/北京市2023?2024學年高二下冊期末數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復數，則（

）A．0 B．1 C． D．23．已知向量，，若，則實數（

）A． B． C． D．4．已知等比數列中，，，則（

）A． B． C． D．5．已知拋物線C：的焦點為F，A是C上一點，O為坐標原點，若，則的面積為（

）A． B．3 C． D．66．已知角滿足，則（

）A． B． C． D．7．已知函數的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區間內，且兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知函數存在零點a，函數存在零點b，且，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．2014—2022年（2022年為上半年）中國國內生產總值（GDP）統計如下，且已知2022年全年中國國內生產總值（GDP）為121.01萬億元，則下列結論中正確的是（

）

A．2022年下半年中國GDP為64.75萬億元B．2022年中國GDP大于2014年與2015年的GDP之和C．2014—2021年中國GDP同比增長率超過10%的有2017年、2018年、2021年D．2014—2021年中國GDP同比增長最快的是2021年10．已知函數，則下列結論中正確的是（

）A．當時，是上的增函數B．當時，直線與的圖象沒有公共點C．當時，的單調遞減區間為D．當有一個極值點為時，的極大值為11．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，離心率為，P，Q為C上的動點，的最大值為6，則下列結論中正確的是（

）A．橢圓C的短軸長為B．當P，Q分別在x軸的上方和下方時四邊形的周長的取值范圍是C．存在四個不同的點P，使得D．若為銳角三角形，則點P橫坐標的取值范圍是12．如圖，在三棱柱中，AB⊥BC，平面ABC，BC＝2，三棱錐的外接球O的表面積為，記直線AC與所成的角為，直線與平面ABC所成的角為，則下列結論中正確的是（

）

A． B．三棱柱的體積的最大值為6C．球心O到平面的距離為 D．三、填空題（本大題共4小題）13．若的展開式中的系數為15，則實數．14．某足球隊共有30名球員練習點球，其中前鋒6人，中場16人，后衛8人．若前鋒點球進門的概率均是0.9，中場點球進門的概率均是0.8，后衛點球進門的概率均是0.7，則任選一名球員點球進門的概率是．（結果保留兩位小數）15．已知函數的定義域為，是偶函數，當時，，則不等式的解集為．16．已知在四面體中，，，則該四面體外接球的體積為．四、解答題（本大題共6小題）17．已知在等差數列中，，．(1)求的通項公式；(2)若是等比數列，且，，求數列的前n項和．18．已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若c＝2，的面積為，求證：是正三角形．19．如圖，在長方體中，，交于點．

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．20．2023年5月15日至21日是第二個全國家庭教育宣傳周，為進一步促進家校共育，某校舉行“家教伴成長，協同育新人”主題活動，最終評出了8位“最美家長”，其中有6位媽媽，2位爸爸，學校準備從這8位“最美家長”中每次隨機選出一人做家庭教育經驗分享．(1)若每位“最美家長”最多做一次家庭教育經驗分享，記第一次抽到媽媽為事件A，第二次抽到爸爸為事件B，求和；(2)現需要每天從這8位“最美家長”中隨機選1人，連續4天分別為低年級、中年級、高年級和全體教師各做1場經驗分享，1天只做1場，且人選可以重復，記這4天中爸爸做經驗分享的天數為X，求X的分布列和數學期望．21．已知函數．(1)證明：在上單調遞減；(2)若函數（為的導函數），且單調遞增，求實數a的取值范圍．22．已知點在雙曲線C：上，過C的右焦點F的動直線l與C交于A，B兩點．(1)若點，分別為C的左、右頂點，Q為C上異于，的點，求（k表示斜率）的值；(2)證明以為直徑的圓恒過x軸上的定點，并求該定點的坐標．

答案1．【正確答案】A【分析】先解一元二次不等式，然后由集合的交集運算求解即可.【詳解】因為集合，所以解不等式可得：，所以，所以.故選A.2．【正確答案】B【分析】利用復數的除法法則先化簡，再根據求模公式求.【詳解】，.故選B.3．【正確答案】D【分析】由已知條件得出，利用平面向量數量積的坐標運算可得出關于實數的等式，解之即可.【詳解】因為向量，，且，所以，解得.故選D.4．【正確答案】C【分析】設等比數列的公比為，根據已知條件求出的值，進而可得出的值.【詳解】設等比數列的公比為，則，解得，因此，.故選C.5．【正確答案】A【分析】利用題目所給的條件，計算出A點的坐標可得答案.【詳解】依題意作下圖：

