PAGEPAGE4層次分析法建模 層次分析法（AHP－AnalyticHierachyprocess）多目標決策方法70年代由美國運籌學家T·L·Satty提出的，是一種定性與定量分析相結合的多目標決策分析方法論。吸收利用行為科學的特點，是將決策者的經驗判斷給予量化，對目標（因素）結構復雜而且缺乏必要的數據情況下，採用此方法較為實用，是一種系統科學中，常用的一種系統分析方法，因而成為系統分析的數學工具之一。 傳統的常用的研究自然科學和社會科學的方法有：機理分析方法：利用經典的數學工具分析觀察的因果關系；統計分析方法：利用大量觀測數據尋求統計規律，用隨機數學方法描述（自然現象、社會現象）現象的規律。 基本內容：（1）多目標決策問題舉例AHP建模方法（2）AHP建模方法基本步驟（3）AHP建模方法基本算法（3）AHP建模方法理論算法應用的若干問題。參考書：1、姜啟源，數學模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社2、程理民等，運籌學模型與方法教程，（第10章），清華大學出版社3、《運籌學》編寫組，運籌學（修訂版），第11章，第7節，清華大學出版社一、問題舉例： A．大學畢業生就業選擇問題獲得大學畢業學位的畢業生，“雙向選擇”時，用人單位與畢業生都有各自的選擇標準和要求。就畢業生來說選擇單位的標準和要求是多方面的，例如：能發揮自己的才干為國家作出較好貢獻（即工作崗位適合發揮專長）；工作收入較好（待遇好）；生活環境好（大城市、氣候等工作條件等）；單位名聲好（聲譽-Reputation）；工作環境好（人際關系和諧等）發展晉升（promote,promotion）機會多（如新單位或單位發展有后勁）等。問題：現在有多個用人單位可供他選擇，因此，他面臨多種選擇和決策，問題是他將如何作出決策和選擇？——或者說他將用什么方法將可供選擇的工作單位排序？工作選擇工作選擇生活環境工作環境聲譽收入發展貢獻生活環境工作環境聲譽收入發展貢獻可供選擇的單位可供選擇的單位P1’P2‘PnＢ.假期旅游地點選擇暑假有3個旅游勝地可供選擇。例如：：蘇州杭州，北戴河，桂林，到底到哪個地方去旅游最好？要作出決策和選擇。為此，要把三個旅游地的特點，例如：①景色；②費用；③居??；④環境；⑤旅途條件等作一些比較——建立一個決策的準則，最后綜合評判確定出一個可選擇的最優方案。選擇旅游地目標層選擇旅游地居住旅途景色費用飲食居住旅途景色費用飲食準則層P1P2P1P2P3C．資源開發的綜合判斷7種金屬可供開發，開發后對國家貢獻可以通過兩兩比較得到，決定對哪種資源先開發，效用最用。對經濟發展、貢獻U對經濟發展、貢獻U經濟價值戰略重要性交通條件要求量風險費開採費經濟價值戰略重要性交通條件要求量風險費開採費金Go鋁Al鈿Ur磷酸鹽鐵In銅Co金Go鋁Al鈿Ur磷酸鹽鐵In銅Co二、問題分析：例如旅游地選擇問題：一般說來，此決策問題可按如下步驟進行：四：一致性矩陣Def：設有正互反成對比較矩陣：(4)除滿足：（i）正互反性：即而且還滿足：（ii）一致性：即//有點點錯誤則稱滿足上述條件的正互反對稱矩陣A為一致性矩陣，簡稱一致陣。一致性矩陣（一致陣）性質：性質1：的秩Rank(A)=1//顯然的唯一非0的特征根為n性質2：的任一列（行）向量都是對應特征根的特征向量：即有(特征向量、特征值)：，則向量滿足：即：我的理解:通過A(變換A與W中的元素有關)變換將一致W矩陣變成權向量W(特征向量),如果正互反矩陣W’接近一致矩陣,同樣的道理變換A可以將W’變成權向量(這里的權向量與W’稍有不同)啟發與思考：既然一致矩陣有以上性質，即n個元素W1,W2,W3,…Wn構成的向量是一致矩陣A的特征向量，則可以把向量W歸一化后的向量，看成是諸元素W1,W2,W3,…Wn目標的權向量，因此，可以用求A的特征根和特征向量的辦法，求出元素W1,W2,W3,…Wn相對于目標O的勸向量。