微分方程模型二、微分方程模型三、微分方程案例分析一、微分方程建模簡介四、微分方程的MATLAB求解五、微分方程綜合案例分析微分方程是研究變化規律的有力工具，在科技、工程、經濟管理、生態、環境、人口和交通各個領域中有廣泛的應用。不少實際問題當我們采用微觀眼光觀察時都遵循著下面的模式：凈變化率＝輸入率－輸出率（守恒原理）一、微分方程模型簡介引例一在凌晨1時警察發現一具尸體，測得尸體溫度是29oC，當時環境的溫度是21oC。1h后尸體溫度下降到27oC，若人體的正常溫度是37oC，估計死者的死亡時間。解：設T(t)為死者在被殺害后t時刻尸體的溫度；k為比例系數。由牛頓冷卻定律，得則通解為由已知，由因此死者大約是在前一天的夜晚10:35被害的。可得微分方程的特解：，代入解得圖1尸體的溫度下降曲線建立微分方程的常用方法1、按變化規律直接列方程，如：利用人們熟悉的力學、數學、物理、化學等學科中的規律，如牛頓第二定律，放射性物質的放射規律等。對某些實際問題直接列出微分方程．2、利用微元分析方法建模根據已知的規律或定理，通過尋求微元之間的關系式得出微分方程。3、模擬近似法，如：在生物、經濟等學科中，許多現象所滿足的規律并不很清楚，而且現象也相當復雜，因而需根據實際資料或大量的實驗數據，提出各種假設，在一定的假設下，給出實際現象所滿足的規律，然后利用適當的數學方法得出微分方程。微分方程的建模步驟1、翻譯或轉化：在實際問題中許多表示導數的常用詞，如“速率”、‘增長”(在生物學以及人口問題研究中)，“衰變”(在放射性問題中)，以及“邊際的”(在經濟學中)等．2、建立瞬時表達式：根據自變量有微小改變△t時，因變量的增量△W，建立起在時段△t上的增量表達式，令△t→0，即得到的表達式．二、微分方程模型3、配備物理單位：在建模中應注意每一項采用同樣的物理單位．4、確定條件：這些條件是關于系統在某一特定時刻或邊界上的信息，它們獨立于微分方程而成立，用以確定有關的常數。為了完整充分地給出問題的數學陳述，應將這些給定的條件和微分方程一起列出。案例1：以為女士每天攝入2500cal食物，1200cal用于基本新陳代謝(即自動消耗)，并以每千克體重消耗16cal用于日常鍛煉，其他的熱量轉變為身體的脂肪（設10000cal可轉換成1kg脂肪）。星期天晚上，該女士的體重是57.1526kg，星期四那天她飽餐了一頓，共攝入了3500cal的食物，要求建立一個通過時間預測體重函數W(t)的數學模型，并用它估計：（1）星期六該女士的體重？（2）為了不增重，每天她最多的攝入量是多少？（3）若不進食，N周后她的體重是多少？二、微分方程案例分析解1、翻譯或轉化：2、配備物理單位：3、建立表達式：4、確定條件：1、“每天”：體重的變化＝輸入一輸出其中輸入指扣除了基本新陳代謝之后的凈重量吸收；輸出是進行健身訓練時的消耗．2、上述陳述更好的表示結構式：取天為計時單位，記W(t)為t天時體重(kg)，則：每天的凈吸收量＝2500–1200＝1300（cal)每天的凈輸出量＝16(cal)×W＝16W(cal)轉換成脂肪量＝1300–16W（cal）3、體重的變化／天＝(千克／天)1、翻譯或轉化：2、配備物理單位：3、建立表達式：4、確定條件：有些量是用能量(cal)的形式給出的，而另外一些量是用重量的形式(cal)給出，考慮單位的匹配，利用單位匹配1、翻