自動控制原理第二章數模詳解演示文稿1目前一頁\總數五十六頁\編于十一點優選自動控制原理第二章數模2目前二頁\總數五十六頁\編于十一點

2.1.1數學模型的特點1)相似性，不同原理的系統可能具有相同的運動規律，相似系統可以采用相同的研究方法。2)簡化性和準確性2.1.2數學模型的分類

靜態模型——描述靜態條件（平衡狀態）下變量之間的代數方程。動態模型——描述動態條件下，各變量之間關系的數學模型。例如：微分方程、傳遞函數、結構圖等等。（包含導數項）

3目前三頁\總數五十六頁\編于十一點自動控制理論中用到的數學模型時域：微分方程、差分方程、狀態空間表達式；復數域：傳遞函數、結構圖；頻率域：頻率特性。4目前四頁\總數五十六頁\編于十一點2.1.3建模途徑和原則建立數學模型的兩大途徑(1)機理分析法，通過對系統各部分所遵循的規律進行分析，確定模型的結構和參數。所得模型稱為機理模型（解析模型）。(2)測試法（辨識法），人為給系統施加某種測試信號并記錄其輸出響應，根據大量輸入、輸出數據，推斷出被研究系統的數學模型。所得模型稱為經驗模型。5目前五頁\總數五十六頁\編于十一點建立數學模型的幾點要求：

(1)全面了解系統的特性，確定研究目的以及準確性要求，決定能否忽略一些次要因素而使系統數學模型簡化。

(2)根據所應用的系統分析方法，建立相應形式的數學模型，有時還要考慮便于計算機求解。(3)在建立數學模型時，必須在模型的簡化性與分析結果的精確性之間做出折中考慮。6目前六頁\總數五十六頁\編于十一點2.2系統微分方程的建立2.2.1列寫微分方程式的一般步驟(1)確定系統的輸入量和輸出量；(2)根據物理或化學定律，列寫出各元件的原始方程。(3)列出原始方程式中各中間變量與其它因素的關系式。(4)將上述關系式代入原始方程式，消去中間變量，就得系統的輸入-輸出關系方程式，并將方程式化成標準形。

7目前七頁\總數五十六頁\編于十一點

2.2.2機械系統舉例

例2-1彈簧-質量-阻尼器串聯系統。試列出以外力F(t)為輸入量，以質量的位移y(t)為輸出量的運動方程式。

解：遵照列寫微分方程的一般步驟有：（1）確定輸入量為F(t)，輸出量為y(t)，作用于質量m的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻力Ff(t)，均作為中間變量。

KmfF(t)y(t)令Tm2=m/k，Tf=f/k，則方程化為8目前八頁\總數五十六頁\編于十一點2.2.3電路系統舉例

例2-2電阻－電感－電容串聯系統。R-L-C串聯電路，試列出以ur(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網絡微分方程式。解：（1）確定輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)，中間變量為i(t)。

RCur(t)

uc(t)Li(t)9目前九頁\總數五十六頁\編于十一點（6）整理成標準形，令T1

=L/R，T2=RC，則方程化為10目前十頁\總數五十六頁\編于十一點

列寫微分方程式時，一般應注意：

(1)輸出量及其各階導數項寫在方程左端，輸入量寫在右端；(2)左端的階次比右端的高。這是因為實際物理系統均有慣性或儲能元件；(3)方程式兩端的各項的量綱應一致。利用這點，可以檢查微分方程式的正確與否。

(4)系統中獨立儲能元件的個數=微分方程的階數。11目前十一頁\總數五十六頁\編于十一點

2.2.4線性系統線性定常系統的微分方程一般具有以下形式：式中，y(t)是系統的輸出變量，r(t)是系統的輸入變量。12目前十二頁\總數五十六頁\編于十一點電樞控制的直流電動機MRauaLaiaif=常數Ea

直流電動機是將電能轉化為機械能的一種典型的機電轉換裝置。在電樞控制的直流電動機中，由輸入的電樞電壓ua在電樞回路產生電樞電流ia，再由電樞電流ia與激磁磁通相互作用產生電磁轉矩MD，從而使電樞旋轉，拖動負載運動。