解釋：一致矩陣即：件物體，它們重量分別為，將他們兩兩比較重量，其比值構成一致矩陣，若用重量向量右乘，則：分析：若重量向量未知時，則可由決策者對物體之間兩兩相比關系，主觀作出比值的判斷，或用Delphi（調查法）來確定這些比值，使矩陣（不一定有一致性）為已知的，并記此主觀判斷作出的矩陣為（主觀）判斷矩陣，并且此（不一致）在不一致的容許范圍內，再依據：的特征根或和特征向量連續地依賴于矩陣的元素，即當離一致性的要求不太遠時，的特征根和特征值（向量）與一致矩陣的特征根和特征向量也相差不大的道理：由特征向量求權向量的方法即為特征向量法，并由此引出一致性檢查的方法。問題：Remark以上討論的用求特征根來求權向量的方法和思路，在理論上應解決以下問題：一致陣的性質1是說：一致陣的最大特征根為（即必要條件），但用特征根來求特征向量時，應回答充分條件：即正互反矩陣是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互反矩陣的最大特征根時，是否為一致陣？用主觀判斷矩陣的特征根和特征向量連續逼近一致陣的特征根和特征向量時，即：由得到：即：是否在理論上有依據。3．一般情況下，主觀判斷矩陣在逼近于一致陣的過程中，用與接近的來代替，即有，這種近似的替代一致性矩陣的作法，就導致了產生的偏差估計問題，即一致性檢驗問題，即要確定一種一致性檢驗判斷指標，由此指標來確定在什么樣的允許范圍內，主觀判斷矩陣是可以接受的，否則，要兩兩比較構造主觀判斷矩陣。此問題即一致性檢驗問題的內容。以上三個問題：前兩個問題由數學嚴格比較可獲得（見教材P325，定理1、定理2）。第3個問題：Satty給出一致性指標（TH1,TH2介紹如下：）附：Th1：（教材P326，perronTh比隆1970）對于正矩陣（的所有元素為正數）（1）的最大特征根是正單根；（2）對應正特征向量（的所有分量為正數）（3）其中：為半徑向量，是對應的歸一化特征向量證明：（3）可以通過將化為標準形證明Th2：階正互反陣A的最大特征根；當時，是一致陣五、一致性檢驗——一致性指標：1．一致性檢驗指標的定義和確定——（平均值）的定義：當人們對復雜事件的各因素，采用兩兩比較時，所得到的主觀判斷矩陣，一般不可直接保證正互反矩陣就是一致正互反矩陣，因而存在誤差（及誤差估計問題）。這種誤差，必然導致特征值和特征向量之間的誤差。此時就導致問題與問題之間的差別。（上述問題中是主觀判斷矩陣的特征值，是帶有偏差的相對權向量）。這是由判斷矩陣不一致性所引起的。因此，為了避免誤差太大，就要衡量主觀判斷矩陣的一致性。因為：①當主觀判斷矩陣為一致陣時就有：為一致陣時有：（a[ii]為對角線上的值，按照一致性矩陣的理解，它應該為1）此時存在唯一的非（由一致陣性質1：Rark(4)=1，有唯一非O最大特征根且）②當主觀判斷矩陣不是一致矩陣時，此時一般有：（Th2）此時，應有：（不大理解）即：所以，可以取其平均值作為檢驗主觀判斷矩陣的準則，一致性的指標，即：顯然：當時，有：，為完全一致性值越大，主觀判斷矩陣的完全一致性越差，即：偏離越遠(用特征向量作為權向量引起的誤差越大)一般，認為主觀判斷矩陣的一致性可以接受，否則應重新進行兩兩比較，構造主觀判斷矩陣。2．隨機一致性檢驗指標——問題：實際操作時發現：主觀判斷矩陣的維數越大，判斷的一致性越差，故應放寬對高維矩陣的一致性要求。于是引入修正值來校正一致性檢驗指標：即定義的修正值表為：的維數1234567890.000.000.580.961.121.241.321.411.45

并定義新的一致性檢驗指標為：隨機一致性檢驗指標——的解釋：為確定的不一致程度的容許范圍，需要確定衡量的一致性指示的標準。于是Satty又引入所謂隨機一致性指標，其定義和計算過程為：對固定的，隨機構造正互反陣，其元素從1～9和1～中隨機取值，且滿足與的互反性，即：，且.然后再計算的一致性指標，因此是非常不一致的，此時，值相當大.如此構造相當多的，再用它們的平均值作為隨機一致性指標。Satty對于不同的～11)，用100～500個樣本計算出上表所列出的隨機一致性指標作為修正值表。3.一致性檢驗指標的定義——一致性比率。由隨機性檢驗指標可知：當時，，這是因為1,2階正互反陣總是一致陣。對于的成對比較陣，將它的一致性指標與同階（指相同）的隨機一致性指標之比稱為一致性比率——簡稱一致性指標，即有：一致性檢驗指標的定義——一致性比率定義：：當：時，認為主觀判斷矩陣的不一致程度在容許范圍之內，可用其特征向量作為權向量。