第五章線性系統二次型指標的最優控制

——線性二次型問題返回主目錄5.1引言5.2線性二次型問題的提法5.3終端時間有限時連續系統的狀態調節器問題5.4穩態時連續系統的狀態調節器問題5.5離散系統的線性二次型問題5.6伺服跟蹤問題5.7設計線性二次型最優控制的若干問題5.8小結5.1引言用極小值原理解非線性系統的最優控制將導致非線性兩點邊值問題，這類問題求解是很困難的。即使系統是線性的，但當指標函數是最短時間、最少燃料這種形式，要求得到最優控制的解析表達式，并構成反饋控制（即把表示為的函數）也是非常困難的。返回子目錄的確定歸結為求解一個非線性矩陣黎卡提（Riccati）微分方程或代數方程。而黎卡提方程的求解已研究得很透徹，有標準的計算機程序可應用，因此，求解既規范又方便。這種問題簡稱為線性二次型(LinearQuadratic簡稱LQ)問題，目前應用得十分廣泛，是現代控制理論最重要的結果之一。下面我們將看到，若系統是線性的，指標函數是二次型的（指標函數是和的二次函數），則可以求得線性最優反饋控制律。

線性二次型問題的實用意義還在于：例如，在飛行器的軌跡優化問題中，根據飛行器的狀態方程（一般是非線性的）用極小值原理計算出名義的最優控制和最優狀態軌跡，設分別用和表示。把它所得到的最優反饋控制與非線性系統的開環最優控制結合起來，可減小開環控制的誤差，達到更精確的控制的目的。

因為狀態方程只能是對飛行器實際動力學特性的近似描繪，這里存在著模型誤差，把加到飛行器上去，所產生的實際狀態將不同于（這里我們還未考慮作用在飛行器上的其它擾動作用）。（這里我們還未考慮作用在飛行器上的其它擾動作用）。令狀態誤差為，我們要使愈小愈好，為此，可根據構成一個最優反饋控制，作為校正信號加到上去，得到的實際控制信號將使飛行器盡可能沿著飛行。由于、應該比較小，它們將滿足線性的狀態方程，所以可用線性二次型問題設計出反饋控制。我們可用圖5-1表示上面的思想。

圖5-1線性二次最優反饋控制的應用5.2線性二次型問題的提法一般情況的線性二次型問題可表示如下：其中，為維狀態向量，為維控制向量，為維輸出向量。設不受約束。設線性時變系統的方程為（5-1）（5-2）返回子目錄其中，為維理想輸出向量。尋找最優控制，使下面的性能指標最小（5-4）令誤差向量為（5-3）其中，是對稱半正定常數陣，是對稱半正定陣,是對稱正定陣。一般將、、取成對角陣。下面對性能指標中的每一項作一說明。因為正定陣，則當，就有。例如設，，則為正定陣，于是它與消耗的控制能量成正比，消耗得越多，則性能指標值越大。故性能指標中這一項表示了對消耗控制能量的懲罰。、可看作加權系數，如認為的重要性大于，則可加大。將選成時間函數，是為了對不同時刻的加權不一樣。實際上，為了簡單起見常選用常數陣。

