-2^71,/:eZ,解得：—+kji<x<GZ,

2321212

所以函數“X)的單調遞增區間為[吉+E,E+曾]/eZ.

TT_JTIT

(2)由(1)知：/(x)=—2sin(2x——)+1,因為—■-<x<—,

344

所以—57r—7T工WIT工，由正弦函數的圖象和性質可得：—14sin(2x—7WT)Wl：,

63632

所以“x)e[0,3],當也即x=-1時，函數f(x)取最大值3；

當2x-?=B，也即x=m時，函數/(X)取最小值0；

364

(3)由3(x)N2,BP—2sin(2x—)+122,可得:sin(2x—)4—,

332

由正弦函數的圖象和性質可得：2E-字

636

TTTT

解得：lai——<x<kit+—,kjZ,

412

所以不等式的解集為：[E-；,E+粉,ZeZ.

21.如圖，在正方形ABC。中，點E是BC邊上中點，點尸在邊C。上.

(1)若點尸是8上靠近C的三等分點，設EF=2AB+〃A￡>,求入的值.

(2)若A8=2,當尸=1時，求。尸的長.

13

【答案】(1)—；(2)—.

I1uni1um1uiimii

【分析】(1)先轉化得到。產=一工46,后。=不4。，再表示出"=—[A8+jA。，求出入=一1,口=5,

最后求X+g的值；

(2)先得到4^=48+54。和ABAO=0,再建立方程-44+2=1求解入=:,最后求。尸的長.

【詳解】(1)；點E是BC邊上中