否則，對主觀判斷矩陣重新進行成對比較，構重新的主觀判斷矩陣。注：上式的選取是帶有一定主觀信度的。六、標度——比較尺度解：在構造正互反矩陣時，當比較兩個可能是有不同性質的因素和對于上層因素O的影響時，採用什么樣的相對刻度較好，即的元素的值在（1～9）或（1～）或更多的數字，Satty提出用1～9尺度最好，即取值為1～9或其互反數1～，心理學家也提出：人們區分信息等級的極限解能力為±2?？梢妼﹄A矩陣，只需作出個判斷值即可標度定義135792，4，6，8，倒數1，因素與因素相同重要因素比因素稍重要因素比因素較重要因素比因素非常重要因素比因素絕對重要因素與因素的重要性的比較值介于上述兩個相鄰等級之間因素與因素比較得到判斷值為的互反數，注：以上比較的標度Satty曾用過多種標度比較層，得到的結論認為：1～9尺度不僅在較簡單的尺度中最好，而且比較的結果并不劣于較為復雜的尺度。Satty曾用的比較尺度為：1～3,1～5,1～6，…,1～11，以及～，其中～，其中…等共27種比較尺度，對放在不同距離處的光源亮度進行比較判斷，并構造出成對比較矩陣，計算出權向量。同時把計算出來的這些權向量與按照物理學中光強度定律和其他物理知識得到的實際權向量進行對比。結果也發現1～9的比較標度不僅簡單，而效果也較好（至少不比其他更復雜的尺度差）因而用1～9的標度來構造成對比較矩陣的元素較合適。七、組合權向量的計算——層次總排序的權向量的計算層次分析法的基本思想：計算出下一層每個元素對上一層每個元素的權向量def：層次總排序，計算同一層次所有元素對最高層相對重要性的排序權值。當然要先：①構造下一層每個元素對上一次每個元素的成對比較矩陣②計算出成對比較矩陣的特征向量（和法，根法，冪法）③由特征向量求出最大特征根（由和法，根法，冪法求得）④用最大特征根用方式及對成對比較矩陣進行一致性檢，并通過。并把下層每個元素對上層每個元素的權向量按列排成以下表格形式：例，假定：上層有個元素，，且其層次總排序權向量為，下層有個元素，則按對個元素的單排序權向量的列向量為，即有：層次…層總是排序權重（權向量、列向量）…計算出最大特根（方法：和法、根法、冪法）一致性檢驗一致性檢驗比率檢驗否？注：①若下層元素與上層元素無關系時，取②總排序權向量各分量的計算公式：(3)對層次總排序進行一致性檢驗：從高層到低層逐層進行，如果如果層次某些元素對單的排序的一致性指標為，相應的平均隨機一致性指標為，則層總排序隨機一致性比率為：當時，認為層次總排序里有滿意的一致性，否則應重新調整判斷矩陣的元素取值。八、層次分析法的基本步驟：（S1）建立層次結構模型將有關因素按照屬性自上而下地分解成若干層次：同一層各因素從屬于上一層因素，或對上層因素有影響，同時又支配下一層的因素或受到下層因素的影響。最上層為目標層（一般只有一個因素），最下層為方案層或對象層/決策層，中間可以有1個或幾個層次，通常為準則層或指標層。當準則層元素過多（例如多于9個）時，應進一步分解出子準則層。（S2）構造成對比較矩陣，以層次結構模型的第2層開始，對于從屬于（或影響及）上一層每個因素的同一層諸因素，用成對比較法和1～9比較尺度構造成對比較矩陣，直到最下層。（S3）計算（每個成對比較矩陣的）權向量并作一致性檢驗對每一個成對比較矩陣計算最大特征根及對應的特征向量（和法、根法、冪法等）利用一致性指標，隨機一致性指標和一致性比率作一致性檢驗若通過檢驗（即，或）則將上層出權向量歸一化之后作為（到）的權向量（即單排序權向量）若不成立，則需重新構造成對比較矩陣（S4）計算組合權向量并作組合一致性檢驗——即層次總排序利用單層權向量的權值構組合權向量表：并計算出特征根，組合特征向量，一致性上單層層重權量向下層量層次…計算組合權向量其中…最大特征根和法、根法、冪法一致性檢驗?一致性隨機檢驗對照表？一致性比率若通過一致性檢驗，則可按照組合權向量的表示結果進行決策（中中最大者的最優），即：若未能通過檢驗，則需重新考慮模型或重新構造那些一致性比率，較大的成對比較矩陣九、特征根的近似求法（實用算法）層次分析法的基本思路是計算上層每個元素對下一層次各元素的權向量（即最大特征根對應的特征向量），以及組合權向量及一致性檢驗問題。