設，，所以，可得，由，解得，所以，所以.故選A.6．【正確答案】C【分析】首先由兩角差的正切公式求出，再根據兩角和的正弦公式，二倍角公式及同角三角函數的關系，化簡后代入求值即可．【詳解】由，得，則，故選C．7．【正確答案】B【分析】利用輔助角化簡函數解析式為，分析可知，函數的最小正周期滿足，求出的取值范圍，求出函數圖象對稱中心的橫坐標，可得出所滿足的不等式，即可得出的取值范圍.【詳解】因為，因為函數的圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，所以，函數的最小正周期滿足，即，則，由可得，因為函數的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區間內，則，可得，又因為且存在，則，解得，因為，則，所以，，故選B.8．【正確答案】D【分析】先求出函數的零點，再把問題轉化為方程在上有解，構造函數，利用導數法研究單調性，求出值域即可求出實數m的取值范圍.【詳解】因為，所以，則函數單調遞增，又，所以函數的零點，由，得，解得，函數存在零點b，即方程在上有解，令，則，所以函數在上單調遞增，因為，當且無限趨向于時，無限趨向于負無窮，則函數在上的值域為，所以實數m的取值范圍是.故選D.9．【正確答案】ACD【分析】由2022年全年中國GDP減去2022年上半年中國GDP可判斷A；2014年與2015年上半年中國GDP和為大于2022年全年中國GDP，可判斷B；由圖可判斷C，D.【詳解】對于A，因為2022年全年中國國內生產總值（GDP）為121.01萬億元，2022年上半年中國GDP為萬億元，所以2022年下半年中國GDP為萬億元，故A正確；對于B，因為2014年與2015年中國GDP和為，故2022年中國GDP小于2014年與2015年的GDP之和，故B錯誤；對于C，由圖可知，2014—2021年中國GDP同比增長率超過10%的有2017年、2018年、2021年，故C正確；對于D，由圖可知，2014—2021年中國GDP同比增長最快的是2021年，故D正確.故選ACD.10．【正確答案】ABC【分析】利用函數的單調性與導數的關系可判斷AC選項；計算得出，可判斷B選項；利用函數的極值、極值點與導數的關系可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，則，當時，對任意的恒成立，即對任意的恒成立，且不恒為零，所以，當時，是上的增函數，故A正確；對于B選項，當時，，因此，當時，直線與的圖象沒有公共點，故B正確；對于C選項，當時，對于方程，，由，可得，解得，因此，當時，的單調遞減區間為，故C正確；對于D選項，當有一個極值點為時，，解得，則，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數的極大值為，故D錯誤.故選ABC.11．【正確答案】AD【分析】求得橢圓C的短軸長判斷選項A；求得四邊形的周長的取值范圍判斷選項B；求得使的點P的個數判斷選項C；求得為銳角三角形時點P橫坐標的取值范圍判斷選項D.【詳解】由題給條件可得，解之得，則，則橢圓C的方程為.設橢圓C的上頂點為，選項A：橢圓C的短軸長為.判斷正確；選項B：當P，Q分別在x軸的上方和下方時，四邊形的周長為.判斷錯誤；選項C：中，，，則，則.又當P為短軸端點時取得最大值，則存在2個不同的點P，使得.判斷錯誤；選項D：由，可得，由橢圓C的半焦距為2，則由為銳角三角形，可得點P橫坐標的取值范圍是.判斷正確.

故選AD.12．【正確答案】BD【分析】三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，由線面垂直的性質得出，又AB⊥BC，所以出現一個墻角模型，確定球心位置以及半徑大小，得出，逐一判斷選項A、C、D；結合基本不等式判斷選項B.【詳解】如圖，三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，又AB⊥BC，平面ABC，分別取的中點，則球心O為的中點.由球O的表面積為，則，即，解得.由平面ABC，平面ABC，平面ABC，所以，又AB⊥BC，所以，又BC＝2，所以.對于A，因為，故A錯誤；對于B，三棱柱的體積，當取得等號.所以體積的最大值為6，故B正確；對于C，球心O為的中點，.球心O到平面的距離即點M為到平面的距離,也即點C為到平面的距離的一半,又BC＝2，球心O到平面的距離為1，故C錯誤；對于D，記直線AC與所成的角為，，所以，；直線與平面ABC所成的角為，由平面ABC，所以，，.故D正確.