13目前十三頁\總數五十六頁\編于十一點（3）列寫原始方程式

電樞回路方程：電動機軸上機械運動方程：（4）列寫輔助方程Ea=keke—電勢系數，由電動機結構參數確定。MD=kmiakm—轉矩系數，由電動機結構參數確定。14目前十四頁\總數五十六頁\編于十一點消去中間變量，得15目前十五頁\總數五十六頁\編于十一點2.2.6復雜系統微分方程的列寫畫出系統的方框圖，標定各方框的輸入量和輸出量，確定系統給輸入量和被控量。列寫各方框內元件的微分方程，并按相互連接關系補充關系方程，最終使方程的個數與所選變量數相等。消去中間變量，得到系統的微分方程式。16目前十六頁\總數五十六頁\編于十一點定義：相似系統—任何系統，只要具有相同的微分方程形式，就稱為相似系統。相似系統的概念不僅為理論研究提供了依據，而且在實踐中也是很有用的，例如模擬技術。17目前十七頁\總數五十六頁\編于十一點2.3非線性特性的線性化控制系統可分為三種：1.線性系統：輸入—輸出特性為直線；有成熟理論。2.擬（近似）線性系統：在一定條件（在某工作點附近），可近似線性化，兩種方法：

(1)小偏差法（增量法）：△x→△y；即在工作點處用斜率直線代替非直線；

(2)用代數方法：Taylor（泰勒）級數展開法，去掉2次以上項，近似。3.非線性系統18目前十八頁\總數五十六頁\編于十一點

幾乎所有元件或系統的運動方程都是非線性方程。但在比較小的范圍運動來說，把這些關系看作是線性關系，是不會產生很大誤差的。所以常常利用線性化方法來簡化所研究的系統。切線法（小偏差法），該方法適用于具有連續變化的非線性特性函數（非本質非線性特性），其實質是在一個很小范圍內，將非線性特性用一段直線來代替。2.3.1小偏差線性化的概念19目前十九頁\總數五十六頁\編于十一點2.3.2線性化的意義和方法（1）單變量系統

對連續的非線性系統y=f(x),在工作點y0=f(x0)附近展成Talor級數:線性化的增量式方程:20目前二十頁\總數五十六頁\編于十一點注意:

(1)線性化方程中的系數k與工作點有關。

(2)線性化模型在小偏差情況下成立。

(3)非線性函數需滿足連續可導條件。

(4)線性化后得到的是增量化的線性方程。

21目前二十一頁\總數五十六頁\編于十一點小結微分方程的建立

(1)根據物理或化學定律，列寫出各元件的原始方程。

(2)列出原始方程式中各中間變量與其它因素的關系式。(3)將上述關系式代入原始方程式，消去中間變量，就得系統的輸入-輸出關系方程式。(4)若存在非線性特性，則可根據小偏差法進行近似線性化，最后得到整個系統以偏量表示的線性化方程式。22目前二十二頁\總數五十六頁\編于十一點微分方程的特點

(1)是在時域描述系統動態性能的數學模型。

(2)在給定輸入作用及初始條件下，求解微分方程可以得到系統的輸出響應。(3)系統結構改變或某個參數變化時，需要重新列寫并求解微分方程，十分復雜費時，不便于對系統的分析、設計。23目前二十三頁\總數五十六頁\編于十一點2-4線性系統的傳遞函數2.4.1.線性常系數微分方程的求解微分方程式r(t)c(t)求解代數方程時域解c(t)Ls的代數方程R(s)C(s)求解微分方程式s域解C(s)

L-124目前二十四頁\總數五十六頁\編于十一點

解：設輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)。寫出電路運動方程

電容初始電壓為uc(0)，對方程兩端取拉氏變換RC

uruc例2-7圖2-16所示的RC電路，當開關S突然接通后，試求出電容電壓uc(t)的變化規律。S25目前二十五頁\總數五十六頁\編于十一點當輸入為階躍電壓ur(t)=u01(t)時，

得式中右端第一項是由輸入電壓ur(t)決定的分量，是當電容初始狀態uc(0)=0時的響應，故稱零狀態響應；第二項是由電容初始電壓uc(0)決定的分量，是當輸入電壓ur(t)=0時的響應，故稱零輸入響應。26目前二十六頁\總數五十六頁\編于十一點2.4.1.線性常系數微分方程的求解用拉氏變換求解微分方程的一般步驟：1)對微分方程兩邊進行拉氏變換。2)求解代數方程，得到微分方程在s域的解。3)求s域解的拉氏反變換，即得微分方程的解。優點:1)求解簡單，并且可得到完整解；2)可以在S域研究解的特征、終值等問題。27目前二十七頁\總數五十六頁\編于十一點2.4.2傳遞函數的定義定義：在線性（或線性化）定常系統中，初始條件為零時，系統輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為系統的傳遞函數。設線性定常系統的微分方程式為式中，r(t)是輸入量，c(t)是輸出量。在零初始條件下，對上式兩端進行拉氏變換得28目前二十八頁\總數五十六頁\編于十一點(a0sn+a1sn1

