教案～第一學期課程名稱思想道德涵養與法律基礎教學單位計算機系教研室數學任課教師陳藝華職稱助教講課班級級各專業錦州師范高等?？茖W?！谝粚W期講課課程：思想道德涵養與法律基礎講課教師：陳藝華章節緒論-珍惜大學生活開拓新境界講課班級級數學教育1、2班講課時間年11月11日講課類型理論課時數MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc2課時教學目標1.了解大學生活特點，了解大學學習特點和方法；2.了解人際交往特點，掌握人際交往標準和藝術。教學重點和難點重點：幫助學生認識大學生活特點，學習方法，構建友好人際交往關系難點：怎樣引導新生盡快適應新環境，確立新目標。教學(具)準備多媒體課件教學方法視頻播放、啟發式和案例研討教學法教學主要內容一、介紹本門課程教學內容、課時、考評方式、學習方法二、觀看并討論視頻三、大學生活新改變及適應策略教學過程設計備注一、導入新課視頻播放貴州大學校長鄭強教授在中央電視臺一套《開講啦》做一期節目，節目中鄭強教授講述了自己了解中大學內涵。討論三個問題：1、大學生活與中學生活相比，有什么改變？2、大學生活有哪些新奇和驚喜，又有什么迷惑和不適？3、大學生活新改變對大學生提出了哪些新要求？二、講授新課（一）案例分析過渡：經過以上講述我們知道了大學生活特點及與中學生活不一樣，面對學習要求、生活環境和社會活動方面改變，我們是否要進行適應呢？能否很好適應呢？適應不好話，會產生哪些問題呢？:案例1：反面案例2：正面案例總結：大學生活常見不適應現象主要有：學習方法、人際交往、戀愛、心理健康等方面問題。這些都是屬于大學新生普遍現象。我們要以主動態度，勇敢地面對這些問題，主動而努力地去調整和適應大學生活。（二）適應策略（1）提升獨立生活能力（2）樹立新學習理念（3）培養優良學風（4）確立成才目標，塑造嶄新形象（5）構建友好人際關系1）人際交往標準2）人際交往藝術三、課堂小結1、給同學們推薦大學生必看勵志書籍。作業：結合自己專業和大學學習特點，制訂一份大學學習計劃書利用10分鐘引入新課，播放視頻利用25分鐘組織學生討論講話（啟發式教學）5分鐘總結討論10分鐘歸納分析大學生活常見問題35分鐘理論講述新生適應大學生活基本策略5分鐘布置作業和解疑板書設計緒論珍惜大學生活開拓新境界一、認識大學二、大學生活常見不適應現象三、適應策略樹立新學習理念構建友好人際關系教學反思章節1.1復數（二）講課班級級數學教育班講課時間20年月日講課類型理論課時數MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc課時教學目標1.會求復數乘冪與方根，掌握共軛復數公式2.掌握歸納數學方法，能應用復數理論處理一些數學問題教學重點和難點重點：復數方根.難點：復數開方運算.教學(具)準備三角板、圓規教學方法講授法、討論法、練習法教學主要內容一、復數乘冪和方根二、共軛復數三、應用教學過程設計備注一、復習舊知復習復數三種形式，利用指數式來處理乘冪和方根二、講授新課復數乘冪與方根1.乘冪.設，則當初，棣莫弗公式例1.3求用表示式子提醒：利用棣莫弗公式及兩復數相等條件來處理此問題2.方根.解方程，求，設，帶入得從而有，則結論：(1)開n次方就有n個根；(2)這n個根為內接于以原點為心，為半徑圓周正n邊形n個頂點(圖1-2).圖1-2例1.4解方程步驟：(1)解出并將-8化為三角式或指數式（其中）(2)(3)分別解出三個根共軛復數1.模與輻角關系：2.慣用公式(1)(2)設表示對于復數,…任一有理運算，則例1.5設是兩個復數，試證，并用此不等式證實.證又因為，則兩邊開平方得.應用例1.6連接線段參數方程為連接直線參數方程為引申：三點共線充要條件為(為非0非1實數)三、課堂練習解方程四、課堂小結復數乘冪和方根求法，共軛復數相關公式，三點共線充要條件五、布置作業P42—3、4；P43—9提問復數三種形式啟發學生尋找復數與其乘冪模和輻角關系，得出結論學生輕易得犯錯誤結論，提醒學生思索輻角意義提醒解題步驟，由老師學生共同完成熟練靈活地利用這些公式，對化簡計算、解答問題都會帶來方便提醒學生利用共軛復數相關公式類比求動點軌跡方程，有學生說出第二題答案師生共同探討參數為何值（教材上面有錯誤）學生總結本堂課知識，不足教師補充板書設計板書1四、復數乘冪與方根2.方根練習1、乘冪推導過程例題例題板書2五、共軛復數例題六、應用公式例題教學反思章節1.2復平面上點集1.3復變函數(一)講課班級級數學教育班講課時間20年月日講課類型理論課時數MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc課時教學目標1.熟悉平面點集基本概念，熟練區分簡單閉曲線、光滑曲線和區域2.對復變函數概念有初步了解教學重點和難點重點：區域概念.難點：復變函數概念了解.教學(具)準備三角板、圓規教學方法講授法、討論法教學主要內容一、平面點集幾個基本概念二、復變函數概念教學過程設計備注一、導入新課1.提問數學分析中聚點、孤立點、邊界點、有(無)界集概念.2.回顧上節提到線段、直線等，它們都是復平面點集，后續課中講到解析函數，其定義域、值域均為復平面上某點集.二、講授新課（一）平面點集基本概念1.