為半正定陣，則當，就有，表示誤差平方和積分，故這項表示對系統誤差的懲罰。表示對終端誤差的懲罰，當對終端誤差要求較嚴時，可將這項加到性能指標中。總之，性能指標最小表示了要用不大的控制量來保持較小的誤差，以達到能量和誤差的綜合最優。這時（單位陣），理想輸出，則，這時，問題歸結為用不大的控制量使保持在零值附近。因而稱為狀態調節器問題。下面討論幾種特殊情況：1）調節器問題。例如電機轉速調節系統中，由于外加電壓波動使轉速偏離要求值，通過施加控制使轉速偏差趨于零。這時，，這時要用不大的控制量使跟蹤，因而稱為跟蹤問題。例如，用雷達跟蹤飛行器的運動，通過控制使跟蹤誤差趨于零。2）神伺控服機拿問題什。5.芳3終端惠時間賓有限閣時連丑續系舟統的智狀態頭調節紅器問象題要求尋找最優控制，使最小。這里無約束。、為對稱半正定陣，為對稱正定陣。終端時間為有限值。(5-5)(5-6)考慮下面的系統狀態方程和性能指標返回今子目倘錄5.怨3.脅1用極緩小值本原理踐求解賠上面城的問軌題因無約束，故等同于用經典變分法求解。取哈密頓函數為協態興方程跳為最優訓解的嘆必要冶條件型如下錘：（5-7）（5-8）因正定，故存在，由上式可確定最優控制。為尋求最優反饋控制律還需把與狀態聯系起來。（5-9）控制冤方程險為我們再一次遇到了兩點邊值問題（已知和），如前所述，一般要試湊再積分協態方程使滿足要求。但這里處理的是線性微分方程，可找到更簡單的解法。從(5-10)可見，協態和狀態在終端時刻成線性關系。(5-10)橫截失條件祝為然后再來求出（這種方法稱為掃描法）。將（5-11）代入（5-9），再代入（5-5），得（5-11）(5-12)(5-13)由（5-頌11）和芹（5-迷8）可劈燕得這啟殺發我撿們假巴定：上式對任意都應成立，故方括號內的項應為零，這就得出(5-14)將(5板-1癥2)代入(5勺-1螞3)可得

上式是的非線性矩陣微分方程，稱為黎卡提（Riccati）矩陣微分方程。一般來說得不出的解析表達式，但可用計算機程序算出的數值解。為了求解，要知道它的邊界條件。比較(5-11)和(5-10)可知因此可從到逆時間積分黎卡提微分方程，求出。由(5-9)和(5-11)就可構成最優反饋控制(5-15)又稱為最優反饋增益矩陣。最優反饋系統的結構圖如圖5-2所示。(5-16)圖5-炊2最優呢反饋乖系統濕的結密構圖注意呈到愿與狀觸態露無為關，頁故可蓄在系題統未這運行爆前，秧將程先水計算奏出來蓋（稱襯為離姑線計瓣算）怪，把嬸它存引儲在紐奉計算軌機中豆。在系統運行時，將從計算機存儲元件中取出，與同一時刻測量到的相乘，就可構成最優控制。由此悄可見質，系堅統運密行時榴的計旁算量艙（稱沖為在叫線計乎算量磚）只責是一證個乘胃法計屑算，浴故可裳用簡闖單的蚊微計轉算機浩來完殃成。5.晉3.協2矩陣滅黎卡犯提微哈分方恨程的擴求解胳及的那性質1、于是暢可用獨下面貫的差法分方伯程來都近似棉黎卡澤提微菊分方構程（5-17）矩陣高黎卡們提微肢分方寸程是桿非線拌性的首，一瘦般不療能求秧得閉午合形婆式的桑解。圈在數譜字機王上求平解時糊，可幫用一防階差墓分代謙替微象分2、求解能上式拜時，虎以室為初憂始條福件，辯取使為亞負的儀小量綢，從矮到坐逆愁時間倍遞推索計算應，即參可出拋。是對鵝稱矩典陣，斃即嗎，償表削示轉貿置。求這可區證明春如下卡：因捆為搭、猶、助都是軋對稱削的，甜將(5杜-1涌4)式轉鎖置一倚下，趁可得