譯或轉化：2、配備物理單位：3、建立表達式：4、確定條件：建立表達式積分后可求得其通解為：（1）當時，每天體重的變化：初始條件為：，代入解出則積分后可求得其通解為：（2）當時，每天體重的變化：初始條件為：，代入解出則積分勺后可勞求得灰其通蠢解為旦：（2）當票時，懶食物朗的攝話入量夫恢復殃正常初始態條件慕為：，代雜入解映出則最后功得到老不同愿階段沸的微君分方絕程是面：（1）傅代入泊對應場方程政，求兵得現回肺答上蜜述問棚題（2）要寫滿足咱體重摘不增繞，即所以因此佛每天籃總卡和路里斯攝取個量是12渾00洲+9味14＝21鉛14幅ca博l(c遺al火)（3）由劉于每灘天不井攝取尤能量垂，所撓以解得因此齊，n周后慰的體宅重為案例2在一川個巴弄基斯吉坦洞略穴里鄰，發率現了跳具有給古代搏尼安鬧德特名人特段征的圍人骨呢碎片幻玉，科蛇學家雖們把仍它們襖帶到排實驗外室，兼作碳14年代痕測定呢。分唯析表量明C14與C12的比口例僅仗僅是邁活組僵織內停的6.箏24％，尤此人爪生活裹在多粱少年攤前？（碳14年代輕測定廢：活云體中撤的碳柜有一允小部句分是屯放射牌性同赴位素C14。這估種放笑射性高碳是陡由于趨宇宙瀉射線腫在高長層大壟氣中快的撞走擊引凝起的桌，經獨過一擱系列堅交換眼過程籌進入亞活組貌織中會，直疊到在爭生物歷體中陰達到輔平衡愧濃度雷。這基意味梅著在惠活體抹中，C14的數仆量與滴穩定令的C12的數絹量成項定比亂。生爆物體墾死亡許后，援交換寶過程料就停悉止了檔，放魯射性溝碳便驢以每芝年八胃千分見之一既的速警度減商少）（1）問俗題分屬析與令模型差的建蘭立1、放內射性料衰變逢的這搜種性呈質還顆可描雁述為清“放淺射性寨物質寇在任倡意時煤刻的旋衰變途速度江都與欺該物絮質現蘆存的助數量傅成比投例”頃。而C14的比逐例數滲為每虛年八康千分即之一算。2、碳14年代潔測定暖可計噸算出燃生物鏈體的慰死亡恭時間矩；所做以，讀我們趙問題就實際峽上就闊是：統“這今人死盜去多譜久了錘？”吊若設t為死寸后年憐數，y(馳t)為比涂例數扎，則y(料t)=句C14/C12(m畜gC14/m且gC12)，則震上文晌中最更后一皮句話趕就給蚊出了傳我們昏的微合分方有程，只單位患為mg峰C14/m千gC12/y橋r(與關胖鍵詞餐“速嚷率”絞相當)（2）解微分苗方程德的通識解為鹽：由初災始條憤件，故動有由問還題，啟當，代渡入原侍方程案例3、追戀線問啞題我緝船私艦猴雷達亞發現戲，在哲其正示西方抱距c海里沒處有腰一艘伏走私款船正野以勻軌速度a沿直鳴線向幕北行介駛，踢緝私踩艦立丑即以嚷最大座的速才度b追趕潮，若釀用雷逮達進么行跟滑蹤，賞保持澆船的君瞬時偏速度惜方向決始終捎指向萄走私袋船，吊試求康緝私狼艦追著逐路途線和斧追上樓的時抄間。圖2走私糾船與阻緝私觸艦的艦位置矩關系(c認,0廈)xD(禿x,孫y)走私方船R(0,測at)緝私鍵艇O幾何濫關系如何聯消去但時間t?1、速舉度與端路程款的關爬系：2、分蜂解工得婦：3、求嘴導：4、將次第2、3步代刷入第1步，跨可得閘模型追線公模型古：模型緣瑞的解錢：解的驕進一土步討盞論（1）若a<姐b，從嚷而k<惜1，由清積分晝式得當x=延0時，即走推私船曠被緝初私艦西捕捉掌前所花磚的時棄間為所跑煮過的捉距離佛為（2）若a=狀b，即k=購1，由蘋積分腦式得顯然x不能愚取零牛值，冬即緝紋私艦撇不可犁能追假上走竟私船菠。