點集基本概念(1)鄰域,去心鄰域(2)聚點、內點、孤立點、外點、邊界點、邊界(3)閉集、開集；有界集、無界集(4)區域、閉域充分了解上述定義，得出以下結論：1)內點必為聚點；2)聚點可能屬于E，可能不屬于E；3)孤立點必為邊界點；4)有邊界不一定是有界集，無邊界必為無界集.例1.7(1)帶形區域(圖1-3)；(2)同心圓環區域(圖1-4)圖1-3圖1-42.若當曲線圖1-5非簡單曲線圖1-6簡單曲線圖1-7非簡單閉曲線圖1-8簡單閉曲線圖1-9光滑曲線圖1-10光滑閉曲線（二）復變函數1.定義(圖1-11)單值，多值 圖1-112.代數式，指數式例1.8設有函數試問它把平面上以下曲線分別變成平面上何種曲線？(1)以原點為心,2為半徑,在第一象限例圓??；(2)傾角直線；(3)雙曲線.解設，則(1)對應平面圖形為以原點為心，4為半徑，在軸上方半圓周(2)射線(3)，故，所以在平面上像為直線.三、課堂練習設函數(1)(2),分別寫成什么形式？四、課堂小結若當曲線與區域概念；復變函數概念五、布置作業P43—10、11鄰域為復數列與極限論基礎此部分內容師生共同討論完成對于若當曲線，給出圖形舉例，省去繁瑣而抽象定義贅述對比數學分析中函數概念,找到異同點解釋復變函數圖象需要四維空間，不能形象描述提醒學生前兩題考慮模與輻角，三題考慮代數關系，師生共同討論完成學生總結本堂課知識，不足教師補充板書設計板書11、平面點集基本概念結論畫圖解釋2、若當曲線與區域畫圖解釋若當曲線例題板書2畫圖解釋區域2、復變函數例題定義兩種形式教學反思章節1.3復變函數(二)1.4復球面與無窮遠點講課班級級數學教育班講課時間20年月日講課類型理論課時數MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc課時教學目標1.了解復變函數性質，會應用極限、連續處理相關問題2.充分了解無窮遠點與復球面概念3.培養學生類比、歸納能力教學重點和難點重點：復變函數極限與連續難點：利用極限、連續語言處理問題教學(具)準備三角板、圓規教學方法講授法、討論法教學主要內容1.復變函數極限與連續2.利用極限、連續語言證實相關結論3.復球面與無窮遠點教學過程設計備注一、復習舊知、導入新課提問：數學分析中函數極限和連續概念二、講授新課（一）復變函數極限與連續1.極限注：指沿四面八方通向任何路徑趨近于.定理1.1充要條件為，.證因為有，則即，由，有和于是即2.連續例1.9證實在原點無極限，從而在原點不連續.解.設，則=.極限不存在，故在原點不連續例1.10設，則在某去心鄰域內有界.析：要找到某一,使.由知有.在此式中想解出，需要利用絕對值不等式，解出例1.11設，則在某鄰域內恒不為零.析：即證，由有有想證利用絕對值不等式得只需取即可.此題過程由學生完成.（二）復球面與無窮遠點1.無窮遠點引入：首節課引例3知球面上點在平面上無對應點，引入無窮遠點與之對應，得到擴充復平面，與之對應球面為復球面.擴充復平面一個幾何模型就是復球面.2.3.相關結論：復平面以點為唯一邊界點，擴充復平面以點為內點，且它是唯一無邊界區域.三、課堂練習設函數試證：在原點不連續.四、課堂小結復變函數極限和連續語言，復球面與擴充復平面概念五、布置作業P44-14、15對比數學分析中相關定義書上證實過程比較簡練，不易了解，將詳細證實過程板書演示連續滿足三點，和實函數相同提問：假如設，可否證實得出對應結論？兩道例題由教師分析解題思緒，證實過程由師生共同完成提問：是否可取其余值？只要取都可證實學生總結本堂課知識，不足教師補充板書設計板書11、復變函數極限與連續定理與證實(2)連續定義(1)極限定義例1.9板書2例題1.10例1.112.復球面與無窮遠點(1)復球面、擴充復平面定義(2)鄰域、去心鄰域(3)結論教學反思章節2.1解析函數概念與柯西-黎曼方程講課班級級數學教育班講課時間20年月日講課類型理論課時數MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc課時教學目標1.掌握復變函數導數與微分概念2.了解解析函數概念，掌握判斷解析函數方法3.培養學生類比、歸納能力教學重點和難點重點：解析函數判斷方法難點：解析函數必要、充要條件定理證實教學(具)準備三角板教學方法講授法、討論法教學主要內容一、復變函數導數與微分二、解析函數及其簡單性質三、C.-R.方程教學過程設計備注一、導入新課復變函數研究主要對象為解析函數，它是一類具備某種特征可為函數，本節我們來研究這類函數和它性質.二、講授新課（一）解析函數1.導數2.微分結論：(1)在一點可導可微(2)可微連續例2.1證實在平面處處不可微證，當分別取實數和純虛數時，極限不一樣，則極限不存在，從而在平面處處不可微.例2.2求導數（二）解析函數及其簡單性質1.解析函數：在區域內可微，則稱為內解析函數“解析”概念解釋：(1)在解析：在某一鄰域內解析；(2)在區域解析：在區域可微；(3)在閉域解析：在包含閉域區域解析.經過上述解釋，可得以下結論：(1)在解析在可微；(2)在區域解析在區域可微2.奇點：不解析點(無定義、不連續、不可導)（三）柯西-黎曼方程1.C.-R.方程引出假設是復變函數一個定義在區域內函數.