因此和一樣滿足同一黎卡提方程，并且邊界條件一樣，即。于是，由微分方程解的唯一性可知利用這個對稱性，求維的元時，只需積分個方程即可。3、即使系統是定常的，即系統矩陣A，輸入矩陣B為常數陣，加權陣和也是常數陣，但仍為時變陣。這從是黎卡提微分方程的解可看出。時變時，反饋控制增益也時變，在實現時總是不太方便。下一段將看到，對線性定常系統，若終端時間，且系統滿足一些附加條件時，將變為常數陣。例5-耗1設系著統狀榨態方噴程為（5-18）（5-19）尋找最優控制使下面的性能指標為最小。解考慮到是對稱陣，設為簡單起見，上式右端省略了自變量。把上面的、、、和代入黎卡提方程（5-14）式，可得（5-20）（5-21）把狀蔽態方敲程（5-歲18）和宮（5-革5）式連相比濟較，族把性翻能指她標（5-遺19）和抓（5-書6）式忍相比妥較，冒可得令上忍式等講號左百右端璃的對持應元務相等矛，得（5-23）（5-22）由到逆時間積分上面的非線性微分方程組，即可求得。于是最優控制為（5-24）得（5-25）這是永一組鞏非線螺性微甲分方層程。飼由邊辨界條少件、、、和隨時間變化的曲線可求出，如圖5-3(a)、(b)、(c)所示。圖5-3、、、和的時間曲線由圖5-3可見，定常系統的反饋系數、都是時變的。當比系統的過渡過程時間大很多時，、只在接近時才有較大的變化，其它時間接近于常數。當時，、和都趨于零，則黎卡提微分方程變為黎卡提代數方程解上面的方程組可得、、的穩態值于是啊最優菌控制茂律可這表示清為（5-27）最優泉控制殲系統佳的結膚構圖詠如圖5-梢4所示嶺。圖5-額4重積墓分系擔統最田優控糊制的執結構碰圖5.狼4穩態補時連擔續系奸統的奶狀態粱調節獎器問筋題對于仁穩態籌問題雁，當耽系統嚴狀態蠻方程闊和性距能指寬標中冒的加斥權陣許滿足懂一定盆條件慌時，薄可得殲出常騰數的墨最優川反饋虎增益鞋陣，賴這樣液在實沾現時脅非常壩方便另，因奮此有激很大量的實唯際意略義。我們財不加焰證明酒地列慕出下咽面的發結果擠，然敢后再鄭對問粗題中白的條輔件作厭一些圖說明本。現在旗來研根究工理程實齒踐中漂經常床碰到油的情廚況：渾系統賀是定團常的域，積度分指京標的臺上限殘為無午窮大嚇。這藝種線幣性二現次型蜓問題著稱為掛穩態迷問題拔。返回趕子目謝錄為維，為維，系統是可控的或至少是可穩的（可穩指不可控的狀態是漸近穩定的）。性能指標為（5-28）（5-29）線性癢定常女系統

其中不受約束，和為常數對稱正定陣。或者可將對的要求改為對稱半正定，可觀測，或至少可檢測（可檢測指不可觀測的狀態是漸近穩定的），是的矩陣平方根：。上節我們已經證明了：使為極小的最優控制是存在和唯一的，且可表示為：（5-30）

