數(shù)學(xué)學(xué)科

第一部分考點精粹.....................................1

小學(xué)..........................................1

初中..........................................5

高中.........................................13

大學(xué).........................................30

教材教法.....................................41

第二部分專項練習(xí)....................................45

第一部分考點精粹

小學(xué)

考點-數(shù)的有關(guān)概念

1.四舍五入法：求近似數(shù)，看尾數(shù)最高位上的數(shù)是幾，比5小就

舍去，是5或大于5舍去尾數(shù)向前一位進(jìn)1.

2.因數(shù)和倍數(shù)：如果數(shù)。能被數(shù)b（bWO）整除，a就叫做b的倍

數(shù)，。就叫做。的因數(shù)（或a的約數(shù)）；倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的；

一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是

它本身；一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身.

3.奇數(shù)和偶數(shù)：自然數(shù)按能否被2整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)；

能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)；0也是偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)叫做奇

數(shù).

4.質(zhì)數(shù)與合數(shù)：一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個約數(shù)，這樣的數(shù)

叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)），

100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、

41、43、47、53、59、61、

67、71、73、79、83、89、97；一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的

約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)；

1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，非零自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù).

5.倒數(shù)：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)；求一個數(shù)（0除外）的倒

數(shù)，只要把這個數(shù)的分子、分母調(diào)換位置；1的倒數(shù)是1,0沒有倒

數(shù).

考點-比與比例

L比的意義：兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比.同除法比較，比的

前項相當(dāng)于被除數(shù)，后項相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商.

2.比例尺：（1）數(shù)值比例尺：圖上距離：實際距離=比例尺；

（2）線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表示和地

面上相對應(yīng)的實際距離.

3.比例的意義：表示兩個比相等的式子叫做比例.

組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項.兩端的兩項叫做外項，中間的

兩項叫做內(nèi)項.

4,正比例和反比例：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也

隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（也就是商）一

定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系.用

字母表示y/x=k（一定）；如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，

這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系.用字

母表示xXy=k（一定）.

考點-常見的計量單位及進(jìn)率

1.長度

（1）常用單位

千米（km）,米（m）,分米（dm）,厘米（cm）,毫米（mm）,微

米（|im）.

⑵換算

1毫米=1000微米；1厘米=10毫米；1分米=10厘米；1米=1000毫

米；1千米=1000米.

2.面積

⑴常用單位

平方毫米（mm2）,平方厘米（cm2）,平方分米，平方米（n?）,平

方千米，公頃.

⑵換算

1平方厘米=100平方毫米；1平方分米=100平方厘米；1平方米=100

平方分米；1公頃=10000

1

平方米；1平方千米=100公頃.

3.體積和容積

(1)常用單位

體積：立方米，立方分米，

立方厘米.容積：升，毫

升.

⑵換算

體積：1立方米=1000立方分米；1立方分米

=1000立方厘米.容積：1升=1000毫升；1

升=1立方分米；1毫升=1立方厘米.4.質(zhì)

量

(1)常用單位

噸(t),千克(kg),克(g).

⑵換算

1噸=1000千克;1千克=1000克.

5.時間

(1)常用單位

世紀(jì)，年，月，日，時，分，秒.

⑵換算

1世紀(jì)=100年；1年=365天(平年)；1年=366天(閏年).

一、三、五、七、八、十、十二月是大月，大月有31天；四、六、

九、十一是小月，小月

有30天；平年2月有28天，閏年2月有29天.

b2,3月為第一季度；4,5,6月為第二季度；7,8,9月為第

三季度；10，11,12月為第四季度.

1星期=7天；1天=24小時；1小時=60分；1分=60秒.

⑶判斷平年、閏年的方法

公歷年份是4的倍數(shù)一般都是閏年；如果公歷年份是整百數(shù)的，必須

是400的倍數(shù)才是閏年.

6.貨幣

⑴常用

單位元，

角，分.

⑵換算

1元=10角；1角=10分.

考點-面積和體積

1.平面圖形

（1）長方形：S=ab.

（2）正方形：S=a2.

（3）三角形：,=劭.

（4）平行四邊形：S=ah.

⑸梯形：s—?

(6)圓：5=兀3.

扇形:塌:

(7)

（8）環(huán)形：S=it（R2一/）.