當二元實函數給定時，此函數也就完全確定.通常說來，假如函數相互獨立，即使函數對全部偏導數都存在，函數通常仍是不可微.比如，處處連續，而且正確一切偏導數都存在且連續，但卻是一個處處不可微函數.提出想法：假如函數是可微，它實部與虛部應不是獨立，而必須適合一定條件，下面我們來探討這種條件。探討：若在一點可微，則有(2.1)設,則(2.1)變為(2.2)先設，則(2.2)式變為即(2.3)再設，則(2.2)式變為即(2.4)比較(2.3)與(2.4)得出(C.-R.)上述方程稱為柯西—黎曼方程，簡稱為C.-R.方程.2.函數若在一點可微必要條件：在滿足C.-R.方程.充要條件：①在可微；②在滿足C.-R.方程.充分條件：①在連續；②在滿足C.-R.方程.3.函數若在區域解析充要條件：①在區域可微；②在區域滿足C.-R.方程.充分條件：①在區域連續；②在區域滿足C.-R.方程.4.求導公式例2.3討論函數解析性解，故.又這四個偏導數在平面上處處連續，則只在可微，但在整個平面上處處不解析.例2.4討論函數可微性和解析性.解故，要滿足C.-R.方程，必須，故僅在直線上滿足C.-R.方程，且偏導數連續，從而僅在直線上可微，但在平面上處處不解析.而且三、課堂練習試證函數在平面上解析，且.四、課堂小結函數在某點可微必要、充要、充分條件；函數在某區域充要、充分條件五、布置作業P90—3、4、5、8提問數學分析中導數與微分概念，類比得出復變函數相關概念例2.2求導法則和數學分析中一樣，由學生完成熟練掌握解析概念學生分組討論，完成證實過程，表現師范學生示范性教師點睛掌握函數解析性通常方法，由學生總結步驟學生總結本堂課知識，不足教師補充板書設計板書11、復變函數導數與微分2、解析函數及其簡單性質(1)導數(1)解析函數(2)微分例2.2例2.1(2)奇點板書23、柯西-黎曼方程(2)函數在某點可微各條件例2.3(1)C.-R.方程引出(3)函數在某區域可微各條件例2.4教學反思章節2.2初等解析函數講課班級級數學教育班講課時間20年月日講課類型理論課時數MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc課時教學目標1.掌握指數函數和三角函數性質，并掌握其與實變函數異同2.會利用解析函數性質處理通常復數性問題教學重點和難點重點：指數函數、三角函數性質.難點：復函與實函對應知識不一樣.教學(具)準備三角板教學方法講授法、討論法教學主要內容一、指數函數二、三角函數三、雙曲函數教學過程設計備注一、導入新課上節課我們將數學分析中知識平行推廣到復變函數中，本節課我們來研究初等函數在復變函數中推廣，會得到一些性質，其中有與數學分析不一樣新性質，利用這些性質我們能夠處理一些復數性問題。二、講授新課（一）指數函數1.定義2.性質(1);(2);(3)認為基本周期，認為周期;(4)無意義;(5)不滿足Rolle定理，滿足羅比達法則.（二）三角函數1.定義教學設計：由歐拉公式啟發學生思索怎樣求出和，將以復數代替，便得到正余弦定義.2.性質(1);(2)是奇函數，是偶函數，并滿足三角恒等式;(3)都認為基本周期;(4)零點為，零點為;(5)在復數域無界.（三）雙曲函數定義雙曲正余弦記憶方法：正余弦定義中去掉全部即可.例2.5求值解==例2.6，若解由已知有，即,于是所以則.三、課堂練習利用定義證實四、課堂小結指數函數與三角函數性質，與數分不一樣之處五、布置作業P91—10P92-13、14(1)(2)學生回答;(3)給出基本周期和周期概念，證實由學生完成,強調與數分中不一樣;(4)舉例說明;(5)回顧數分相關知識,Rolle定理和羅比達法則，由學生驗證(2)驗證和差化積公式之一;(3)由學生討論并驗證;(4)求解有難度,教師板演一個,另一個由學生完成;(5)反例無界,強調與數分中不一樣雙曲函數為選修內容按照正余弦定義處理這類型問題學生總結本堂課知識，不足教師補充板書設計板書11、指數函數性質相關證實(1)定義(2)性質2.三角函數(1)定義(2)性格板書2性質相關證實3.雙曲函數例2.6例2.5教學反思章節2.3初等多值函數講課班級級數學教育班講課時間20年月日講課類型理論課時數MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc課時教學目標1.明確對數函數和通常指數函數概念2.會求一個復數對數和復指數教學重點和難點重點：復對數求法.難點：將通常指數函數歸為求解復對數.教學(具)準備三角板教學方法講授法、討論法教學主要內容一、對數函數二、通常指數函數教學過程設計備注一、導入新課前幾節課我們研究了初等解析函數，它們分別是指數函數、三角函數、雙曲函數，這三類函數均為單值函數。本節課介紹兩種多值函數——對數函數和通常指數函數.提問：指數函數和三角函數定義.二、講授新課（一）對數函數1.定義指數函數反函數即為對數函數，稱為復數對數，記為2.求解公式推導.設則變為，即，于是有得出對數公式主值問：“負數無對數”在復數域是否成立？例2.7例2.8（二）通常指數函數1.定義稱為通常指數函數.2.求解方法例2.9(1)(2)三、課堂練習1.求2.解方程(1)(2)(3)(4)3.試求之值.四、課堂小結1.對數函數求解方法2.