其中為維常數陣，稱為反饋增益陣，為維正定對稱陣，滿足下面的矩陣黎卡提代數方程對照有限時間調節器的公式（5-14）可見，令，并將時變陣換成常數陣即得到（5-31）式。在5.5中將針對離散型系統求取與（5-30）對應的線性二次型狀態調節器的控制規律。（5-31）可以看到，與有限時間的調節器不同，穩態調節器問題附加了兩個條件：系統可控或至少可穩；為對稱正定陣，或對稱半正定并且可觀，至少可檢測,。下面對這些條件作些解釋。也就是受控系統的狀態變量必須是漸近穩定的（這時由產生的反饋控制也收斂到零）。因為穩態問題的性能指標積分上限為無窮，為了保證積分值為有限，和要收斂到零。1）系襖統可棵控或薄至少失可穩顏。這個蝕要求鞠是為統了保分證性斥能指屈標的開積分臭為有差限值召（不會趨于陶無窮晨）而羽提出壤的。如果系統可控，則通過狀態反饋可任意配置閉環系統極點，使系統漸近穩定。可控的條件可減弱為可穩，即不可控的狀態是漸進穩定的。對有限時間調節器來講，因為積分上限為有限值，即使系統不可控，狀態變量不穩定，但積分指標仍可為有限值，故仍舊有最優解。2）為正定或為半正定并且可觀測至少可檢測，。這個條件是保證最優反饋系統穩定而提出的，因性能指標取有限值，還不能保證系統穩定。例如染只要鑰不穩聽定的賣狀態扛變量劑在性歇能指臣標中觸不出奴現（駱未被般指標西函數見所“呆觀測陪”到泰）即責可。膜為派半正愧定時剃就可差能出餃現這襪種情扶況，艘所以貌必姑須正些定。哈或者顧半正稠定，蓋但還臟有役可資觀，眉至少饑可檢樣。下烘面用日例子怒來說獻明。例5-倡2已知守系統牙方程要尋找最優控制使最小。（5-32）性能邪指標藝是（5-33）解設，即未控系統是不穩的，但系統是可控的。若，，即、為正定。黎卡提代數方程（5-31）化為（5-34）（5-35）取正禮定解由（5-遍30）求絹得最薄優控四制代入毫狀態咽方程益（5-翼32），奧得閉環濱特征抄根變取為即最綁優反勒饋系帥統是玩穩定止的。（5-37）從的形式立即可判斷出時最小。這時無反饋控制作用，系統保持為開環不穩定。從黎卡提方程來看，這時有有兩個解：和。只有可使，從而性能指標為最小，但這時系統不穩定。若漏（相紐奉當于紫為半盒正定優），根則指蛛標蛻駁化為例5-頭3考慮艘下面酷的不彩可控村系統要求出最優控制使為最小。（5-38）（5-39）（5-40）性能屋指標沖為解顯然，這個系統的是可控的，而不可控，性能指標中只包含了可控的狀態變量。由狀態方程和性能指標求得顯然為半正定陣。可控性陣為（5-41）（5-42）由對構成的可觀性陣為是非奇異陣，故為可觀測對。令是奇異的，系統不可控。將陣作下面的分解（5-43）為保證正定，根據塞爾維斯特判據，的各階主子式應大于零，即代入鈴矩陣淚黎卡行提代友數方犧程（5-博31）可傅得由上獄式可鄙解得（5-44）（5-45）（5-46）將求得的、、的值代入上面正定性條件，可得若，則上式將導致，發生矛盾若，則可成立，可正定。而由(5-39)，時，不可控的狀態是穩定的，即系統滿足可穩的要求，于是存在正定的最優反饋增益陣。（5-47）最優紛控制勞可計給算如宅下（5-48）（5-49）最優鋒閉環揮系統淡為當時，閉環系統也是穩定的閉環拘系統勻矩陣匙為它的良特征撿根為（5-50）（5-51）5.信5離散廁系統青的線呆性二溝次型求問題先考沾慮一奔般的住線性棍時變浮離散循系統讀在終近端時支間有射限時鄉豐的狀白態調養節器興問題放，再領考慮磨線性范定常既離散腿系統輝在終愧端時衡間無循限時屆的穩弱態狀牛態調龜節器浸的問飼題返回揀子目瓶錄5.斯5.咸1終端資時間全有限錢的狀捧態調名節器落問題設系珠統狀妻態方礙程為二次死型性爐能指剛標為（5-53）（5-52）

、為半正定陣，為正定陣。要求尋找最優控制序列，使最小。寫出容哈密抹頓函室數協態擺方程（5-54）（5-55）橫截匹條件胸為控制砍方程郊為假設（5-56）（5-57）（5-58）

把上式代入（5-59）并消去等式兩端的，可得必須滿足下面的黎卡提矩陣差分方程把（5-很58）代鮮入協乞態方壇程（5-壤55）得由狀糧態方宇程（5-濤52）和當控制林方程恒（5-衣57）可類得所以（5-59）對上烈式方亭括號笛部分班應用士矩陣漆求逆體引理肝。令可得尾矩陣流黎卡色提差艷分方苦程的摟另一察形式（5-61）（5-60）從伏開始農反向菌遞推岸計算輪（5-饅60）即澆可決努定掉。速求出牲后仗，下想面來衫決定偽。由民（5-泄55）得黎卡耀提方翁程的來終端挎條件塔為因而嚴由（5-琴57）得（5-62）（5-63）式（5-索63）可兄化為庫另一鍛形式為，將凡（5-孔60）代財入（5-跡63）并貸利用(5糊-6服1)得取可得對上燦式花鎖括號貴內引蜜用前錢面的亡矩陣澤求逆叉引理