故選BD.13．【正確答案】或1【分析】寫出展開式的通項公式，根據展開式中的系數為15列出方程求解即可．【詳解】根據題意，展開式的通項公式為，則展開式中的系數為，即，解得或．故或.14．【正確答案】0.79【分析】利用相互獨立事件的概率乘法公式求解即可.【詳解】依題意，選中前鋒的概率為，選中中場的概率為，選中后衛的概率為，則任選一名球員點球進門的概率是.故0.79.15．【正確答案】【分析】分析可知函數的圖象關于直線對稱，且該函數上單調遞增，由可得出關于的不等式，解之即可.【詳解】因為函數的定義域為，是偶函數，則，即，所以，函數的圖象關于直線對稱，當時，，則函數在上單調遞減，故函數在上單調遞增，因為，則，即，即，即，解得或，因此，不等式的解集為.故答案為.16．【正確答案】【分析】依題意可得，取的中點，連接、，即可得到，，從而得到平面，四面體外接球的球心在上，設球心為，外接球的半徑為，連接，利用勾股定理求出外接球的半徑，即可求出外接球的體積.【詳解】因為，所以，則，所以，因為，取的中點，連接、，則，，且，所以，則，所以，，平面，所以平面，的外接圓圓心即為斜邊的中點，所以四面體外接球的球心在上，設球心為，外接球的半徑為，連接，則，即，解得，所以外接球的體積.

故答案為.17．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）設等差數列的公差為，根據題意列出方程組求得，即可得到數列的通項公式；（2）由（1）求得，，得出數列是等比數列的公比，求得，結合等差、等比數列的求和公式，即可求解.【詳解】（1）設等差數列的公差為，由，可得，解得，所以．（2）由（1）可知，，則，，因為是等比數列，所以公比為，所以，所以．所以．18．【正確答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由正弦定理及兩角和的正弦公式化簡即可得出答案；（2）由三角形的面積公式及余弦定理求解即可.【詳解】（1）由及正弦定理得，所以，所以，所以，因為，所以，所以．因為，所以．（2）證明：因為，所以ab＝4．由余弦定理可得，所以，即，所以a＋b＝4，所以a＝b＝2，所以a＝b＝c，所以是正三角形．19．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）連接，由，證得平面，同理可證平面，利用面面平行的判定定理，證得平面平面，即可證得平面；（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得向量和平面的一個法向量，結合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，同理可證，且平面，平面，所以平面，因為，平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面．（2）以為坐標原點，直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，所以，，．設平面的法向量為，則，取，可得，所以平面的一個法向量為，設直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．

20．【正確答案】(1)，；(2)分布列見解析，.【分析】（1）由題可得，第二次抽到爸爸，則第一次抽到媽媽或第一次抽到爸爸，據此可得；（2）由題可得爸爸做經驗分享的天數X的所有可能取值，且，據此可得X的分布列和數學期望.【詳解】（1）根據題意可知，，．（2）爸爸做經驗分享的天數X的所有可能取值為0，1，2，3，4，且，故，，，，，故X的分布列為：X01234P根據二項分布的期望公式可知，．21．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）令，對求導，得到的單調性，證明，即可得到，即可證明在上單調遞減；（2）由題意可得在恒成立，分離參數可得，令，證明即可得出答案.【詳解】（1）證明：由題可知的定義域為，．令，則，．令，得，令，得．故在上單調遞增，在上單調遞減，故．所以對任意恒成立，所以在上單調遞減．（2）由題可知，則．因為單調遞增，所以，即．令，則，．當時，，此時單調遞增，當時，，此時單調遞減，所以，則，解得．所以a的取值范圍為．22．【正確答案】(1)；證明見解析，定點的坐標為.【分析】（1）將點代入雙曲線，解得，設Q點坐標為，表示出化簡即可得出答案；（2）以AB為直徑的圓與x軸的交點為，則，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，聯立直線方程與雙曲線結合韋達定理可求出；當直線l的斜率不存在時，，求出，即可驗證.【詳解】（1）∵點在雙曲線C：上∴，解得，∴雙曲線C的方程為，則，．設Q點坐標為，則，，∴．∵點Q在雙曲線C上，∴，∴．

（2）設以AB為直徑的圓與x軸的交點為．由（1）可知雙曲線的右焦點F為．當直線l的斜率