通常指數函數求解方法.五、布置作業P93—20、24找學生回答定義，鞏固上節課內容提醒注意區分在設時，讓學生思索設代數式還是指數式，學生討論完成負數也有對數，強調與實變函數不一樣之處例2.8由學生完成，并復習主輻角求法對比高中數學中對數恒等式，提醒注意區分由學生板演，教師點評學生總結本堂課知識，不足教師補充板書設計板書11、對數函數練習(1)定義(2)求解公式推導例題板書22.通常指數函數例題練習(1)定義(2)求解方法教學反思章節3.1復積分概念及其簡單性質講課班級級數學教育班講課時間20年月日講課類型理論課時數MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc課時教學目標1.充分了解復積分概念2.會求簡單復積分3.培養學生利用已知探索解題方法自主學習精神教學重點和難點重點：復積分計算.難點：參數思想.教學(具)準備三角板教學方法講授法、討論法教學主要內容一、復積分定義二、復積分計算三、復積分性質四、積分估值教學過程設計備注一、導入新課復積分是研究解析函數一個主要工具，積分概念和數學分析中積分概念相同。提問：在數學分析中積分是怎樣定義？分幾個步驟求解？二、講授新課（一）復積分定義1.準備知識(1)周線：逐段光滑簡單閉曲線.(2)方向：“反時針”為正，“順時針”為負.2.定義設有向曲線認為起點，為終點，沿有定義.順著從方向在上取分點：把曲線分成若干個小弧段.在從每一段弧上任取一點，作和數.當分點無限增多，而這些弧段長度最大值趨于零時，假如和數極限存在且等于，則稱沿可積，而稱為沿積分，并記為.為積分路徑.3.注意(1)若存在，通常不能寫成，因為積分和路徑關于.(2)可積必要條件是有界.（二）復積分計算步驟1.寫出積分路徑參數方程.2.代入3.計算此實積分.例3.1計算積分.(1)連接由0到直線段(2)連接0到1以及1到直線段所組成折線.解設點1為,點為(1),(2)（三）復積分基本性質1.2.3.，由銜接而成4.5.（四）積分估值定理3.1連續，存在使，為之長，則.三、課堂練習證實四、課堂小結復積分定義，計算方法，基本性質，積分估值五、布置作業P141—1，P142—2(1)(2)定積分求法：分割，近似求和，取極限周線概念為第二節做準備由學生回顧數學分析中對應概念，對應著模擬出復積分概念，教師給予及時評價讓學生考慮假如積分路徑是順時針，結果會怎樣？例題說明，即使起點終點一樣，只要積分路徑不一樣，結果就可能不一樣將數學分析中性質平移過來，讓學生找出它們異同學生總結本堂課知識，不足教師補充板書設計板書11、復積分定義(3)注意例題(1)準備知識(2)定義2.復積分計算步驟板書23.復積分性質例題4.積分估值教學反思章節3.2柯西積分定理講課班級級數學教育班講課時間20年月日講課類型理論課時數MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc課時教學目標1.掌握柯西積分定理及其3個推廣2.培養學生發覺和延拓知識能力教學重點和難點重點：柯西積分定理.難點：定理證實.教學(具)準備三角板教學方法講授法、討論法教學主要內容一、柯西積分定理二、不定積分三、柯西積分定理推廣教學過程設計備注一、導入新課上節課我們講到若積分路徑不一樣，積分值也可能不一樣，本節課我們來研究積分值與積分路徑無關情況.二、講授新課（一）柯西積分定理1.準備知識(1)單連通區域:在內任意畫簡單閉曲線，其內部都含于;(2)周線:逐段光滑簡單閉曲線.2.定理3.2(柯西積分定理)設在平面單連通區域內解析，為內任一周線，則.3.定理3.3(柯西積分定理推廣1)設在平面單連通區域內解析，為內任一閉曲線，則.證如圖3-1，可看出曲線總能夠看作由有限條周線銜接而成，于是有由定理3.2知柯西積分定理結論依然成立.圖3-1推論3.4在平面單連通區域內解析,則在內積分與路徑無關，即之值不依賴于內連接曲線.圖3-2證是連接任意兩曲線(如圖3-2),則銜接成內一閉曲線.于是有，移項即得證（二）不定積分1.變上限積分(定點，動點)2.關系.定理3.5在單連通區域內解析,則在內解析，且.分析證實，即證，即證下式成立.證認為心作一個含于內小圓，在小圓內取動點，于是(3.1)又因為(3.2)(3.1)減(3.2)得.依照在內連續性，對于任給，只要開始取那個小圓足夠小，則小圓內一切點均符合條件，于是有.即，即.3.不定積分(1)定義假如函數連續，則稱符合條件函數為一個不定積分或原函數.(2)牛頓-萊布尼茨公式（三）柯西積分定理推廣1.柯西積分定理推廣2定理3.6(柯西積分定理等價定理)設是一條周線，為之內部，函數在閉域上解析，則.證(i)由定理3.2推證定理3.6.由定理3.6假設，函數必在平面上一含單連通區域內解析，于是由定理3.2就有(ii)由定理3.6推證定理3.2.由定理3.2假設：“函數在單連通區域內解析，為內任一周線”，設為之內部，則必在閉域上解析.于是由定理3.6有.定理3.7(柯西積分定理推廣2)設使一條周線，為之內部，則在內解析，在上連續，則.2.柯西積分定理推廣3(1)定義考慮條周線，其中中每一條都在其余各條外部，而它們又全都在內部.在內部同時又在外部點集組成一個有界連通區域，認為它邊界.