2

⑼弓形：一般來說，弓形面積二扇形面積一三角形面積（除了半

圓）.N

（io）“彎角”：如弋、“彎角”的面積=正方形面積一扇形面積.

di）“谷子”：如圖：“谷子”的面積=弓形面積義2.

2.立體圖形

（1）長方體：S=2（ah+ah+hh）,V=Sh,V=ahh.

（2）正方體：S表=6/,V=a3.

（3）圓柱:5側(cè)=必,S表=S側(cè)+S底X2,V=Sh.

（4）圓錐：3=Sh.

3.常用的思想方法

轉(zhuǎn)化思想（復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的）；等積變形

（割補(bǔ)、平移、旋轉(zhuǎn)等）；借來還去（加減法）；外圍入手（從會求

的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的“關(guān)系”）.

考點?應(yīng)用題

1.相遇問題

數(shù)量關(guān)系：相遇時間=總路程+

（甲速+乙速）總路程=（甲速

+乙速）義相遇時間

解題思路和方法：簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后

再利用公式.

2.追及問題

數(shù)量關(guān)系：追及時間=追及路程+

（快速一慢速）追及路程=（快速

一慢速）X追及時間

3.植樹問題

數(shù)量關(guān)系：線形植樹棵數(shù)=距

離土棵距+1環(huán)形植樹棵數(shù)=

距離個棵距

方形植樹棵數(shù)=距離+棵距-4（注：

端點不植樹）三角形植樹棵數(shù)=距離

十棵距一3（注：端點不植樹）面積

植樹棵數(shù)=面積+（棵距X行距）

解題思路和方法：先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式.

4.年齡問題

數(shù)量關(guān)系：年齡問題往往與和差，和倍，差倍問題有著密切聯(lián)系，尤

其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這

個特點.

解題思路和方法：可以利用“差倍問題”的解題思路和方法.

5.行船問題

數(shù)量關(guān)系：（順?biāo)俣?逆水速度）+2=船速

（順?biāo)俣纫荒嫠俣龋?2=水速

順?biāo)?船速X2—逆水速=逆

水速+水速X2逆水速=船速X2

一順?biāo)?順?biāo)僖凰倭x2

解題思路和方法：大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式.

6.列車問題

（1）列車過橋（隧道）

列車車長十橋（隧道）長度（總路程）=列車速度又通過的時間

3

⑵列車+樹（電線桿）

列車車長（總路程）=列車速度又通過時間

⑶列車+列車

錯車問題：相當(dāng)于相遇問題

快車車長+慢車車長（總路程）=（快車速度+慢車

速度）X錯車時間超車問題：相當(dāng)于追及問題

快車車長+慢車車長（總路程）=（快車速度一慢車速度）X錯車

時間

7.時鐘問題

數(shù)量關(guān)系：分針的速度是時針的12倍，

通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算.

解題思路和方法：變通為“追及問題”后可以直接利用公式.

8.工程問題

工作量=工作效率X

工作時間工作時間=

工作量+工作效率

工作時間=總工作量+（甲工作效率+乙工作效率）

解題思路和方法：變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式.

9.雞兔同籠問題

數(shù)量關(guān)系：第一雞兔同籠問題

假設(shè)全都是雞，則有：兔數(shù)=（實際腳數(shù)一2義雞兔

總數(shù)）彳（4-2）假設(shè)全都是兔，則有：雞數(shù)=

（4X雞兔總數(shù)一實際腳數(shù)）4-（4-2）第二雞兔

同籠問題

假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)=（2X雞兔總數(shù)一雞與兔腳

之差）小（4+2）假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)=（4X

雞兔總數(shù)+雞與兔腳之差）4-（4+2）

解題思路和方法：解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，

也可以假設(shè)都是兔.如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是

兔，然后以雞換兔.這類問題也叫置換問題.通過先假設(shè)，再置換，使

問題得到解決.

io.商品利潤問題

數(shù)量關(guān)系：利潤=售價一進(jìn)貨價

利潤率=（售價一進(jìn)貨價）?

進(jìn)貨價X100%售價=進(jìn)貨價義

（1+利潤率）

虧損=進(jìn)貨價一售價

虧損率=（進(jìn)貨價一售價）+進(jìn)貨價X100%

解題思路和方法：簡單的題目可以直接利用公式，復(fù)雜的題目變通

后利用公式.

