理解教材新知把握熱點考向應用創新演練第三章考點一考點二3.2第二課時考點三第二課時空間向量與垂直關系直線的方向向量和平面的法向量可以確定直線和平面的位置．因此，可用向量方法解決線面垂直關系的判斷及證明．問題1：直線的方向向量與一平面的法向量平行，則該直線與平面有什么關系？提示：垂直．問題2：若兩平面的法向量垂直，則兩平面垂直嗎？提示：垂直．證明垂直關系的向量方法線線垂直線面垂直面面垂直證明兩直線的方向向量垂直證明直線的方向向量與平面的法向量是平行向量證明兩個平面的法向量垂直用向量法證明線線、線面、面面之間的垂直關系，主要是找出直線的方向向量、平面的法向量之間的關系，因此求直線的方向向量及平面的法向量是解題關鍵．[例1]在棱長為a的正方體OABC－O1A1B1C1中，E，F分別是AB，BC上的動點，且AE＝BF，求證：A1F⊥C1E.[一點通]

利用向量法證明線線垂直往往轉化為證明直線的方向向量垂直，即證明它們的方向向量的數量積為0.證明的關鍵是建立恰當的空間直角坐標系，正確地表示出點的坐標進而求直線的方向向量．1．設直線l1的方向向量為a＝(2,1，－2)，直線l2的方向向

量為b＝(2,2，m)，若l1⊥l2，則m＝ (

)A．1

B．－2C．－3 D．3

解析：l1⊥l2?a⊥b，∴2×2＋1×2＋(－2)×m＝0，∴m＝3.

答案：D2.正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為

AC的中點.證明：

(1)BD1⊥AC；

(2)BD1⊥EB1.[例2]如圖指所示滾，在濕正方芳體AB溝CD－A1B1C1D1中，E，F分別燙是BB1，D1B1的中點伍．求證母：EF⊥平陳面B1AC.[一點雷通]法一碼選基搏底，埋將相從關向秀量用煩基底蝕表示伐出來涼，然慶后利壩用向劍量的妙計算灑來證育明．妹法二紛、法靜三建貞立空預間直洞角坐扮標系復，利范用坐寧標將消向量洞的運乏算轉技化為蘿實數(坐標)的運勸算，罪以達沙到證編明的腸目的驗．3．已惠知直敵線l與平珠面α垂直揀，直猛線的撤一個毅方向映向量僵為u＝(1憂,3，z)，向懲量v＝(3，－2,靜1)與平移面α平行景，則z＝__漫__史__沸__犯.解析蝦：∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v.∴(1屑,3，z)·剛(3，－2,旦1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3.答案鑰：34.如圖糟所示混，在驗正方狠體AB效CD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點宰，G為CC1的中現點，侄求證吧：A1O⊥平漲面GB輕D.同理幅可證斷，A1O⊥OG.又∵OG∩BD＝O，∴A1O⊥平算面GB尊D.法二偽：如圖宿，取D為坐幅標原巖點，DA，DC，DD1所在擔的直倚線分楚別為x軸，y軸、z軸建躲立空具間直愛角坐墾標系局．設正城方體淺棱長價為2，則O(1售,1象,0壓)，A1(2械,0附,2組)，G(0隆,2焦,1困)，B(2紀,2季,0漠)，D(0哲,0崗,0鎮)，[一點灶通]證明估面面逃垂直漏通常均有兩機種方麻法，耗一是披利用你面面鳳垂直透的判敏定定蘇理轉準化為澡線面欣垂直嫁、線臨線垂靜直去超證明攤；二選是證臂明兩衰個平摟面的胳法向制量互懲相垂私直．5．在株正棱鳴錐P－AB脆C中，抖三條彩側棱歌兩兩泰互相精垂直寇，G是△PA拋B的重樂心，E，F分別嗚為BC，PB上的雷點，話且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求證只：平昌面GE秩F⊥平城面PB略C.證明杜：法握一：如圖攻，以壞三棱鉗錐的虎頂點P為原殘點，們以PA，PB，PC所在混直線亮分別作倚為x軸，y軸，z軸建尚立空扭間直恨角坐謙標系糞．令PA＝PB＝PC＝3，則A(3裝,0偉,0辛)，B(0劇,3毯,0篩)，C(0料,0蓋,3繭)，E(0乒,2疼,1刮)，F(0，1,卻0)，G(1怒,1插,0棒)，P(0哀,0蹦,0載)，6．正徐方體AB住CD－A1B1C1D1中，E、F分別旬是BB1、CD的中點，展求證華：平曲面AE利D⊥平瞞面A1FD1.1．用粱向量釀法證這明線光面垂撫直的理方法蔬與步鍋驟2．利捉用空高間向邁量證扔明面滋面垂蠻直，雨通常亮可以繞有兩培個途亂徑，條一是窗利用潑兩個偷平面肢垂直小的判坑定定河理將艇面面摔垂直忽問題槽轉化釣為線收面垂回直