在這種情況下，稱區域邊界是一條復周線.(圖3-3為情形)圖3-3(2)定理3.8(柯西積分定理推廣3)設是由復周線所圍成有界連通區域，函數在內解析，在上連續，則有，或寫成(3.3)或寫成(3.4)（式(3.4)意義為沿外邊界積分等于沿內邊界積分之和）證取條互不相交且全含在內光滑弧段作為割線.用它們順次地與連接.構想將沿割線割破，于是就被分成兩個單連通區域(圖3.3為情形)，其邊界各是一條周線，分別記為.由定理3.7，有.二式相加得.從而有(3.3)和(3.4)成立.例3.4設為周線內部一點，則.證認為圓心畫圓周，使全含于內部，則由(3.4)式有三、課堂練習不用計算，驗證以下積分之值為0，其中均為單位圓周(1)(2)(3)(4)四、課堂小結柯西積分定理和它三個推廣五、布置作業P42—5經過上節課例題讓學生猜測積分值和積分路徑無關所需條件，教師總結之后得出柯西積分定理教材中未給出證實,教師提醒思緒，由學生完成類比數學分析對應知識得出證實過程需要用到數學分析大量知識，因為學生基礎不一樣，采取分層次教學，有興趣和能力學生，提議他們盡可能掌握證實思緒與方法牛頓-萊布尼茨公式是定積分與不定積分橋梁兩個定理相互推證過程由學生完成，教師給予引導和及時評價定理3.7將定理3.6條件放寬，條件“在連續”也能夠換為“在連續”總結柯西積分定理和它等價定理，以及三個推廣學生總結本堂課知識，不足教師補充板書設計板書11、柯西積分定理(3)推廣1(1)預備知識(2)柯西積分定理2、不定積分(1)積分上限函數(2)定理及證實板書2定理證實例題(3)牛頓-萊布尼茨公式板書33、柯西積分定理推廣(2)推廣2(1)推廣1教學反思章節3.3柯西積分公式及其推論講課班級級數學教育班講課時間20年月日講課類型理論課時數MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc課時教學目標1.掌握柯西積分公式及解析函數無窮可微性2.利用上述公式變形式求解周線積分教學重點和難點重點：求解周線積分.難點：柯西積分公式證實.教學(具)準備三角板、圓規教學方法講授法、討論法教學主要內容一、柯西積分公式及其推論二、解析函數平均值定理三、解析函數無窮可微性教學過程設計備注一、導入新課1.柯西積分定理及其推論都分別是什么？2.柯西積分定理推廣到復周線形式是什么？由以上兩個問題導出本節課內容，利用柯西積分定理復周線形式導出一個用邊界值表示解析函數內部值積分形式.二、講授新課（一）柯西積分公式1.柯西積分公式定理3.9設區域邊界為周線,在內解析，在連續，則有證外均解析，以.對于復周線，有于是有只需證即可.而圖3-4則有(3.5)由連續性.于是(3.5)小于.定理得證.2.柯西積分公式變形式推論3.10注：柯西積分公式中是被積函數在內部唯一奇點.若在內有兩個或兩個以上奇點，則不可用此公式.思索題：定理3.9條件下，若，則值怎樣？例3.5求解周線積分解為被積函數在內唯一奇點，則（二）解析函數平均值定理定理3.11若在內解析，在閉圓上連續，則意義：在圓心值等于它在圓周上值算術平均數.例3.6設在上解析，若時.試證：在內最少有一零點.證設在內無零點，而由題設在上也無零點.于是設在閉圓上解析.由解析函數平均值定理.又有題設，.從而有矛盾.故在圓內最少有一個零點.（三）解析函數無窮可微性1.柯西積分公式高階求導公式(1)猜測公式，，，猜測定理3.12在定理3.9條件下，在內有各階導數，且有例3.7計算，其中是繞一周周線.解(2)定理3.12證實①證實情形.即證成立即證，圖3.5即證成立.其中.設沿周線，，設為與上點間最短距離.于是當初.設，則要使之小于.解得，取，于是有②設時結論成立.即，當初，有定理得證.簡單證法(按照導數定義證實)：4.解析函數無窮可微性定理3.13設在平面上區域內解析，則在內具備各階導數，而且它們在內解析。三、課堂練習(1)(2)四、課堂小結柯西積分公式和高階導公式五、布置作業P142—9、10此公式在計算周線積分及證實高階求導公式中有充分應用，讓學生給予充分重視.這一步非常主要，將復雜路徑簡化利用推論能夠求周線積分，此處注意強調是C內唯一奇點滿足柯西積分定理條件，積分值是0定理3.11證實關鍵在設參數方程,并利用柯西積分公式證實,由學生分組討論完成提醒：含“至多”、“最少”字眼時多用反證法.讓學生依照形式上求導結果來猜測高階導公式重點把握思緒，提醒用數學歸納法來證實關鍵找先設定一個=實變函數無此性質學生總結知識點，教師補充板書設計板書11、柯西積分定理證實推論例題板書22解析函數平均值定理3.柯西公式高階求導公式證實例題例題板書3定理證實4.解析函數無窮可微性教學反思章節3.4解析函數與調和函數關系講課班級級數學教育班講課時間20年月日講課類型理論課時數MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc課時教學目標1.掌握解析函數與調和函數關系2.會求已知函數作為實(虛)部解析函數教學重點和難點重點：共軛調和函數概念.難點：已知調和函數，求以其為實部解析函數.教學(具)準備三角板教學方法講授法、討論法教學主要內容一、調和函數二、調和函數與解析函數關系教學過程設計備注一、導入新課上一節我們證實了在內解析函數具備任何階導數，所以其實、虛部和都有連續二階偏導數、本節研究怎樣選擇和才能使在內解析.