II.存款利率問題

數(shù)量關(guān)系：年（月）利率=利息+本金+存款年

（月）數(shù)X100%利息=本金X存款年（月）

數(shù)X年（月）利率

本利和=本金+利息=本金X[1+年（月）利率X存款年（月）

數(shù)i

初中

考點-整式的運算

1.幕的運算性質(zhì)：amW=am+n；(a"')"=amn；am^an=am-n；

(ah)"=anbn.

2.乘法公式

(1)(x+p)(x+q)-x2+(p+q)x+pq.

(2)(a+/?)(?-/?)=a2-h2.

(3)(a+b)2=a2+2ah+b~.

(4){a-b)2-a2-lab+b2.

3.整式的除法

⑴單項式除以單項式的法則：把系數(shù)、同底數(shù)塞分別相除，作

為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起

作為商的一個因式.

⑵多項式除以單項式的法則：先把這個多項式的每一項分別除

以單項式，再把所得的商相加.

考點-因式分解

1.因式分解的方法：(1)提取公因式法；(2)公式法；(3)十字相

乘法；(4)分組分解法.2.提公因式法：泌(a+Z?+c).

3.公式法

(1)〃一)2=(。+力)(?-/?).

(2)a2+2ab+b2=(。+。)2.

(3)a2-2。。+。2=(。一。)2.

4.十字相乘法：/+(p+q)x+pq=(%+p)(x+q).

考點-二次根式

1.二次根式的有關(guān)概念

①二次根式產(chǎn)320)叫做二次根式.注意被開方數(shù)。只能是非

“裝子J負(fù)數(shù).并且根式

也是非負(fù)數(shù).

0最簡二次根式：被開方數(shù)不含分母，不含能開得盡方的因數(shù)或

因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式.

③同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的幾個

二次根式，叫做同類二次根式.

2.二次根式的性質(zhì)

(1)^>O(tz>0).

(2揚(yáng)>=a(a>0).

5

(3)m=(。2Q)

"""<0)

④《ab=6$b(a>0,b>0).

（5步二/（。2。/>。）.

3.二次根式的運算

⑴二次根式的加減：先把二次根式化為最簡二次根式，再合并同

類二次根式.

?=B（aN0,b>0）.

⑵二次根式的乘T而=歷（a20力2而切

除：a?Q）；

⑶二次根式的運算仍滿足運算律，也可以用多項式的乘法公式

來簡化運算.二次根式的運算結(jié)果一定要化成最簡二次根式.

考點?一元二次方程

1.一般形式：ax2+hx+c=0（a

,^-4ac>0;因式分

心+土&懈法.）

2a'"

2.解法：直接開平方法；配方法；

公式法x=

3.根的判別式：通常用來表示，即A=82-4ac.

4..根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程以2+云+。=0（。。0）的兩個實

數(shù)根是X1,雙，那么

bc

x+x=-,xx=.

12112-

考點?分式

i.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于

零的整式，分式的值不

變.用式子表示是A=AXM

A_A^-M（其中M是不等于。的整式）.

BBxMBB

2.分式的加減法：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減,

即a±b=a±b_

CCC

異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笙嗉訙p，即“

+c_ad±be

bdbd

3.分式的乘除法：分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母

的積做積的分母，即

上j三的.分式除以分式，料鏟埠”、護(hù)顛倒位置后,為被除式相乘

即“+=?=.

bdbdbdbcbe

4.分式的混合運算：在分式的加減乘除混合運算中，應(yīng)先算乘除,

進(jìn)行約分化簡后，再進(jìn)行加減運算，遇到有括號的，先算括號里面

的.運算結(jié)果必須是最簡分式或整式.

6

考點?函數(shù)

1.一次函數(shù)丁=依+〃的圖象與性質(zhì)

k、〃的符號2>0,b>0jl>0,b<0ZVO,b>0女V0,b<0

二

圖象的大致

-

位置4

0XF

A-Zv_

經(jīng)過象限弟一、一、三象限第一、三、四象限第一、二、四象限第二、三、四象限

性質(zhì)y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小

2.反比例函數(shù)y="的圖象與性質(zhì)

X

%的符號k>Qk<0

5十

圖象的大致

位置

經(jīng)過象限第一、第三象限第二、第四象限

性質(zhì)在每一象限內(nèi)y隨工的在每一象限內(nèi)y隨工的

增大而減小增大而增大

3.二次函數(shù)yuQp+bx+c（.a,b,c為常數(shù)，。力0）的圖象與性質(zhì)

