其次課時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)[重點(diǎn)理解]對(duì)面面垂直的性質(zhì)定理的理解(1)定理成立的條件有三個(gè)：①兩個(gè)平面相互垂直；②直線在其中一個(gè)平面內(nèi)；③直線與兩平面的交線垂直．(2)定理的實(shí)質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來(lái)證明線面垂直．(3)面面垂直時(shí)，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直．[自我排查]1．假設(shè)平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，那么()A．α∥γ B．α⊥γC．α與γ相交但不垂直 D．以上都有可能答案：D解析：α⊥β，β⊥γ，那么：α∥γ，α⊥γ，α與γ相交但不垂直，這三種狀況都有可能，如下面圖形所示：(1)α∥γ：(2)α⊥γ：(3)α與γ相交但不垂直：所以D選項(xiàng)是正確的．2．假設(shè)平面α⊥平面β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，那么()A．m∥β B．m?βC．m⊥β D．m與β相交但不肯定垂直答案：C解析：如圖，∵α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，∴m⊥β.應(yīng)選C.3．假設(shè)兩個(gè)平面相互垂直，在第一個(gè)平面內(nèi)的一條直線a垂直于其次個(gè)平面內(nèi)的一條直線b，那么()A．直線a垂直于其次個(gè)平面B．直線b垂直于第一個(gè)平面C．直線a不肯定垂直于其次個(gè)平面D．過(guò)a的平面必垂直于過(guò)b的平面答案：C解析：直線a與直線b均不肯定為兩面的交線．應(yīng)選C.4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直線m⊥α，那么直線m與n的位置關(guān)系是________．答案：平行解析：由于α⊥β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.課堂篇·重點(diǎn)難點(diǎn)研習(xí)突破研習(xí)1平面與平面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用[典例1](鏈接教材第160頁(yè)例9，例10)如圖，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長(zhǎng)為a的菱形．△PAD為正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD.假設(shè)G為AD邊的中點(diǎn)．求證：平面PBG⊥平面PAD.[證明]∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形．∵G為AD邊的中點(diǎn)，∴BG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，BG?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.∵BG?平面PBG，∴平面PBG⊥平面PAD.[巧歸納]應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理要留意的問(wèn)題應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理證明相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般需要作幫助線——過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．[練習(xí)1]ABCD－A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一點(diǎn)M，作ME⊥AB于點(diǎn)E，那么()A．ME⊥平面ABCD B．ME?平面ABCDC．ME∥平面ABCD D．以上都有可能答案：A解析：∵M(jìn)E?平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD.2．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.證明：平面AB1C⊥平面A1BC1.證明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，四邊形BCC1B1為平行四邊形，由于BC＝CC1，所以四邊形BCC1B1為菱形，所以B1C⊥BC1.又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C?平面BCC1B1，所以B1C⊥平面A1BC1，由于B1C?平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.研習(xí)2線線、線面、面面垂直的綜合[典例2]如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)．求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直線A1F∥平面ADE.[證明](1)由于三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.又由于AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)由于A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以A1F⊥B1C1.由于CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又由于CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1，由(1)知，AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以直線A1F∥平面ADE.[巧歸納]垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化在關(guān)于垂直問(wèn)題的論證中要留意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一種垂直的判定都是從某一垂直開頭轉(zhuǎn)向另一垂直，最終到達(dá)目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：[練習(xí)2]ABC⊥平面ACD，AB⊥平面BCD，BE⊥AC于點(diǎn)E.(1)推斷DC與BE的關(guān)系；(2)求證：DC⊥BC.(1)解：DC⊥BE，理由如下：∵平面ABC⊥平面ACD，BE⊥AC于點(diǎn)E，平面ABC∩平面ACD＝AC，BE?平面ABC，∴BE⊥平面ACD，又DC?平面ACD，∴BE⊥DC.(2)證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD.∵BE⊥CD，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABC，又BC?平面ABC，∴CD⊥BC.2．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，BB1＝2BC＝2，∠BCC1＝60°.(1)求證：C1B⊥平面A1B1C1；(2)P是線段BB1上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)平面C1AP⊥平面AA1B1B時(shí)，求線段B1P的長(zhǎng)．(1)證明：由AB⊥側(cè)面BB1C1C，得AB⊥C1B.由BB1＝2BC＝2，∠BCC1＝60°，知∠C1BC＝90°，即C1B⊥CB.又CB∩AB＝B，所以C1B⊥平面ABC.由棱柱的性質(zhì)，知平面ABC∥平面A1B1C1，所以C1B⊥平面A1B1C1.(2)解：由于AB⊥側(cè)面BB1C1C，所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.過(guò)點(diǎn)C1作C1P⊥BB1，交BB1于點(diǎn)P，連接AP(圖略)，那么C1P⊥平面AA1B1B.又C1P?平面C1AP，所以平面C1AP⊥平面AA1B1B.在?BB1C1C中，∠BB1C1＝∠BCC1＝60°，∠C1BC＝∠BC1B1＝90°，所以B1P＝eq\f(1,2)B1C1＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2).課后篇·根底達(dá)標(biāo)延長(zhǎng)閱讀1．平面α⊥平面β，直線l⊥平面α，那么l與β的位置關(guān)系是()A．垂直B．平行C．l?βD．平行或l?β答案：D解析：如圖l∥β或l?β.應(yīng)選D.2．如下圖，三棱錐P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，那么△ABC是________三角形．答案：直角解析：設(shè)P在平面ABC上的射影為O，∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴O∈AB.∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中點(diǎn)，∴△ABC是直角三角形．3．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求證：AD⊥平面PCD.證明：在矩形ABCD中，AD⊥CD，由于平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD?平面ABCD，所以AD⊥平面PCD.[方法技巧]化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想貫穿立體幾何的始終，是處理立體幾何問(wèn)題的最根本的數(shù)學(xué)思想.[例如]如下圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證：AD⊥PB；(2)假設(shè)E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論，[思路分析](1)查找AD垂直于包含PB的平面.(2)分析時(shí)結(jié)合(1)及所給圖形的特征，查找與平面DEF平行且與平面ABCD垂直的平面，進(jìn)而確定F確實(shí)切位置.(1)[證明]如下圖，設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接PG，BG，∵△PAD為正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∵∠DAB＝60°，G為AD的中點(diǎn)，∴BG⊥AD.又∵BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.(2)[解]當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿意平面DEF⊥平面ABCD.證明如下：設(shè)F為PC的中點(diǎn)，那么在△PBC中，F(xiàn)E∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE.∵FE?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E，PB?平面PGB，GB?平面P