是最優反饋增益陣。（5-64）（5-65）例5-參4設系阿統狀粱態方俗程為解要求尋找最優序列、，使最小。從給定的系統方程可見，系統矩陣，輸入矩陣。給定（5-66）性能孟指標始為（5-67）從給定的性能指標可知加權陣，，。黎卡提方程（5-60）可寫成終端值。由反向計算，求出、。（5-68）（5-69）再利用（5-63）式計算，，1。再計算（5-70）（5-71）（5-72）（5-73）5.材5.脂2穩態據狀態封調節甲器問拍題為維狀態向量，為維輸入向量。性能指標為設系們統的慣狀態濤方程問為（5-74）（5-75）假設（）可控或可穩，為對稱正定的常數陣，為對稱正定的常數陣，或為對稱半正定常數陣，但可觀測或可檢測，。要求尋找最優控制使最小。可以蓋證明沈，對祖于上碌面的銹問題架，最鼻優控辮制是玩存在殖和唯朝一的典，它篇可以菌表示卵為（5-76）L為m×范n維的章常數粱反饋愚增益牲陣,參考唐（5-帶65），把將時筋變陣要換成集常數抽陣，L可表瘦示為其中K為n×隊n常數右陣,是下舞面的羅矩陣榆黎卡扁提代洽數方煤程的顆唯一叛的對甲稱正鈴定解奏。在炮（5-少61）的盡矩陣豈黎卡徐提差若分方悉程中影，將輩時變砍陣換妄為常郊數陣溜，即餓可得獄出矩翻陣黎炊卡提需代數濤方程女為（5-77）（5-78）例5-合5系統六的狀津態方障程為它是漸近穩定的，即的特征值的模小于1。最優倒反饋躁控制綱系統逮為下面議用例危子來耗說明苦上述盤結果傲的應癥用。性能宗指標脹為（5-80）（5-79）（5-81）解，，，（5-82）因非奇異，故系統可控。當為半正定，故有下面的分解尋找姐最優炸控制秩使老最嶼小。由狀劍態方框程（5-始80）和亞性能嘉指標塊（5-獸81）可梢求得碌下面脾的矩借陣即（5-83）非奇異，故對可觀測。于是滿足穩態狀態調節器問題的條件。由（5-78）令,黎卡提方程可寫成由上葬式可廣解得由（5-疑76）、已（5-帽77）可甲得（5-84）最優反饋增益陣閉環膝系統路的系它統矩玩陣為閉環特征根為。顯然，根的模都小于1，閉環系統穩定。由狀態方程（5-80）可見，開環系統的根為，系統不是漸近穩定的。當，于是，閉環系統不是漸近穩定的，這是由于不滿足可觀性條件，即（5-83）式為奇異陣，這時穩態狀態調節器的最優控制解是不存在的。此外，當，則有。5.覽6伺服僻跟蹤癥問題其中，為維，為維，為維。設理想輸出為，跟蹤誤差為設系牲統的涼狀態也方程今和輸宮出方燥程為（5-85）（5-86）（5-87）返回軟子目縱錄尋找控制（不受約束）使下列性能指標最小其中為正定陣，、為半正定陣，給定。跟蹤砌問題蠻的哈泰密頓既函數舟為（5-88）（5-89）因U無約暈束，揉由控莖制方伴程由協賀態方籌程得哲出（5-91）可得（5-90）由上式可見中有一項與成線性關系，另一項與理想輸出成線性關系。根據掃描法的思想，令由橫葛截條耗件得（5-92）（5-93）其中矩陣和向量時間函數待定。將（5-93）式對t微分，得設法從上式中消去，為此把（5-90）和（5-93）代入狀態方程（5-85），可求出將（5-杠95）代英入（5-道94），品即得（5-94）（5-95）（5-96）另外墻，（5-慘93）代狗入（5-愛91）可棒得（5-97）（5-鐵96）減剛去（5-訂97）可騎得上式對任意的、均應成立，于是可得（5-98）（5-99）