1曬符40。<0

節(jié)

也

y1

f

圖象o\I

廳

口

萬

向開口向上開LI問卜

直線,X=直線4=

對稱軸_bb

2a2a

'b4ac-\b2y_b4ac-y\

2/4。J

頂點-2a,4aJ

坐標(biāo)

當(dāng)％<-"時，y隨％的增大當(dāng)％<-〃時，y隨％的增大

而減小；而增大；

增減性2a2a

當(dāng)時，y隨工的增大當(dāng)了〉-"時，y隨x的增大

而增大而減小

2a2a

當(dāng)％=/時，y有最小值當(dāng)工二亍匕時，y有最大值

最值4ac-乒4ac-Z?2

2a4。2a4。

考點-平行線的性質(zhì)與判定

1.平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.

2.性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩

直線平行，同旁內(nèi)角互

補(bǔ).

3,判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同

旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平

行；在同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線平行；如果兩條直線都與第三

條直線平行，那么這兩條直線互相平行.

7

考點-等腰三角形

1.等腰三角形的性質(zhì)與判定

（1）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩個底角相等（簡稱為“等邊對等角“）.

②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合

（簡稱為“三線合一”）.

③等腰三角形是軸對稱圖形.

⑵等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩

個角所對的邊也相等（簡稱為“等角對等邊“）.

2.等邊三角形的性質(zhì)與判定

（1）等邊三角形的性質(zhì)

①等邊三角形的內(nèi)角相等，且都等于60°.

②等邊三角形的三條邊都相等.

③等邊三角形同樣具有“三線合一”的性質(zhì).

④等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸.

⑵等邊三角形的判定

①三條邊相等的三角形是等邊三角形.

②三個角相等的三角形是等邊三角形.

③有一個角為60。的等腰三角形是等邊三角形.

考點-直角三角形

1.直角三角形性質(zhì)

BaC

（1）角的關(guān)系：44+/3=90°.

⑵邊的關(guān)系：a2+b2=c2（勾股定理）.

ZC=90°Wl

⑶邊角關(guān)系：°A3（直角三角形中，30。角

所對的直角邊等于斜邊的一半）（另外還有三角函數(shù)關(guān)系）.

zc=90°]ni

（4）=（直角三角形斜邊上的中線CE等于斜

/IJLS=￡）￡SZ

邊AB的一半）.

（5）ch=ah=2S（如圖，S是RtZVIBC的面積，/z是斜邊上的高）.

（6）外接圓半徑內(nèi)切圓半徑i+b-c.

22

2.直角三角形的判定

⑴有一個角等于90。的三角形是直角三角形.

⑵有兩角互余的三角形是直角三角形.

8

⑶如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，則該三角形是直角三角

形.

（4）勾股定理的逆定理：如果三角形一條邊的平方等于另外兩條

邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形.

考點-三角形全等的判定

1.邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.

2.角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）.

3.角角邊定理：有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全

等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）.

4,邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊

邊邊”或“SSS”）.

5.斜邊、直角邊定理：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三

角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.

考點-平行四邊形

i.平行四邊形

⑴性質(zhì)

①平行四邊形對邊平行且相等，對角相等；鄰角互補(bǔ)；對角線互相

平分.

②平行四邊形兩個鄰角的平分線互相垂直，鄰邊不相等的平行四邊形

的兩個對角的平分線互相平行.

（2）判定

①定義法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

②邊：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且

相等的四邊形是平行四邊

形.

③角：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

④對角線：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

2.矩形

⑴性質(zhì)

①矩形的四個角都是直角.

②矩形的對角線相等.

③矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì).

(2)判定

①有三個角是直角的四邊形是矩形.

②對角線相等的平行四邊形是矩形.

3.菱形

(1)性質(zhì)

①菱形的四條邊都相等.

②菱形的對角線互相垂直且平分，并且每一條對角線平分一組對角.

③菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì).

⑵判定

①對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

②四條邊都相等的四邊形是菱形.

4.正方形

9

（1）性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角.

②正方形的對角線相等，且互相垂直平分；每條對角線平分一組對

角.

③正方形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線，以及過每一組對邊中

點的直線都是它的對稱軸；正方形是中心對稱圖形，對角線的交點

是它的對稱中心.