二、講授新課（一）調和函數1.探索解析函數,滿足條件在內解析，則，有因為偏導連續，則，于是有同理即和在內滿足拉普拉斯(Laplace)方程.這里是一個運算記號，稱為拉普拉斯算子.2.相關定義定義1若在內有二階連續偏導數，且滿足，則稱為區域內調和函數.定義2若在內滿足C.-R.方程，則稱為共軛調和函數.3.思索題①為共軛調和函數，,是否能夠交換？②若為共軛調和函數，則共軛調和函數是什么？注：任一個二元調和函數任意階偏導數也是調和函數.（二）解析函數等價定理提問：以前我們學過解析函數兩個等價定理，它們內容分別是什么？定理3.14在內解析充要條件是共軛調和函數.練驗證是平面上調和函數例3.8求認為實部解析函數，使之滿足.解.由，兩邊關于積分得,.由得，于是所以.于是.又得，則三、課堂練習驗證在右邊平面內是調和函數，并求以此為虛部解析函數.四、課堂小結解析函數等價條件，已知調和函數求解析函數步驟.五、布置作業P143—16(1)(2)同理所得結論由學生完成.由調和函數定義知解析函數實部和虛部均為調和函數①不能夠②上述問題由學生討論完成第二章內容此為第三個等價定理思索：假如先由C.-R.方程另一個先求出，結果是否一樣？學生分組討論并匯報結果.學生總結本堂課知識，不足教師補充板書設計板書11、調和函數2.解析函數等價定理板書2例題練習題教學反思章節4.0實級數相關知識講課班級級數學教育班講課時間20年月日講課類型理論課時數MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc課時教學目標1.掌握實級數相關概念2.會用比較法、比值法、根值法、萊布尼茲判別法判斷級數斂散性.教學重點和難點重點：判斷實級數斂散性.難點：比較法推論.教學(具)準備三角板教學方法講授法、討論法教學主要內容一、實級數基本概念二、實級數斂散性判別法教學過程設計備注一、導入新課在講第四章復級數之前，學生應先掌握基本實級數知識，因為《數學分析》中實級數部分沒有講，所以在講本章知識之前先學習一下相關知識.二、講授新課（一）實級數基本概念1.數項級數2.項部分和(前項和)3.收斂，稱為級數和.發散發散或不存在.4.幾個慣用結論(1)幾何級數當初，級數收斂，當初，級數發散.(2)廣義調和級數當初，級數發散，當初，級數收斂.慣用發散，收斂.(3)級數收斂（二）判斷級數斂散性方法1.判斷正項級數斂散性方法正項級數，其中為正數(1)比較法①若收斂，則收斂；②若發散，則發散.推論①，則二者有相同斂散性;②若,且收斂，,則收斂；③若且發散，則發散.(2)比值法(達朗貝爾判別法)，①當初，級數收斂；②當初，級數發散.(3)根值法(柯西判別法)①當初，級數收斂；②當初，級數發散.2.判斷交織級數斂散性交織級數萊布尼茨法則若，則交織級數收斂.3.一致收斂函數項級數在收斂于和函數，例判斷以下級數斂散性(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)解(1)(2)收斂.(3)(4)(5)由根值法知收斂.(6)由根值法知收斂.(7)由比值法知收斂.(8)比值法發散.(9),由萊布尼茨法則知收斂.三、課堂練習判斷級數斂散性(1)(2)四、課堂小結數項級數斂散性判別方法對比數學分析對應知識師生共同討論幾何級數斂散性熟記以上結論,以后會經常應用類比比較法得出推論，師生共同完成當初級數斂散性無法確定一致收斂部分為大學本科重點，專科選修學生總結本堂課知識，不足教師補充板書設計板書11、實級數基本概念2.實級數斂散性判別方法板書2練習題教學反思章節4.1復級數基本性質講課班級級數學教育班講課時間20年月日講課類型理論課時數MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc課時教學目標1.熟練掌握復數項級數斂散性判別方法2.明確復函數項級數一致收斂主要性教學重點和難點重點：復數項級數斂散性三個判別法.難點：復函數項級數一致收斂性.教學(具)準備三角板教學方法講授法、討論法教學主要內容一、復數項級數相關知識和判別法二、一致收斂復函數項級數三、解析函數項級數教學過程設計備注一、導入新課提問：實正項級數斂散性判別法.假如將實數域擴大為復數域，得到復數項級數和復函數項級數.二、講授新課（一）復數項級數1.基本概念(1)(2)若,稱級數收斂于，稱為級數和，即.2.判定定理定理4.1級數收斂于定理4.2(柯西準則)級數收斂有注：①級數收斂；②收斂級數各項必有界；③若級數去掉有限項，不影響其斂散性.定理4.3收斂級數收斂例4.1判斷級數斂散性.解：（二）一致收斂復函數項級數1.基本概念(1)復函數項級數(2)若復函數項級數各項在點集E上有定義，且在E上存在一個函數，對于E上每一點，級數均收斂于，則稱為級數和函數.2.一致收斂(1)對于級數，假如在點集E上有一個函數，使對任給，存在正整數，當初，對一切都有，則稱級數在E上一致收斂于.(2)定理4.4(柯西一致收斂準則)級數在點集E上一致收斂于某函數充要條件是.3.優級數準則若存在正數列，使對一切有且正項級數收斂，則復函數項級數在集E上絕對收斂且一致收斂.例4.2級數1在閉圓上一致收斂.4.