計算判斷矩陣最大特征根和對應陣向量，并不需要追求較高的精確度，這是因為判斷矩陣本身有相當的誤差范圍。而且優先排序的數值也是定性概念的表達，故從應用性來考慮也希望使用較為簡單的近似算法。常用的有以下求特征根的近似求法：“和法”、“根法”、“冪法”，具體如下：1．“和法”求最大特征根和對應特征向量（近似解）（S1）將矩陣的每一列向量的歸一化得：(利用數據驗證即為：每個位置的數除以該列的合計)（S2）對按行求和得：（S3）將歸一化，即有：，則有特征向量：（S4）計算與特征向量對應的最大特征根的近似值：此方法：實際上是將的列向量歸一化后取平均值作為的特征向量。解釋：當為一致矩陣時，它的每一列向量都是特征向量可以在的不一致性不嚴重時，取的列向量（歸一化后）的平均值作為近似特征向量是合理的（有依據的）。2．“根法”求最大特征根特征向量近似值：步驟與“和法”相同，只是在（S2）時：對歸一化后的列向量按行“求和”改為按行“求積”再取次方根，即：。即有具體步驟：(S1)將矩陣的每一列向量歸一化得：（S2）對歸一化以后的列向量各元素：按行“求和”并開次方根得：（S3）再將歸一化得：得到特征向量近似值：（S4）計算最大特征根：作為最大特征根的近似值。注：“根法”是將“和法”中求列向量的算術平均值改為求幾何平均值。3．“冪法”求最大特征根：（S1）任取維歸一化初始向量（S2）計算（S3）歸一化，即令：（S4）對預先給定的，當時，即為所求的特征向量；否則返回（S2）（S5）計算最大特征根，以上用冪法求最大特征根對應特征向量的迭代方法，其收斂性由TH1（教材P325）中的3），其中，是對應的歸一化向量特征。（證明：可以將化為標準形證明）保證。任意選取，也可以取由“根法”、“和法”得到的注：在以上求特征根和特向量的方法中“和法”最簡單。例：在旅游問題中，求目標層到準則層的成對比較矩陣為的特征向量和最大特征根：選擇旅游地選擇旅游地居住旅途景色費用飲食居住旅途景色費用飲食準則層：P1P2P1P2P3＝利用“和法”求的特征向量和特征根（S1）將的元素按列歸一化得：各列歸一化的分母（S2）將中元素按行求和得各行元素之和：

（S3）再將上述矩陣向量歸一化得到特征向量近似值，特征向量其中（S4）計算與特征向量相對應最大特征根（的近似值）故有最大特征根對一致性檢驗指標：故通過檢驗。十、應用實例對前面旅游問題進行決策選擇旅游地點目標層：選擇旅游地點0.2620.4740.0990.1020.055旅途B5飲食B旅途B5飲食B4居住B3費用B2景色B1準則層：0.5950.1290.1290.277P1P2P1P2P3已知：①目標對準則的權重向量為：（由前面已算出），并已通過一致性檢驗。②準則相對于的成對比較矩陣為對作用的成對比較矩陣為：同樣對作用的成對比較矩陣為：解：對以上每個比較矩陣都可計算出最大特征根及對象的特征向量（即權重向量），并進行一致性檢驗：以為例用“和法”求出的特征根及對立的特征向量（S1）對按列歸一化得：（S2）對按列歸一化反向量再按行求和：（S3）對按行歸一化得到特征向量（S4）計算特征根一致性檢驗：故通過檢驗，既成對矩陣可以接受。同樣步驟對，對的影響用特征向量表示最大特征根用：表示并分別計算一致性檢驗指標：列表如下：權準則層值決策層B1B2B3B4B5組合權向量0.2620.4740.0550.0990.1020.5950.0820.4290.6330.1660.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.6683.0073.00233.00930.00350.00100.00500.580.580.580.580.580.006其中的計算公式為：因此層次總排序：組合權向量為：故最終決策為首選，次之，最后。組合一致性檢驗：由可知：組合一致性檢驗結果為——層次總排序的一致性檢驗：故一致性檢驗通過。最層次總排序為最決策為：首選，次之，最后。%層次分析法的matlab程序disp('請輸入判斷矩陣A(n階)');%在屏幕顯示這句話A=input('A=');%從屏幕接收判斷矩陣[n,n]=size(A);%計算A的維度，這里是方陣，這么寫不太好x=ones(n,100);%x為n行100列全1的矩陣y=ones(