⑵判定

①一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.

②一組鄰邊相等的矩形是正方形.

③對角線互相垂直的矩形是正方形.

④有一個角是直角的菱形是正方形.

⑤對角線相等的菱形是正方形.

考點?圓

1.在同圓或等圓中，圓心角、圓心角對的弧、弦、弦心距有一組相

等則其他幾組對應(yīng)相等.

2垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩

條弧.

3.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直

徑.

4.切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑.

切線的判定：經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的

切線.

考點?三角函數(shù)

1.銳角三角函數(shù)的定義

sinA=；cosA=；_tanA=.

ccb

2.同角或互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系

(1)互余兩角之間的三角函數(shù)關(guān)系：sinA=cosB.

⑵同角之間的三角函數(shù)關(guān)系：sin24+cos2A=1；tansinA

cosA

3.銳角三角函數(shù)的大小比較

(1)正弦、正切是增函數(shù)，三角函數(shù)值隨角的增大而增大.

⑵余弦、余切是減函數(shù)，三角函數(shù)值隨角的增大而減小.

4.特殊角的三角函數(shù)值

10

0°30°45°60°90°

三角施

1_V2好

sina01

222

V3j_

cosa10

2~T2

g

tana0i石不存在

3

也

cota不存在百i0

3

5.解直角三角形

(1)邊的關(guān)系(勾股定理)：AC2+BC2=AB2.

(2)角的關(guān)系：/A+/B=/C=90.

(3)邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)關(guān)系.

考點?視圖

i.視圖

主視圖：從正面看到的圖；左視圖：從左面看到的圖；俯視圖：從

上面看到的圖.

2.畫三視圖的原則

長對正，高平齊，寬相等；在畫圖時，看得見部分的輪廓線通常畫成實

線，看不見的輪廓線通常畫成虛線.

3.由三視圖還原幾何體

觀察三視圖時，可從主視圖上分清物體各部分的上下和左右位置；從

俯視圖上分清物體各部分的左右和前后位置；從左視圖上分清物體

各部分的上下和前后位置.

考點-常見統(tǒng)計圖的特點

名稱特點

條形能清楚地表示每個項目的具體數(shù)

圖據(jù)

扇形能直觀地反映部分占總體的百分

圖比

折線能清楚地反映數(shù)據(jù)的變化趨勢

圖

直方能直觀、清楚地反映數(shù)據(jù)在各小

圖組的分布情況

考點-數(shù)據(jù)的分析

L描述數(shù)據(jù)集中趨勢和平均水平特征的數(shù)

（1）平均熱：芯=町+%2+…+X/2.

n

⑵加權(quán)平均數(shù)/一+九碇+…:左切

%_/+/+-?-/+/

⑶尚需％康7^饕葷亭大小（或小大）順序排列后，處在最中

（偶數(shù)個求最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)）是中位數(shù).

（4）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

⑸眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，從不同角度描述一組數(shù)據(jù)的“一般水

平”.平均數(shù)的大小與一

11

組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都有關(guān)系，容易受極端值的影響.眾數(shù)僅僅關(guān)注一組

數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).中位數(shù)是一個位置數(shù)，不受極端值影

響.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)是唯一的，而眾數(shù)可以有多個.

2.描述數(shù)據(jù)波動大小（離散碑鹿）特征的數(shù)

（1）方差的計算公式：N三一［（%+（%…-x）2l.

〃12n

⑶極差：一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差.它是反映數(shù)據(jù)

變化范圍的.

（4）極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小的量，

+H二、壯衛(wèi)、母一U好田二七±4-U//4*二、壯衛(wèi)、士4.【、

數(shù)據(jù)的波動越小.

考點?概

率

1.事件的「必然事件：P=1

分類

事件I確定個件《不可能事件：尸=0

不確定事件（隨機(jī)。（尸＜1

事件）：

2.概率的計算方法

（1）利用概率的定義直

接計算

一般地，如果在一次試驗中，有〃種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的

可能性都相等，事件A

包含其中的機(jī)種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為：尸（A）："?.

n

⑵樹形圖法.

（3）列表法.-一一

⑷用頻率估計概率（在大量重復(fù)試驗中，事件發(fā)生的頻率為m,

我們可以估計事件A

n

發(fā)生的概至為m）.

n

3.用面積法求概率：當(dāng)隨機(jī)事件的概率大小與幾何圖形的面積有關(guān)

時.，往往利用面積法求

概率，計算公式為：P⑷=本件A發(fā)生的面積.