一致收斂應用.定理4.5設級數各項在點集E上連續，而且一致收斂于，則和函數也在E上連續.定理4.6設級數各項在曲線上連續，而且在上一致收斂于，則沿能夠逐項積分.（三）解析函數項級數（選學）定理4.7設(1)函數在區域D內解析;(2)在D內內閉一致收斂于;則(1)函數在區域D內解析;(2)=;(3)內閉一致收斂于.三、課堂練習證實級數收斂，但非絕對收斂.思緒：，利用萊布尼茨法則證實兩個交織級數收斂，由判斷級數非絕對收斂.四、課堂小結復數項級數斂散性，一致收斂性五、布置作業P178—1(2)(3)回顧數學分析中級數斂散性判別法，平行推廣到復變函數中定理4.1由學生猜測結果并證實,教師給予及時評價由柯西準則得出3點注釋,注①逆否命題能夠判斷級數發散介紹絕對收斂和條件收斂概念例4.1較簡單，由學生完成解釋復函數項級數和復數項級數聯絡強調收斂和一致收斂區分，讓學生把握區分和聯絡.解題關鍵是擺脫z,找正數列定理4.5和4.6也和數學分析中對應定理平行.收斂證實相對簡單，學生分組討論完成，絕對收斂由老師給出證實過程學生總結本堂課知識，不足教師補充板書設計板書11、復數項級數基本概念例判定定理板書22.一致收斂復函數項級數3.解析函數項級數教學反思章節4.2冪級數講課班級級數學教育班講課時間20年月日講課類型理論課時數MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc課時教學目標1.掌握冪級數斂散性判定方法2.會求冪級數收斂半徑教學重點和難點重點：冪級數收斂半徑求法.難點：阿貝爾定理證實.教學(具)準備三角板教學方法講授法、討論法教學主要內容一、冪級數斂散性二、收斂半徑求法教學過程設計備注一、導入新課冪級數是最特殊數項級數，相對比與數學分析中冪級數，對應知識能夠平移過來.二、講授新課（一）冪級數斂散性定義4.1具備形式復函數項級數稱為冪級數，其中都是復常數.假如作變換，則以上冪級數還能夠寫成以下形式(把)定理4.8（阿貝爾定理）假如冪級數在某點收斂，則它必在圓內絕對收斂且內閉一致收斂.證(證絕對收斂)設時所述圓K內任意定點.因為收斂，它各項必定有界，即有正數M，使這么一來，即有，注意到，故級數為收斂等比級數.因而在圓K內絕對收斂.(證內閉一致收斂)對K內任一閉圓上一切點來說，有，故在上有收斂優級數.因而它在上絕對且一致收斂，此級數必在圓K內絕對且內閉一致收斂.推論4.9若冪級數在某點發散，則它在認為心并經過圓周外部發散.對于冪級數，在這一點總是收斂，時可能有下述三種情況：第一個任意，級數均發散.比如，級數第二種任意，級數均收斂.比如，級數第三種存在一點，使收斂，另外又存在一點，使發散.在這種情況下，存在一個有限正數R，使得在圓周內部絕對收斂，在圓周外部發散.R稱為此冪級數收斂半徑；圓和圓周分別稱為它收斂圓和收斂圓周.（二）收斂半徑R求法定理4.10假如冪級數系數滿足(達朗貝爾)或(柯西)或(柯西-阿達馬)則冪級數收斂半徑例4.3試求以下各冪級數收斂半徑R.(1)(2)(3)(4)解(1)，(2)(3)(4)因當是平方數時，，其余情形.所以，對應有，于是數列聚點是0和1，從而三、課堂練習求以下冪級數收斂半徑四、課堂小結冪級數相關概念以及冪級數收斂半徑求法五、布置作業P178—1(1)(2)，P178—2回顧數學分析中阿貝爾定理內容，類比結果由學生給出，教師給予及時評價放大法尋找優級數方法相同,找優級數,擺脫放大用反證法證實，由學生完成.收斂半徑收斂半徑級數在收斂圓內絕對收斂，在圓周上不一定收斂.收斂圓周上點不一定收斂，它只是斂散一個界限補充“上極限”定義:給定無窮數列，由它一切收斂子序列極限值所成集合中元素最大值.應用定理4.10處理例4.3，例題較簡單，前三題由學生完成，第四題教師啟發思緒，師生共同完成學生總結本堂課知識，不足教師補充板書設計板書11、冪級數斂散性板書22收斂半徑求法例4.3教學反思章節4.3解析函數泰勒展式講課班級級數學教育班講課時間20年月日講課類型理論課時數MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc課時教學目標1.掌握解析函數等價條件2.會將簡單初等函數在某點展成泰勒級數教學重點和難點重點：將解析函數在某一點展成泰勒級數.難點：泰勒定理證實.教學(具)準備三角板、圓規教學方法講授法、討論法教學主要內容一、泰勒定理二、一些初等函數泰勒展式教學過程設計備注一、回顧舊知、導入新課上一節我們了解到，任一個具備非零收斂半徑冪級數在其收斂圓內收斂于一個解析函數，本節我們來研究它逆命題也是成立，于是得到了解析函數又一等價定理.二、講授新課（一）泰勒定理定理4.11設在D內解析，，只有圓含于，則在內能展成冪級數，.其中證設為內任意取定點，存在圓周，使點含在內部.由柯西積分公式得.其中其中一致收斂，，二者乘積一致收斂.于是唯一性可設另一展式，證實系數相等即可.圖4.1定理4.12（解析函數等價定理4）在D內解析在D內任一點鄰域內可展成冪級數，即泰勒級數.（二）一些函數泰勒展式例4.4試將函數按冪展開，并指明收斂區間.解三、課堂練習將函數按冪展開，并指明收斂區間.