...高等數學(同濟第七版)上冊-知識點總結第一章函數與極限一.函數的概念1.兩個無窮小的比較f(x)l設limf(x)0,limg(x)0且limg(x)（1）l=，稱0f(x)是比g(x)高階的無窮小，記以f(x)g(=x)]，0[稱g(x)是比f(x)低階的無窮小。（2）l≠0，稱f(x)與g(x)是同階無窮小。（3）l=，稱1f(x)與g(x)是等價無窮小，記以f(x)~g(x)2.常見的等價無窮小當x→0時sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arccosx~x，，，e?1~xln(1x)~x(1x)1~x1?cosx~x^2/2，x二．求極限的方法1．兩個準則準則1.單調有界數列極限一定存在gxfxhx準則2.（夾逼定理）設()≤()≤()若limg(x)A,limh(x)A，則limf(x)A2．兩個重要公式sinx公式1limx01x公式2lim(1x)1/xex03．用無窮小重要性質和等價無窮小代換4．用泰勒公式當x0時，有以下公式，可當做等價無窮小更深層次ex1x3...xno(xn)xx22!3!n!xxx2n1sinxx5...(1)n(2n1)!o(x2n1)33!5!WORD格式可編輯版...cosx1x4...(1)n2no(x2n)2xx2!4!2n!ln(1x)xx...(1)n1no(xn)2x3x23n(1)(1)...((n1))xno(xn)x2...n!(1x)1x2!arctanxxx...(1)n12n1o(x2n1)3x5x2n1355．洛必達法則定理1設函數f(x)、F(x)滿足下列條件：（1）lim()0，limF(x)0；fxxxxx00Fx（2）()與()在的某一去心鄰域內可導，且()0；fxFxx0f(x)存在（或為無窮大），則f(x)F(x)f(x)（3）limlimxx0limF(x)F(x)f(x)xxxx00f(x)F(x)xx0f(x)這個定理說明：當lim存在時，lim也存在且等于lim；當F(x)f(x)F(x)xxxx00F(x)f(x)lim為無窮大時，lim也是無窮大．F(x)xx0xx0這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的極限值的方法稱為洛必達（ospital）法則.LH型未定式fxFx定理2設函數()、()滿足下列條件：（1）lim()，limF(x)；fxxxfxFxxxx00Fx（2）()與()在的某一去心鄰域內可導，且()0；0limf(x)limf(x)f(x)（3）lim存在（或為無窮大），則F(x)()FxFx()xx0xxxx00注：上述關于時未定式型的洛必達法則，對于x時未定式型xx0同樣適用．使用洛必達法則時必須注意以下幾點：（1）洛必達法則只能適用于“0”和“”型的未定式，其它的未定式須0先化簡變形成“0”或“”型才能運用該法則；0（2）只（3）洛必達法則的條件是充分的，但不必要．因此，在該法則失效時并不能斷定6．利用導數定義求極限要條件具備，可以連續應用洛必達法則；原極限不存在．WORD格式可編輯版...limf(xx)f(x)f'(x)(如果存在）基本公式00x7.利用定積分定義求極限0x01limnf(k)f(x)dx（如果存在）1n基本格式nnk10三．函數的間斷點的分類函數的間斷點分為兩類：（1）第一類間斷點設x是函數y=f(x)的間斷點。如果f(x)在間斷點x處的左、右極限都存在，00則稱x是f(x)的第一類間斷點。左右極限存在且相同但不等于該點的函數值為0可去間斷點。左右極限不存在為跳躍間斷點。第一類間斷點包括可去間斷點和跳躍間斷點。（2）第二類間斷點第一類間斷點以外的其他間斷點統稱為第二類間斷點。常見的第二類間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷點。四．閉區間上連續函數的性質在閉區間[a,b]上連續的函數f(x)，有以下幾個基本性質。這些性質以后都要用到。定理1．（有界定理）如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則f(x)必在[a,b]上有界。定理2．（最大值和最小值定理）如果函數上一定存在最大值M和最小值m。定理3．（介值定f(x)在閉區間[a,b]上連續，且其最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的c，在[a,b]上至少存在一個ξ，使得f(ξ)c=f(x)在閉區間[a,b]上連續，則在這個區間理）如果函數任何實數推論：如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)與f(b)異號，則在(a,b)內至少存在一個點ξ，使得f(ξ)0這=個推論也稱為零點定理WORD格式可編輯版...