（3）若a>確b，即k>北1，顯歌然緝雷私艦唐也不乏可能污追上駝走私溝船。如圖捉所示認一個旬容量廁為20紗00局m3的小尖湖的暖示意征圖，排通過慣小河A水以0.艦1m3/s的速靜度流丈入，腸以相皂同的宮流量賣湖水蹲通過B流出飼。在咸上午11槍:0虛5時，姥因交薪通事鏈故一密個盛隆有毒橋性化渡學物針質的脅容器晉傾翻孝，圖丟中X點處恨注入登湖中裝。在疾采取輔緊急設措施嶼后，流于11固:3輕5事故渾得到唱控制槍，但寄數量況不詳案例4湖泊餅污染玻問題的化臭學物拔質Z已瀉腰入湖慎中，帝初步匆估計Z的量嘉在5~狹20絡m3之間罷。建宇立一敢個模金型，昂通過淋它來賞估計漲湖水賓污染義程度素隨時雖間的渾變化杯并估呢計：（1）湖鎖水何殃時到兵達污扯染高飯峰；（2）何筒時污雜染程熱度可涂降至粉安全逆水平(<驗0.潔05革%)圖3小湖百示意訓圖湖泊筋污染掀問題含分析設湖獸水在t時的蘿污染衡程度俘為C(喘t)，即粘每立增方米附受污陣染的看水中蝕含有Cm3的化恐學物饅質和(1殿-C鏟)m3的清擁潔水擺。用聰分鐘嗚作為燦時間t的單仇位。瓣在0<讓t<墻30的時猴間內男，污更染物者流入叨湖中小湖伙示意漲圖的速娛率是Z/攔30脹(m3/m蜜in厘)，而咽排出后湖外頸的污尾染物使的速醫率是60編×0紀.1喜C(m3/m顯in電)，因逆為每郵立方群流走用的水摟中含呼有Cm3的污圾染物搜，而躍湖水傾始終誰保持20泄00領m3的容堡積不或變，書所以府可列麗方程瘡：由初輛始條遼件：，可盞得微灣分方棋程的舞特解悼為顯然據，t=徐30時，緣瑞污染點達到事高峰困，所魔以因污襖染源弦被截妄斷，繭故微鈴分方展程變北為它的恰特解戀為：湖水貍中含每污染扯物的批瞬時撥變化桌率=污染麥物流卡入量饅－污汪染物怎排出魚量當達凳到安悅全水少平，管即C(丹t)=秋0.狂00所05時，搖可求旗出此致時的t=劍T，即解得Z取不固同值目時的矛濃度C(龜30圍)和時爪間T51015200.捧00粒23強90.揪00演47長80.戲00夢71尸70.梢00沒95腔655霞273芽891鐵810涉14何為永房室促系統慰？在用沃微分徑方程象研究盈實際聞問題哪時，尿人們北常常挑采用那一種礎叫“辦房室佩系統興”的謠觀點也來考斬察問洋題。祖根據腥研究給對象自的特張征或站研究溝的不挪同精事度要案求，崗我們踢把研靜究對番象看改成一顯個整脆體（槳單房磁室系萌統）繳或將耽其剖智分成刷若干前個相思互存央在著夾某種器聯系門的部模分（錯多房斬室系注統）幻玉。房室箏具有像以下胡特征跪：它棋由考千察對念象均京勻分六布而浴成，位（注兩：考部察對濁象一殿般并舉非均桌勻分頌布，里這里喜采用閘了一睛種簡片化方格法一歌集中閱參數扇法）炮；房捷室中井考察張對象妨的數陸量或雞濃度倒（密沙度）曲的變伙化率治與外純部環瓣境有球關，單這種文關系閣被稱柄為“走交換耕”且漆交換沃滿足傻著總爹量守沙衡。輪在本歡節中翠，我絮們將碗用房囑室系邪統的賣方法鼓來研崖究藥互物在尚體內踢的分敲布。松在下誓一節倍中，店我們奏將用赤多房辣室系斯統的您方法削來研繁究另書一問厚題。細兩者半都很唇簡單底，意有圖在陷于介鄉豐紹建霉模方它法。交換環境內部單房室系統均勻分布案例5藥物伐在體則內的怕變化漂（房矮室模竄型）藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認為是與藥物當前的濃度成正比的，即：藥物擠分布華的單足房室淘模型單房室模型是最簡單的模型，它假設：體內藥物在任一時刻都是均勻分布的，設t時刻體內藥物的總量為x(t)；系統處于一種動態平衡中，即成立著關系式：藥物待的輸揮入規雷律與被給藥稱的方喚式有寇關。桶下面朱，我妥們來希研究另一下匙在幾鏟種常贏見的合給藥訪方式瓦下體績內藥螞體的辯變化肺規律噴。機體環境藥物總量圖3-8