總曲枳

4.當(dāng)一次試驗要涉及1個因素時，通常采用枚舉法求事件的概率;

當(dāng)一次試驗涉及2個因

素時，可用列表法或畫樹狀圖法求概率；當(dāng)一次試驗涉及3個或3個

以上的因素時，必須用畫樹狀圖法求概率.

5.掰菌帙,算某事件發(fā)生的概率：某事性發(fā)生的概率=此事件出

實驗的總次數(shù)

12

高中

考點?集合

1.集合的運算

(1)交集:ADB—{x\x^A,且％￡8}.

(2)并集：AUB={x\x&A,或

(3)補(bǔ)集：[UA={x\x^U,且該1}.

2.集合的運算性質(zhì)

(D并集的性質(zhì)：AU0=A；AUA=A；AUB=3UA；AUB=

A^>BQA.

(2)交集的性質(zhì)：AA0=0；AAA=A；AAB=BAA；AOB=A^AQB.

(3)補(bǔ)集的性質(zhì)：AU([(/A)=U；AH([UA)=0；[U(〔UA)

=A.

(4)摩根定律：[U(AUB)=([U4)A[U(AGB)=

(Ct7A)U([UB).

考點-簡易邏輯

i.四種命題及相互關(guān)系

2.四種命題的真假關(guān)系

(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性.

⑵兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.

3.充分條件與必要條件

(1)如果p=q,則p是q的充分條件，q是p的必要條件.

(2)如果p=q,q=p,則p是q的充要條件.

4.簡單復(fù)合命題的真值表

Pq非非P或p且

pqqq

真真假假真真

真假假真真假

假真真假真假

假假真真假假

5.命題的否定

(1)全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題.

(2)p或q的否定：非〃且非q；p且q的否定：非p或非q.

考點-函數(shù)基礎(chǔ)知識

1.函數(shù)的定義

設(shè)A,3是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系九使對于

集合A中的任意一個數(shù)%,在集合B中都有唯一確定的數(shù)/(x)和

它對應(yīng)，那么就稱f：AiB為從集合A到集合B的一個

13

函數(shù)，記作y=f(x),

xEA.

2,函數(shù)的單調(diào)性

增函數(shù)瓶函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為/,

如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意

定兩個自變量％1,應(yīng)

義

當(dāng)％1<也時，都有當(dāng)汨〈電時，都有/(汨)>/

(%2)，那么就說函數(shù)〃%)在(必)，那么就說函數(shù)八%)在

區(qū)間。上是增函數(shù)區(qū)間。上是減函數(shù)

y

圖

SM77(X2)

象

0X\x2X

描

自左向離需象是自金■象

述

囚

3,函數(shù)的奇偶性

(1)奇、偶函數(shù)的概念

一般地，如果對于函數(shù)/(%)的定義域內(nèi)任意一個工,都有/(-%)=

/(%),那么函數(shù)/(%)就叫做偶函數(shù).

一般地，如果對于函數(shù)/(%)的定義域內(nèi)任意一個工,者陌/(-%)=

-f(X),那么函數(shù)/(%)

就叫做奇函數(shù).

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.

⑵奇、偶函數(shù)的性質(zhì)

①奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點

對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反.

②在公共定義域內(nèi)，兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積是偶函

數(shù)；兩個偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積

是奇函數(shù)

③復(fù)合函數(shù)的奇偶性可以概括為“同奇則奇，一偶則偶”.

4,函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,

使得當(dāng)工取定義域內(nèi)的任何值時，都有/(%+T)=/(x),那么就稱函

數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱7為這個函數(shù)的周期.

⑵最小正周期：如果在周期函數(shù)/(%)的所有周期中存在一個最小

的正數(shù)，那么這個最

小正數(shù)就叫做了(%)的最小正周期.

⑶由周期函數(shù)的定義，采用迭代法可得結(jié)論

①函數(shù)/(%)滿足/(%+&)=-/(%),則/(%)是周期為2a的函數(shù).

14

②若/(%+1(aw。)恒成立，則T

a)=±__=2a?

7C

%)

③若f(x+a)-f(x-a),貝ijT=2a.