四、課堂小結五個初等函數泰勒展式五、布置作業P179—7(1)(2)(3)此級數稱為泰勒級數，系數兩個形式分別是積分式和微分式證實關鍵：利用柯西積分公式泰勒定理證實較難了解，采取分層次教學，有余力學生盡可能掌握一致收斂部分較難了解唯一性證實由學生完成提問解析函數四個等價定理，重點強調熟記這些公式，在解題中有主要應用強調按照冪展開，需將函數化成關于式子學生總結本堂課知識，不足教師補充板書設計板書11、泰勒定理證實板書2解析函數四個等價定理例題2.一些函數泰勒展式五個泰勒展式教學反思章節4.4解析函數零點孤立性及唯一性定理講課班級級數學教育班講課時間20年月日講課類型理論課時數MACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc課時教學目標1.會求函數零點及零點階2.明確零點孤立性和唯一性教學重點和難點重點：解析函數零點階.難點：零點孤立性和唯一性.教學(具)準備三角板教學方法講授法、討論法教學主要內容一、解析函數零點二、零點孤立性及唯一性教學過程設計備注一、導入新課在很多實際問題中，往往需要研究使一個函數等于零點，即求根。本節我們從函數根分布情況來研究問題.二、講授新課（一）解析函數零點1.定義4.2若，稱為零點.2.定義4.3若，稱為階零點.3.求零點方法(1)定義法(按定義求各階導數，帶零點，判斷哪階不為零)(2)定理法定理4.13不恒為零解析函數認為階零點充要條件為，其中在內解析，且.證必要性只要設即可.充分性已知，其中在內解析，且，則，于是,即，即為得階零點.例4.5求為零點階數.解[法一]且解析，且，為三階零點.[法二]，由定義知為三階零點.注實變函數零點不一定孤立，例在可微,,為零點，但不是一個孤立零點.（二）零點孤立性及唯一性1.孤立性定理4.14不恒為零解析函數零點必是孤立.推論4.15零點不孤立，函數恒為零.2.唯一性定理定理4.16設(1)和在內解析;(2)內有一個收斂于點列.在其上和等值，則和在內恒等.推論4.17點列子區域(小弧段)三、課堂練習求全部零點，并指出它們階.四、課堂小結解析函數零點及階概念，求階數方法，零點孤立和唯一性五、布置作業P179—8零點定義對應于數學分析中對應定義定義法由學生總結求解步驟教材上未給出充分性證實，教師提醒方法，由學生完成證實分別用定理法和定義法求解在可微可由定義求證定理4.14用到第一章例1.11結論在點列上函數等值,則兩函數在區域上等值(利用局部判斷整體)學生總結本堂課知識，不足教師補充板書設計板書11、解析函數零點例題(1)零點(2)階(3)階求法練習板書22.零點孤立性及唯一性(2)唯一性(1)孤立性定理及推論教學反思章節5.1解析函數洛朗展式講課班級級數學教育班講課時間20年月日講課類型理論課時數MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc課時教學目標1.掌握解析函數在圓環內及孤立奇點內洛朗展式2.會求解析函數在其解析區域內及孤立奇點內洛朗展式3.培養學生歸納、總結能力教學重點和難點重點：解析函數在孤立奇點鄰域內洛朗展式.難點：洛朗定理證實.教學(具)準備三角板、圓規教學方法講授法、討論法教學主要內容一、雙邊冪級數二、解析函數洛朗展式三、洛朗級數和泰勒級數關系四、解析函數在孤立奇點鄰域內洛朗展式教學過程設計備注一、導入新課上一章我們用泰勒級數來表示圓形區域內解析函數，但一些函數在圓心無意義，無法表成泰勒級數.本章研究圓環內解析函數級數表示，并以此為工具研究解析函數在孤立奇點鄰域內性質.二、講授新課（一）雙邊冪級數級數為冪級數，在內表一解析函數級數作變換后變為它內表一解析函數，當且僅當初，二者有公共收斂區域.則二者求和為此為雙邊冪級數.（二）解析函數洛朗展式定理5.1(洛朗定理)在圓環內解析函數必可展成雙邊冪級數，其中.為圓周，且展式唯一.證為內任一取定點，總存在圓周和，使得含于內（如圖5-1），因為函數在內解析.于是有上述兩積分分別記作①和②圖5-1對于①，對于②，被積函數則②變為.二者相加即得結果.（三）洛朗級數和泰勒級數關系圓是圓環特殊情形，則泰勒級數是洛朗級數特殊情形.例5.1求在其解析區域內洛朗展式.解(1)在圓內，.(2)在圓環內，.(3)在圓環內，.（四）解析函數在孤立奇點鄰域內洛朗展式1.基本定義定義5.1點去心鄰域定義5.2在內解析，點是奇點，則為一個孤立奇點.2.解析函數在孤立奇點鄰域內洛朗展式若為一個孤立奇點，則必存在正數R，使在去心鄰域內可展成洛朗級數.例5.2在平面內只有兩個奇點試求分別在(1)(2)(3)(4)內洛朗展式.解(1)在內(2)在內(3)在內，.(4)在內，.三、課堂練習將分別在和內展成洛朗展式.四、課堂小結雙邊冪級數；洛朗展式；解析函數在孤立奇點鄰域內洛朗展式五、布置作業P217—1(1)(2)，P219—5對比兩個級數,經過變換后,找到兩個級數公共收斂區域,導出雙邊冪級數概念由學生找出洛朗定理和泰勒定理異同之處由學生猜測洛朗級數和泰勒級數關系，教師給予及時評價(1)題比較簡單,由學生完成,(2)(3)兩題較難,采取引導啟發式教學法從形象上認識孤立奇點概念(1)(2)兩題比較簡單,由學生完成,(3)(4)兩題較難,采取引導啟發式教學法學生總結本堂課知識，不足教師補充板書設計板書11、雙邊冪級數2.洛朗展式定理