假設藥物均勻分布情況1快速判靜脈砌注射機體環境只輸出不輸入房室其解為：藥物的濃度：

與放射性物質類似，醫學上將血漿藥物濃度衰減一半所需的時間稱為藥物的血漿半衰期：負增長率的Malthus模型在快速靜脈注射時，總量為D的藥物在瞬間被注入體內。設機體的體積為V，則我們可以近似地將系統看成初始總量為D，濃度為D/V，只輸出不輸入的房室，即系統可看成近似地滿足微分方程：（3.12）

情況2恒速鬧靜脈善點滴機體環境恒定速率輸入房室藥物似恒速點滴方式進入體內，即:則體內藥物總量滿足：（x(0)=0）（3.13）這是一個一階常系數線性方程，其解為：或易見：稱為穩態血藥濃度對于把多次監點滴很，設井點滴返時間絲式為T1，兩次沾點滴尼之間邁的間嫌隔時寶間設洪為T2，則在屆第一知次點制滴結騎束時險病人吃體內恥的藥遇物濃逃度可咳由上踐式得精出。憂其后T2時間津內為表情況1。故機：（第一次）0≤t≤T1

T1≤t≤T1

+T2

類似裳可討尤論以芹后各衣次點曲滴時瓶的情糠況，河區別定只在君初值磨上的孟不同略。第謎二次浩點滴陜起，裙患者體內消的初歲始藥潔物濃儉度不宮為零烤。情況3口服予藥或嫩肌注y(t)x(t)k1ykx環境機體外部藥物口服事藥或孔肌肉壺注射緣瑞時，扒藥物眠的吸笛收方門式與煉點滴虎時不采同，希藥物碑雖然養瞬間筋進入捏了體泰內，閱但它賴一般賀都集校中與也身體扎的某采一部勸位，架靠其驚表面縫與肌危體接面觸而罷逐步寸被吸術收。出設藥袖物被徐吸收飽的速村率與鏡存量縮慧藥物拆的數籮量成濁正比原，記墊比例忽系數解為K1，即若隔記t時刻腰殘留買藥物艇量為y(t)，則y滿足脹：D為口服或肌注藥物總量因而：所以：解得：從而藥物濃度：在通常情況下，總有k1>k（藥物未吸收完前，輸入速率通常總大于分解與排泄速率），但也有例外的可能（與藥物性質及機體對該藥物的吸收、分解能力有關）。當k1>k時，體內藥物量均很小，這種情況在醫學上被稱為觸發翻轉（flip-flop）。當k1=k時，對固定的t，令k→k1取極限（應用羅比達法則），可得出在這種情況下的血藥濃度為：如下億圖給筍出了僅上述趕三種桃情況呀下體涌內血陡藥濃支度的噴變化傅曲線合。容傾易看野出，殲快速若靜脈廢注射沾能使蛋血藥辨濃度助立即掀達到額峰值娃，常桑用于初急救筋等緊鉛急情瘡況；艷口服并、肌械注與弄點滴迎也有父一定尖的差講異，申主要查表現烘在血吊藥濃賠度的暑峰值抗出現捕在不貴同的瞇時刻憶，血折藥的負有效牙濃度媽保持暈時間圾也不兔盡相攔同，拳（注看：為腿達到完治療參目的欠，血切藥濃歪度應秩達到擴某一稼有效奇濃度賓，并匆使之至維持拔一特增定的尼時間港長度封）。房室系統我們覽已求暈得三姥種常沈見給罩藥方驚式下膛的血巾藥濃盼度C(t)，當然螺也容孩易求側得血敞藥濃疫度的肯峰值撤及出竹現峰佛值的伸時間累，因毫而，檔也不窩難根踩據不蟲同疾舍病的胸治療浮要求霧找出疾最佳姓治療謝方案矮。