1-f(x)

④若f(x+a1+/(,則T=4。.

)=一

x)

5.函數(shù)的圖象變換

(1)平移變換：y=/(x±a)(Q>0)的圖象，可由y=/(x)的圖象沿

%軸方向向左或向右

平移。個單位得到；y=/(x)±0e>0)的圖象，可由)=/(%)的圖象

沿V軸方向向上或向下平移b個單位得到.即“左加右減，上加下

減”.

⑵對稱變換：y=/(-%)與)=/(%)的圖象關(guān)于)軸對稱；y=-f

(町與y=f(%)的圖

象關(guān)于％軸對稱；y=-/(-%)與y=/(%)的圖象關(guān)于原點對稱；y=f

7(%)與y=/(%)的圖象關(guān)于直線y=%對稱.

(3)伸縮變換：了=妙(%)(攵>0)的圖象，可由y=/(x)的圖象上每

一個點的縱坐標(biāo)伸長

(%>1)或縮短(ZV1)到原來的左倍而得到；y=/(E)(Z>0)的圖象，

可由y="%)的圖象上每一個點的橫坐標(biāo)伸長"VI)或縮短也>1)到

原來的1倍而得到.，

k

(4)翻折變換：要得1/(W)的圖象，可先畫出y=/(%)的圖象，然

到)=后“上不動，下

翻上”即可得到；由于|y=/(%)是偶函數(shù)|,|要得到y(tǒng)=/(x)的圖象,

可先畫出>=/(x)的圖象，然后“右不動，左去掉，右翻左”即可

得至

6,函數(shù)圖象的對稱性

⑴若對函數(shù)y=/(%)的定義域內(nèi)的任一自變量x的值都有/(%)=

2h-f(2a-x),則

)=/(%)的圖象關(guān)于點(。,扮成中心對稱.

⑵)若對函數(shù)y=/(%)的定義域內(nèi)的任一自變量％的值都有了

(x)=f(2a-x),則

)=/(%)的圖象關(guān)于直線％成軸對稱.

(3)函數(shù)y=/(%)的圖象與函數(shù)y=2b-/(2a-x)的圖象關(guān)于點(Q,

人)對稱.

<4)函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)y=/(2。-％)的圖象關(guān)于直線x=a

對稱.

15

考點-指對嘉函數(shù)

L指數(shù)函數(shù)的圖象

與性質(zhì)

y=loga>\0<a<l

ax

;J'=log?x尸1

*

圖象

y=Jog*x

(0,V

置00)

值域R

也定點

（1,0）

性質(zhì)當(dāng)x>l時，v>0；當(dāng)（）<%當(dāng)x>\時，v<()；當(dāng)()<%

<1時，y<0<1H'by>0

在（0,十oo）上是理函數(shù)在（0,十8）上是瓶困數(shù)

3.事函數(shù)的圖象與性質(zhì)

?=1a—2?=3n1a——1

定義RRR[0,+{%|x￡R且

域00)#0}

但域R[0,十R［（）,、十小僦且

00)00）

奇偶奇函偶函數(shù)奇函非奇非偶奇函數(shù)

性數(shù)數(shù)函數(shù)

%￡[0,+oo)%￡(0,+co)

單調(diào)增時，增；增增時，減；

性

(—co,0]時，(—00,0)時，

減減

考點-函數(shù)的零點

1.函數(shù)零點的定義

對于函數(shù)y=/(x)(%e。)，把使/(%)=0成立的實數(shù)％叫做函數(shù)y=

/(%)(%e。)的零點.

2.幾個等價關(guān)系

16

方程/(%)=0有實數(shù)根O函數(shù)y=f(x)的圖象與％軸有交點。函

數(shù))=/(%)有零點.

3.函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)

如果函數(shù))=/(%)在區(qū)間句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，

并且有那么函數(shù)y=/(%)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，

即存在ce(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是/(%)=。的根.

考點-導(dǎo)數(shù)與定積分

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)/(%)在點％o處的導(dǎo)數(shù)/1(沏)的幾何意義是在曲線y=/(%)

上點㈤J(xo))處的切線的斜率.相應(yīng)地，切線方程為y-/(M))=f

。0)(%-40).