第二章導數與微分一．基本概念1．可微和可導等價，都可以推出連續，但是連續不能推出可微和可導。二．求導公式三．常見求導WORD格式可編輯版...1.復合函數運算法則2.由參數方程確定函數的運算法則dy'(t)()()'(t)≠0x=ty=(t)設，確定函數，其中y=yx'(t),'(t)存在，且，則dx'(t)3.反函數求導法則設y=f(x)的反函數x=g(y)，兩者皆可導，且f′(x)≠011則'()gy(f'(x)0)f'(x)f'(g(y))4.隱函數運算法則yyxFxyy設=()是由方程(,)=所確0定，求′的方法如下：Fxy把(,)=0兩xy邊的各項對求導，把看作中間變量，用復合函數求導公式計yy（允許出現變量）算，然后再解出′的表達式5.對數求導法則（指數類型如yxsinx）先兩邊取對數，然后再用隱函數求導方法得出導數′。主要用于：①冪指函數求導數②多個函數連乘除或開方求導數（注意y對數求導法yfxgxye定義域。關于冪指函數=[()]()常用的一種方法,=g(x)lnf(x)這樣就可以直接用復合函數運算法則進行。nn6.求階導數（≥，2正整數）yyyn先求出′,′′,??總,結出規律性，然后寫出()，最后用歸納法證明。n有一些常用的初等函數的階導數公式（1）yey(n)ex,x（2）yax,y(n)ax(lna)n（3）ysin(xn)ysinx,(n)2（4）ycosx,y(n)cos(xn)2(5)ylnx,y(n)(1)n1(n1)!xnWORD格式可編輯版...第三章微分中值定理與導數應用一.羅爾定理設函數f(x)滿足（1）在閉區間[a,b]上連續；（ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)0=2）在開區間(a,b)內可導；（3）f(a)f=(b)則存在二．拉格朗日中值定理設函數f(x)滿足（1）在閉區間[a,b]上連續；（2）在開區間(a,b)內可導；則存在ξ∈(a,b)，使得baf(b)f(a)f'()1．若f(x)在(a,b)內可導，且推論f′(x)≡0，則f(x)在(a,b)內為常數。推論2．若f(x),g(x)在(a,b)內皆可導，且f′(x)≡g′(x)，則在(a,b)內f(x)=g(x)+c，其中c為一個常數。三.柯西中值定理設函數f(x)和g(x)滿足：（1）在閉區間[a,b]上皆連續；（2）在開區間(a,b)內皆可g(b)g(a)g'()()()f(b)f(a)f'()(ab)導；g′x≠0ξ∈a,b且則存在使得（注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形g(x)=x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）四.泰勒公式（①估值②求極限（麥克勞林））定理1．（皮亞諾余項的n階泰勒公式）設f(x)在0x處有n階導數，則有公式，稱為皮亞諾余項定理2（拉格朗日余項的n階泰勒公式）設f(x)在包含0x的區間(a,b)內有n+1階導數，在[a,b]上有n階連續導數，則對x[]∈a,b有公式，，,稱為拉格朗日余項上面展開式稱為以0(x)為中心的n階泰勒公式。當x=0時，也稱為n階麥克勞林0WORD格式可編輯版...公式。常用公式(前8個)WORD格式可編輯版...五．導數的應用一．基本知識fx設函數()在fx'()00x處可導，且x為()的一個極值點，則fx。00x我們稱滿足'()0稱f(x)fx的x為的駐點，可導函數的極值點一定是駐點，00反之不然。極值點只能是駐點或不可導點，所以只要從這兩種點中進一步去判斷。極值點判斷方法1.第一充分條件f(x)xxxf(x)0在的鄰域內可導，且，則①若當0時,00xxxxxf(x)0f(x)0，當時，，則為極大值點；②若當0時，00xxxxf(x)0f(x)0時，，當，則為極小值點；③若在的兩側000f(x)x不變號，則不是極值點.02.第二充分條件f(x)xf(x)0f(x)0，f(x)0在處二階可導，且，，則①若0000x0xf(x)0則為極大值點；②若，則為極小值點.003.泰勒公式判別法（用的比較少，可以自行百度）二.凹凸性與拐點1．凹凸的定義設f(x)在區間I上連續，若對任意不同的兩點12x,x，恒有則稱f(x)在I上是凸（凹）的。在幾何上，曲線y=f上任(x)意兩點的割線在曲線下（上）面，則y=f(x)是凸（凹）的。如果曲線y=f(x)有切線的話，每一點的切線都在曲線之上（下）則y=f是凸(x)（凹）的。2．拐點的定義曲線上凹與凸的分界點，稱為曲線的拐點。3．