++an1s

+

an

)C(s)=(b0sm+b1sm1

++bm1s

+

bm

)R(s)求出傳遞函數為2.4.3傳遞函數的性質(1)傳遞函數是一種數模，與系統的微分方程相對應。(2)傳遞函數是系統本身的一種屬性，與輸入量的大小和性質無關。(3)傳遞函數只適用于線性定常系統。

29目前二十九頁\總數五十六頁\編于十一點(4)零初始條件有兩方面的含義：

(5)非零初始條件下的解，可用疊加原理處理。

(6)傳遞函數一般為復變量s的有理分式，分母多項式是系統的特征多項式，且階次總是大于或等于分子多項式的階次，即n

m。并且所有的系數均為實數。

(7)傳遞函數與脈沖響應函數一一對應。30目前三十頁\總數五十六頁\編于十一點G(s)的兩種標準形式①零、極點表達式

31目前三十一頁\總數五十六頁\編于十一點②時間常數表達式③不同形式間的變換Ti=-1/pi,τj=-1/zj

32目前三十二頁\總數五十六頁\編于十一點2.4.4傳遞函數求取方法（1）首先求出系統的微分方程，在零初始條件下對微分方程兩邊進行拉氏變換，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比就是系統的傳遞函數；（2）列寫控制系統輸入輸出及內部各中間變量的微分方程組，將微分方程組經拉氏變換化為代數方程組，消去中間變量得到系統的傳遞函數；（3）對于電網絡系統，可以直接利用阻抗法，根據電網絡的約束關系列寫代數方程，消去中間變量得到系統的傳遞函數。

33目前三十三頁\總數五十六頁\編于十一點例34目前三十四頁\總數五十六頁\編于十一點例圖示為兩級RC電路串聯組成的無源濾波網絡，試列寫以u(t)為輸入，uc(t)為輸出的網絡傳遞函數Uc(s)/U(s)。解：根據基爾霍夫定律和電容自身的約束關系可得在零初始條件下，對上面四個方程進行拉氏變換，得到一組代數方程35目前三十五頁\總數五十六頁\編于十一點消去中間變量I1(s)、I2(s)和U1(s)可得系統的輸入輸出關系為系統傳遞函數為

例有源網絡（比例積分PI）如圖(a)所示，求傳遞函數Uo(s)/Ui(s)。

(a)時域模型(b)s域模型36目前三十六頁\總數五十六頁\編于十一點解：首先將有源PI網絡的時域模型如圖(a)所示化為s域模型如圖(b)所示，根據s域模型可知系統的傳遞函數為2.對于復雜的系統，可以把其看作是由若干基本部件組合構成的，這些基本部件又稱為典型環節。掌握了典型環節的傳遞函數，就可以方便地組合成復雜的控制系統37目前三十七頁\總數五十六頁\編于十一點

自動控制系統是由若干元件組成的，從結構及作用原理上來看，有各種不同的元件。但從動態性能或數學模型來看，卻可以分成為數不多的基本環節，這就是典型環節。一般認為典型環節有6種，分述如下：

1.比例環節（杠桿，齒輪系，電位器，變壓器等）運動方程式c(t)=K

r(t)傳遞函數G(s)=K

單位階躍響應C(s)=G(s)R(s)=K/sc(t)=K1(t)

可見，當輸入量r(t)=1(t)時，輸出量c(t)成比例變化。

2-5典型環節及其傳遞函數r(t)1c(t)t0K38目前三十八頁\總數五十六頁\編于十一點2.慣性環節微分方程式：傳遞函數：式中，T是慣性環節時間常數。慣性環節的傳遞函數有一個負實極點p=1/T，無零點。

j

01/T單位階躍響應:39目前三十九頁\總數五十六頁\編于十一點0tc(t)3.積分環節微分方程式：0.6320.8650.950.9821.0T2T3T4T傳遞函數：階躍響應曲線是按指數上升的曲線。40目前四十頁\總數五十六頁\編于十一點單位階躍響應：r(t)t01c(t)t01T當輸入階躍函數時，該環節的輸出隨時間直線增長，增長速度由1/T決定。當輸入突然除去，積分停止，輸出維持不變，故有記憶功能。