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/.(X)嘉；(c為第f3=0

數(shù))

八X)藪(a為頭/(X2_亍

ax°-i

f(%)=siaxf(x)=

cosx

/(%)=cosxf(x)=

—siax

/(%)=爐(。>0,/(%)=

亞1)優(yōu)Ina

/(%)=e]f(%)=e苫

f(x)=1

f(%)=logaxxIna

(Q>0,存1)

f(x)=1

f(%)=\nxX

f(x)=2

f(x)=tanxCOS-2X

1

f(%)=cotrf(x)^s^in2'x

3.導(dǎo)數(shù)的運算法則

⑴[/(%)土g(x)]=r(%)±g'(%)?

(2)[/(x)-g(x)]=/'(%)g(%)+/(%)g'(%).

其3)IIg(%)

(g(%)W0)?

(g(%)g(%)

J

4.復(fù)合函數(shù)的

導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y^f(g(%))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/(“),〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)

系為yx—yu'ux?即

y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對〃的導(dǎo)數(shù)與〃對％的導(dǎo)數(shù)的乘積.

5.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

>0,那么函數(shù)y=/(x)在這個區(qū)間內(nèi)是增加的；如果

在某個區(qū)間(。/)內(nèi)，如果f'(x)

17

1(x)<0?那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是減少的.

6,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值與最值

(1)判斷了(X0)是極值的方法

一般地，當(dāng)函數(shù)/(%)在點40處連續(xù)時，①如果在X。附近的左側(cè)/1

(町>0,右側(cè)/G)<O，那么/(加)是極大值；②如果在丑)附近的左側(cè)/G)<O,右側(cè)/‘(工)>0,那么/(加)是極小

值.

⑵求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟

①求/")；②求方程f'(X)=0的根：③檢查/,(X)在方程/'(X)=0的根的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)

值的符號.如果左正右負(fù)，那么/(%)在這個根處取得極大值；如果

左負(fù)右正，那么/(%)在這個根處取得極小值.

⑶函數(shù)的最值

①在閉區(qū)間［Q,3上連續(xù)的函數(shù)/(%)在句上必有最大值與最小

值.

②若函數(shù)/(%)在上是增加的，則/(。)為函數(shù)的最小值，f

3)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)/(%)在力］上是減少的，則/(a)為函

數(shù)的最大值，為函數(shù)的最小值.

③設(shè)函數(shù)/(%)在力］上連續(xù)，在(。/)內(nèi)可導(dǎo)，求/(%)在［a,句上的

最大值和最小值的步

驟如下：a.求/(%)在⑷力)內(nèi)的極值；b.將/(%)的各極值與/(。)，

/3)進(jìn)行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.

7.定蹩分的運號性質(zhì)

(1)酎kf(x)dx-k^f(x)dx(k為常數(shù)).

⑵la［f(x)±g(x)］dx=jaf{x)dx±\ag(x)dx.

Dch

⑶J。于(x)dx-\aff(x)dxka<c<b).

(x)dx+J。、

8,微積分基本定理

一般地，如果/(%)是區(qū)間［。，切上的連續(xù)函數(shù)，并且/(%)=8

%),

那么匕/(%)<&=/(。)-/⑷.這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫

做牛頓——萊布尼茨公

椀一W（先把F（”）—F（。）記艮ef（x）dx^F{x）|二F

考點?任意角的三角函數(shù)

L任意角的三角函數(shù)

城.三個三

（1）任意角的終邊與單位圓交于點P時,

a（%,y）%

sina=y,cosa=%,tana

1

8

函數(shù)的初步性質(zhì)如

下表

第一第二象第三象第四象

三角函定義象限限限限

數(shù)域符號符號符號符號

sinaR++——

cosaR+——+

趣鴛產(chǎn)+生

tan?

2'+—+—

⑵三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、

四余弦.

2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

（1）平方關(guān)系：sin2?+cos2?=1.

⑵商數(shù)關(guān)系：施工=tana.

cosa

3.下列各角的終邊與角a的終邊的關(guān)系

角2E+a兀+a—a

(Z￡Z)

J

圖示—__

or―x

與角a終邊相同關(guān)于原點對稱關(guān)于入軸

的關(guān)系對稱

7l_尹a

7i—a

角a2

jfc

圖示oyxoCx

與角a終邊關(guān)于y軸對關(guān)于直線y=

的關(guān)系稱%對稱

4.六組誘導(dǎo)公式

組—二三四五六

數(shù)

支一匹+

2E+a兀+a—a