凹凸性的判別和拐點的求法設函數f(x)在(a,b)內具有二階導數f''(x)，如果在(a,b)內的每一點x，恒有f''(x)>0，則曲線y=f(x)在(a,b)內是凹的；WORD格式可編輯版...如果在(a,b)內的每一點x，恒有y=f(x)在(a,b)內是凸的。f''(x)<0，則曲線y=f(x)的拐點的第一步：求出二階導數f''(x)；求曲線方法步驟是：第二步：求出使二階導數等于零或二階導數不存在的點xx,...x；1,2k第三步：對于以上的連續點，檢驗各點兩邊二階導數的符號，如果符號不同，該點就是拐點的橫坐標；第四步：求出拐點的縱坐標。三．漸近線的求法四．曲率WORD格式可編輯版...第四章不定積分一．基本積分表：tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxCdxsec2xdxtgxCcosx2dxcsc2xdxctgxCsecxdxlnsecxtgxCsinx2cscxdxlncscxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxC1arctgxCdxxa22aaaxdxaxC1xaCln2axadxadxlnashxdxchxCchxdxshxCx221axCln2aaxa2xdxx2dxarcsinxCln(xx2a2)Cx2a2aa22Isinnxdxcosnxdxn1I22nn2n00xaln(xx2x2a2dx2x2aa222aa2aarcsinxC2)CC2xalnxx2x2a2dx2x222xaax2dx2x22222aWORD格式可編輯版...二．換元積分法和分部積分法換元積分法（1）第一類換元法（湊微分）：f[(x)](x)dxf(u)duu(x)（2）第二類換元法（變量代換）：f(x)dxf[(t)](t)dtt1(x)分部積分法udvuvvdu使用分部積分法時被積函數中誰看作()誰看作ux'()有一定規律。vx記住口訣，反對冪指三為()，靠前就為ux()，例如arcsinxdx，應該是uxexarcsinx為u(x)，因為反三角函數排在指數函數之前，同理可以推出其他。三．有理函數積分f(x)P(x)Q(x)有理函數：，其中和是多項式。P(x)Q(x)簡單有理函數：f(x)P(x),f(x)⑴1xP(x)1x2P(x)⑵f(x)(xa)(xb)P(x)⑶f(x)(xa)2b1、“拆”；2、變量代換（三角代換、倒代換、根式代換等）.WORD格式可編輯版...第五章定積分一．概念與性質1、定義：anf()xbf(x)dxlimii0i12、性質：（10條）(3)WORD格式可編輯版...3.基本定理變上限積分：設(x)xf(t)dt，則(x)f(x)推廣：a[()]()[()]()d(x)f(t)dtfxxfxxbf(x)dxF(b)F(a)dx(x)F(x)為f(x)的一個原函數，則N—L公式：若a4.定積分的換元積分法和分部積分法WORD格式可編輯版...二．定積分的特殊性質WORD格式可編輯版...第六章定積分的應用一．平面圖形的面積1.直角坐標：Ab[f(x)f(x)]dx21a2.極坐標：A12[()()]d2221二．體積1.旋轉體體積：a)曲邊梯形yf(x),xa,xb,x軸，繞軸旋轉而成的旋轉xVf2(x)dxxb體的體積：a曲b)邊梯形yf(x),xa,xb,x軸，繞軸旋轉而成的旋轉yWORD格式可編輯版...Vb2xf(x)dxy體的體積：（柱殼法）a三.弧長s1f(x)2bdx1.直角坐標：a22dt2.參數方程：(t)(t)s2()()ds2極坐標：WORD格式可編輯版...第七章微分方程一．概念1.微分方程：表示未知函數、未知函數的導數及自變量之間關系的方程.階：微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數.2.解：使微分方程成為恒等式的函數.通解：方程的解中含有任意的常數，且常數的個數與微分方程的階數相同.特解：確定了通解中的任意常數后得到的解.(1).g(y)dyf(x)dx變量可分離的方程g(y)dyf(x)dx，兩邊積分(2).齊次型方程dyy()，設uydy，則uxdudx；dxxxdxdxxxdxvydv()，設v或dyy，則ydydy(3).一階線性微分方程dyP(x)yQ(x)dxyeP(x)dxQ(x)eP(x)dxdxC用常數變易法或用公式：(4).可降階的高階微分方程1、y(n)f(x)，兩邊積分n次；2、yf(x,y)（不顯含有y），令ypyp，則；ypdpdy3、yf(y,y)（不顯含有x），令yp，則（一）線性微分方程解的結構y,y1CyCy11221、2是齊次線性方程的解，則也是；y,yCyCy是方程11222、2是齊次線性方程的線性無關的特解，則的1通解；3、yCy