國家拜質量恨監督物檢驗松檢疫喘局20廟04年5月31日發仙布了椒新的《車輛瞞駕駛嘩人員累血液忙、呼販氣酒融精含址量閾氣值與皆檢驗》國家岡標準起，新寄標準野規定趟，車賺輛駕臟駛人腫員血勢液中靈的酒縫精含檔量大淘于或勾等于20毫克偏／百喂毫升片，小光于80毫克儲／百寫毫升薄為飲千酒駕男車（畏原標尸準是結小于10櫻0毫克牧／百俗毫升娛），粒血液行中的鋼酒精舊含量薪大于榮或等甜于80毫克花／百欣毫升喉為醉銷酒駕設車（乓原標捧準是柿大于早或等繪于10印0毫克后／百宰毫升卸）。五、促微分壯方程忽綜合難案例銅分析大李餡在中億午12點喝竿了一津瓶啤悼酒，債下午6點檢防查時校符合被新的破駕車夫標準葡，緊短接著琴他在通吃晚醫飯時盆又喝扎了一打瓶啤帖酒，忌為了金保險哭起見桐他呆丈到凌濕晨2點才螞駕車閑回家姥，又鉆一次脈遭遇仇檢查哭時卻晃被定沙為飲著酒駕災車，喇這讓這他既偷懊惱應又困左惑，剃為什浴么喝涉同樣壤多的派酒，爽兩次扔檢查少結果區會不復一樣瞧呢？請你悄參考配下面尚給出文的數寒據（呆或自罷己收字集資旁料）寇建立擦飲酒證后血沈液中田酒精宏含量國的數飛學模靠型，濃對大駛李碰御到的蟻情況陷做出今解釋.參考蠻數據1.人的達體液修占人雀的體蠢重的65刃%至70街%，其形中血德液只雜占體甲重的7%左右誼；而蝕藥物填（包鑄括酒瓜精）監在血瓶液中批的含弦量與梨在體勸液中呈的含乏量大障體是詠一樣鹿的。2.體重擦約70彼kg的某松人在鼓短時援間內農喝下2瓶啤碎酒后抖，隔竄一定腿時間仙測量耳他的歪血液面中酒墨精含挑量（欣毫克鎮／百醋毫升驗），傘得到賄數據否如下蓮：時間(小時)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041時間(小時)678910111213141516酒精含量3835282518151210774問題細分析一個沃人的圓血中摔酒精壘含量榮取決蓬于他僑喝了世多少鮮酒、木他體備內原冊有的厭酒精延含量羊以及賞喝酒策方式耽等。觀由科障普知浪識知鎮道，概酒精說是經責胃腸略（主眠要是傭肝臟擺）的花吸收凡與分獄解進拳體液武的。盒因此堡本文炸把酒形精的盡從胃霧腸（舅含肝纏臟）爪向體轟液轉長移情考況用曾如下窩簡圖粉直觀吳地表哄示：k11為酒訊精從田胃腸午滲透沃到（漢除體閱液外豪）其盤它地足方的丹速率挨系數湯；k12為酒辜精從焰胃腸貝進入勉體液送的速小率系遷數；k21為酒井精在擴體液喬中消循耗（賞向外肥排除壺或分蕉解或訊吸收夸）的攔速率襪系數裙；f(t)為酒醋精進初入胃怨腸的泡速率爽。由題拘意，蝕參照紀房室個模型聯，可柱建立姜如下加微分灘方程音組：（1）大蕉李在色中午12點喝蛋一瓶般啤酒風時，倡即在t=置0時，聽胃腸百中的鋤酒精預量x1戶(0碰)為一頁瓶酒匪中的行酒精a與飲辨酒瓶伶數N的乘好積Na，而矩此時咱體液撲中的散酒精祝量y1谷(0裕)為0。因墾此初蘭始條曾件為體液摔（或因血液算）中暈的酒境精的再濃度太為（2）大炊李第車二次融喝酒倦時胃信腸和遭體液運中已稱經有休酒精兆，所觸以在雜第二廁次喝尼酒即t=輛0時胃診腸中渾的酒特精量x2聰(0銷)為N瓶酒純中的細酒精燥質量Na與第診一次剛喝酒搏后殘貿留在套胃腸層中的蓮酒精端質量x1怨(T瓜1)之和狂，而洗此時混體液旋中的科酒精剪量y1響(0形)為第丑一次縫喝酒爽后殘幅留在猶胃腸歷中的枕酒精村質量y1奶(T伙1)，因涌此大價李第踩二次累喝酒掀的模路型如株下：解以活上微螺分方彩程組掉，得令，，解可膚轉化如為N＝2，運順用最鋸小二石乘擬雪合法泉，求饒解得作圖嘗如下索：將以論上數潛據代蝴入問旦題一榜的模細型中慶，可境求得扎大李因在中他午12點飲雅一瓶紛啤酒觀，即N=1時，憑到下駝午6點第仁一次素檢查蛾時體潛液中早的酒乒精含更量（磁即血舌液中恭的酒搞精含縱量）所以鮮大李帶通過貝了第利一次代檢查辛。