（5-100）上面劫的微愿分方光程組蘿的邊拍界條芹件可酷推導稀如下鼓：由呀（5-疲93）得而由伍（5-窗92）得比較斃上面樹兩式翻，可禍得（5-101）（5-102）由上面的時的邊界條件出發，逆時間積分（5-99）和（5-100）即可求出、。于是，最優控制可根據（5-90）和（5-93）求得為中一項與狀態成正比（同狀態調節問題），另一項與時間函數成正比，而是與理想輸出有關的，故它表示了跟蹤的驅動作用。（5-103）值得指出的是：為了求出當時時刻的，需要知道全部未來時刻的，。這是因為積分（5-100）求是從逆時間進行的。于是在實現最優控制時，必須預先知道在中的變化規律。在某些情況下能做到這點，如跟蹤衛星時，衛星的運動可事先計算出來。但大部分情況下的將來值是未知的，如導彈攻擊敵機，敵機的運動規律不知道。這時可有兩種處理方法：一種是根據對的測量，預報它的將來值，另一種是將看成隨機的。用后一種處理方法時，當然只能得到統計平均意義下的最優。例5-酸6已知覆一階玻系統其中，，。尋找最優控制使最小。性能逐指標晃為（5-104）（5-105）解由（5-鳴10羨4）（5-演10結5）知由（5-槳10壯3）得由（5-貫99）可口得標正量函舒數滿族足下丙面的敬一階優黎卡帝提方多程（5-106）（5-107）最優軌線由（5-95）求得：標量函數滿足微分方程（5-100），即由（5-姓10略1）求宋得邊隔界條臟件邊界朋條件晨由（5-艦10悟2）求迅得為圖5-蛋5、讓、下以聰為參須數的緊時間茅曲線圖5-5(a)表示了當，，，，和理想輸出時，以為參數的最優的一組曲線。由圖可見，隨著的減小，跟蹤的能力增強。此外，在接近時，跟蹤誤差又回升，這時因為，，使的緣故。圖5-5(b)表示了最優控制曲線，隨著r的減小，增大，所以提高跟蹤能力是以增大控制量為代價的。圖5-5(c)是的變化曲線。由圖5-5(a)可見當，也就是的百分之一時，控制量較大才獲得較好的跟蹤性能。5.沙7設計姨線性泥二次航型最烏優控騎制的杰若干慈問題1）給出系統的數學模型，通常以、的形式給出（本章只討論了為單位陣的情況）。

2）給定二次型性能指標中的加權陣、、。通常選用常數對角陣。線性慰二次粒型最錘優控旗制的蹲設計察步驟朗可大喝致歸急結為崗：返回趟子目帥錄3）解黎卡提方程。對定常系統，終端時間無窮的穩態問題可解矩陣黎卡提代數方程，其它情況一般要解矩陣黎卡提微分方程，或矩陣黎卡提差分方程。對連續系統得到或以后，可求得反饋增益陣或。對離散系統則是求得反饋增益矩陣或，若或陣各元素的值太大，不易在系統中實現，則要更換、、陣，并返回到步驟2），若或陣各元素的值合理，則進行步驟4）。

4）構成閉環系統，求解在典型輸入或初始條件下各狀態變量的動態響應，若響應不滿足要求，則要進一步改變、、陣，并返回步驟2）.若滿足要求，則停止計算。一般來說，把中某個加權系數增大，則對應的狀態變量會收斂得更快些，中某個加權系數增大則對應的控制量會小些。從上面的設計步驟可看出，這是一個試湊的過程。若、陣選擇得合理，就可以減少試湊次數。若、選擇不合理，設計出來的系統是不滿意的。因此所謂“最優”控制只是使取最小值，并不一定保證系統的特性在實用中“最優”。另外，采用合理的計算方法可以使黎卡提方程的求解快速和精確。下面對這兩個問題作一些簡單的討論。（一坐）加模權陣樸的選榮擇。若已知各狀態變量和控制變量允許的最大值為,……和,，……，則作為初始選擇，可令然后鞭