41目前四十一頁\總數五十六頁\編于十一點

c(t)=T(t)故微分環節的階躍響應為一個脈沖信號。理想的微分環節在物理系統中很少獨立存在，常見的為帶有慣性環節的微分特性：傳遞函數為：G(s)=Ts單位階躍響應：r(t)t01c(t)t0T4.微分環節微分方程式為：42目前四十二頁\總數五十六頁\編于十一點傳遞函數為：或式中，T>0，0<ξ

<1，n=1/T，T稱為振蕩環節的時間常數，ξ

為阻尼比，n為無阻尼振蕩頻率。振蕩環節有一對位于s左半平面的共軛極點：5.振蕩環節微分方程式為：43目前四十三頁\總數五十六頁\編于十一點單位階躍響應：式中，β=cos－1ξ。響應曲線是按指數衰減振蕩的，故稱振蕩環節。c(t)t01ns1s2

jd

ξn

j

044目前四十四頁\總數五十六頁\編于十一點6.延遲環節微分方程式為：c(t)=r(t)傳遞函數為：G(s)=es單位階躍響應：c(t)=1(t)r(t)t01c(t)t0145目前四十五頁\總數五十六頁\編于十一點2-6系統的結構圖2.6.1結構圖的定義及基本組成1.結構圖的定義定義:由具有一定函數關系的環節組成的，并標明信號流向的系統的方框圖，稱為系統的結構圖。例如討論過的直流電動機轉速控制系統，用方框圖來描述其結構和作用原理，如下圖放大器電動機測速機urufuae+-46目前四十六頁\總數五十六頁\編于十一點Ka1/keTaTms2+Tms+1KfUr(s)Uf(s)Ua(s)(s)E(s)+把各元件的傳遞函數代入方框中去，并標明兩端對應的變量，就得到了系統的動態結構圖。47目前四十七頁\總數五十六頁\編于十一點

2.結構圖的基本組成1）畫圖的4種基本元素如下：

信號傳遞線是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，傳遞線上標明被傳遞的信號。r(t),R(s)

分支點

表示信號引出或測量的位置，從同一位置引出的信號在數值和性質方面完全相同。r(t),R(s)r(t),R(s)48目前四十八頁\總數五十六頁\編于十一點

方框表示對信號進行的數學運算。方框中寫入元部件的傳遞函數。R(s)R(s)

U(s)U(s)G(s)C(s)R(s)C(s)=G(s)R(s)+

相加點對兩個以上的信號進行代數運算，“+”號表示相加，可省略不寫，“”號表示相減。49目前四十九頁\總數五十六頁\編于十一點2）結構圖的基本作用：

(a)簡單明了地表達了系統的組成和相互聯系，可以方便地評價每一個元件對系統性能的影響。(b)信號的傳遞嚴格遵照單向性原則，輸出對輸入的反作用，通過反饋支路單獨表示。(c)對結構圖進行一定的代數運算和等效變換，可方便地求出整個系統的傳遞函數。2.6.2結構圖的繪制步驟(1)列寫每個元件的原始方程，要考慮相互間負載效應。

(2)設初始條件為零，對這些方程進行拉氏變換，并將每個變換后的方程，分別以一個方框的形式將因果關系50目前五十頁\總數五十六頁\編于十一點表示出來，而且這些方框中的傳遞函數都應具有典型環節的形式。(3)將這些方框單元按信號流向連接起來，就組成完整的結構圖。

例2-10畫出下圖所示RC網絡的結構圖。

R

C

u1

u2解：(1)列寫各元件的原始方程式

i51目前五十一頁\總數五十六頁\編于十一點(2)取拉氏變換，在零初始條件下，表示成方框形式(3)將這些方框依次連接起來得圖。U2(s)1CsI(s)…1RI(s)U1(s)﹣+U2(s)1RI(s)U1(s)﹣+U2(s)U2(s)1Cs52目前五十二頁\總數五十六頁\編于十一點G2(s)U(s)C(s)G1(s)R(s)U(s)由圖可知：U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)消去變量U(s)得

C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)

2.6.3結構圖的基本連接形式

1.三種基本連接形式(1)串聯。相互間無負載效應的環節相串聯，即前一個環節的輸出是后一個環節的輸入，依次按順序連接。G1(s)G2(s)R(s)C(s)G2(s)U(s)C(s)串聯環節的等效傳遞函數為