大李董第二仿次喝炮酒模僅型的日方程販解為戚：考慮茶到大夫李在駐下午6點接蔑受檢仇查，章之后香由于慚停車棕等待飼等原岡因耽貿誤了凱大約兩半個將小時失，假叫設大針李從雀第一篩次檢艷驗到且第二夫次喝暈酒之射間間坡隔0.船5小時陳，代痰入數牙據計兼算可有得第畢二次膜檢驗李時，憶大李應血液齒中酒廈精含礙量為廁：20陜.2企44醉8槳(毫克/百毫航升)。這色就解騎釋了董大李治在第熄一次陸喝酒連通過槐檢查貓，第稻二次宅喝同培樣的僅酒且片經過輛更長繞的時哄間檢汁查卻恨被定腎為飲香酒駕遇車的抬情況卷，因浴為第各二次霜喝酒勤時有瞎第一視次喝采酒的戚殘留致量。求微孟分方伐程（窄組）易解析尸解的擴命令:ds絞ol褲ve(‘方程1’份,‘方程2’撿,…喘,‘方程n’溉,‘初始去條件京’,‘自變孝量’)To搜M預AT舌LA銀B（ff倡1）結籍果：u歡=ta細n(辨t-銀c)五、厭微分遮方程鏟的MA框TL稅AB求解解智輸編入命犯令:y=句ds梅ol士ve承('眼D2拘y+松4*楊Dy借+2宗9*盲y=療0'率,'詢y(胡0)報=0填,D靈y(招0)霸=1陷5'衰,'釘x'挎)結駱果聰為:專y彼=3縱e-2考xsi痛n（5x）To星M拆AT林LA店B（ff財2）解名輸齒入命震令取：[x盈,y若,z娃]=ds億ol戲ve卸('攏Dx=2銹*x著-3醉*y漸+3啄*z束','Dy=4開*x告-5劃*y協+3犁*z'嗓,'慎Dz=4滔*x晴-4養*y擋+2施*z沃',案'宇t'汁)；x=si議mp胸le碎(x)郵%將x化簡y=再si愈mp撥le丙(y離)z=擇si就mp搖le證(z為)結灰果蠢為：x=筍(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2ty=用-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz=落(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2tTo芽M穗AT喬LA情B（ff斷3）返治回微分治方程鑒的數癢值解（一）坊常微套分方彈程數諸值解龜的定桂義在生烘產和傍科研籮中所攔處理以的微壯分方孔程往樓往很練復雜,且大鞭多得超不出坐一般碎解．筍而實圓際中臭的對綿初值戲問題粱，一曬般是往要求響得到饒解在貧若干熟個點狠上滿腳足規疑定精弓確度斯的近輝似值住，或蘿者得匆到一鳴個滿叼足精門確度初要求帳的便廣于計氣算的也表達廁式．因此溪，研犬究常謠微分辦方程臭的數繩值解盜法是丘十分姐必要撞的．返暢回（二湊）用MA捕TL白AB軟件蠅求常題微分慈方程遺的數豆值解[t，x]=so嫩lv咱er弱(’料f’倚,t艱s,經x0娃,o盼pt熊io言ns)ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程寫成的M文件名ts=[t0,tf]，t0、tf為自變量的初值和終值函數的初值ode23：組合的2/3階龍格–庫塔–費爾貝格算