/安徽省安慶市2024-2025學年高二下冊期中考試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數，則（

）A． B． C． D．2．若，則n的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．73．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照,要求甲必須站在中間兩個位置之一,且乙、丙2人相鄰,則不同的排隊方法共有()A．24種 B．48種 C．72種 D．96種4．定義在區間上的函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論不正確的是（

）A．函數在區間上單調遞增 B．函數在區間上單調遞減C．函數在處取得極大值 D．函數在處取得極小值5．三名同學每人均從江西井岡山、廬山、三清山和龍虎山四大名山中任選一個旅游，則這四大名山中僅有廬山未被選中的概率為（

）A． B． C． D．6．的展開式中，項的系數為（

）A．-75 B．-79 C．-39 D．-357．元宵節是中國傳統節日，當天人們會吃湯圓、賞花燈、猜燈謎.小華爸爸手里有6個燈謎，其中4個事物謎，2個字謎，小華隨機抽取2個燈謎，事件A為“取到的2個為同一類燈謎”，事件B為“取到的2個為事物謎”，則（

）A． B． C． D．8．已知，對任意，且時，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列運算錯誤的是（）A． B．C． D．10．若，則下列結論中正確的是（

）A．B．C．D．11．已知函數，若有兩個極值點，則下面判斷正確的是（

）A． B． C．D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數，則曲線在處的切線方程為.13．中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三個實驗艙每個至少一人至多三人，則不同的安排方法有種．14．已知事件滿足：，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數．(1)求的單調區間；(2)求在區間上的最大值和最小值．16．已知的展開式中，第2項與第3項的二項式系數之比為.(1)求該二項展開式的項數；(2)求展開式中含的項.17．已知函數．(1)討論函數的單調性；(2)若，求證：對且，都有．18．第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發布為里程碑，開辟了人機自然交流的新紀元.ChatGPT所用到的數學知識并非都是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應用于ChatGPT中.某學習小組設計了如下問題進行探究：甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球?2個白球，乙箱中有4個紅球?1個白球.(1)從甲箱中隨機抽出2個球，在已知抽到紅球的條件下，求2個球都是紅球的概率；(2)拋一枚質地均勻的骰子，如果點數小于等于4，從甲箱子隨機抽出1個球；如果點數大于等于5，從乙箱子中隨機抽出1個球.求抽到的球是紅球的概率；(3)在（2）的條件下，若抽到的是紅球，求它是來自乙箱的概率.19．對于函數與定義域上的任意實數x，若存在常數k，b，使得和都成立，則稱直線為函數與的“分界線”.(1)若函數，，，求函數和的“分界線”；(2)已知函數滿足對任意的，恒成立.①求實數的值；②設函數，試探究函數與是否存在“分界線”?若存在，請加以證明，并求出，的值；若不存在，請說明理由.

答案1．【正確答案】D【詳解】設，則，∴，即，∴.故選D.2．【正確答案】C【詳解】因為，所以，即故選C3．【正確答案】C熱門題型：有條件限制的排列問題分為兩類:第一類,乙、丙站在兩邊,先把乙和丙“捆綁”看成一個元素,有種方法,再與除了甲剩下的元素排列,有2種方法(提示:因為乙、丙站在兩邊,只需排列丁、戊、己),再把甲插空,有種方法,所以共有2=48(種)方法;第二類,乙、丙站在里面,先把乙和丙“捆綁”看成一個元素,有種方法,再與除了甲剩下的元素排列,有2種方法,再把甲插空,有1種方法,所以共有2=24(種)方法,綜上,共有48+24=72(種)排隊方法.故選C.【一題多解】甲站在中間兩個位置之一,且乙、丙相鄰分為兩類:第一類,甲站在第3的位置,若乙、丙站在甲的左側,則有=12(種)方法;若乙、丙站在甲的右側,則有=24(種)方法,所以共有12+24=36(種)方法;第二類,甲站在第4的位置,與第一類相同,所以共有36×2=72(種)排隊方法.故選C.4．【正確答案】C【詳解】函數在上，故函數在上單調遞增，故正確；根據函數的導數圖象，函數在時，，故函數在區間上單調遞減，故正確；由A的分析可知函數在上單調遞增，故不是函數的極值點，故錯誤；根據函數的單調性，在區間上單調遞減，在上單調遞增，故函數在處取得極小值，故正確，故選.5．【正確答案】C【詳解】三名同學均從四大名山中任選一個旅游的方法數為，其中僅有廬山未被選中的方法數為，所以僅有廬山未被選中的概率.故答案選：C．6．【正確答案】B【詳解】因為的展開式的通項公式為，所以當時，當時，所以項的系數為-79，故選B.7．【正確答案】B【詳解】由題意可得，，，所以，故選B.8．【正確答案】D【詳解】解：由，整理得：因為，所以即對任意，且，不等式恒成立設，則，即函數在區間上單調遞減所以在區間上恒成立所以，即實數的取值范圍為，故選D.9．【正確答案】AC【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選AC.10．【正確答案】AC【詳解】令，則，故A正確，令可得，故，故B錯誤，令可得，故，故C正確，令可得，，故D錯誤，故選AC.11．【正確答案】ABD【詳解】由題意知：定義域為，；當時，，所以當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以有且僅有一個極值點，不合題意；當時，令，則；①當，即時，恒成立，即恒成立，所以在上單調遞增，無極值點，不合題意；②當，即且時，令，解得：，.當時，，所以當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以有且僅有一個極值點，不合題意；（2）當時，，所以當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的極大值點為，極小值點為，滿足題意.對于A，因為是方程的兩根，所以，A正確；對于B，當時，，所以當時，單調遞減，所以，B正確；對于C，因為，，所以，所以；因為，所以，所以，C錯誤；對于D，，因為是方程的兩根，所以，，所以，令，所以，所以在上單調遞增，所以，所以，D正確.故選ABD.12．【正確答案】【詳解】解：因為，所以切線斜率，又所以切線方程為，即.13．【正確答案】450【詳解】若6名航天員三個實驗艙，三個實驗艙每個至少一人至多三人，若每組人數分別為，共有種，若每組人數分別為，共有種，綜上所有不同的安排方法共有.14．【正確答案】0.68【詳解】解：因為所以所以.15．【正確答案】(1)遞減區間為，遞增區間為和；(2)最大值為，最小值為.【詳解】（1）函數定義域為R，，當或時，，當時，，即在，上遞增，在上遞減，所以的遞減區間為，遞增區間為和.（2）由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減,因此，在區間上的最大值為，而，，即有，所以在區間上的最大值為，最小值為.16．【正確答案】(1)8(2)【詳解】（1）因為二項式的展開式中第2項的二項式系數為，第3項的二項式系數為，所以，即，解得，所以該二項展開式的項數為8.（2）因為二項式的展開式的第項為，令，得，當時，.17．【正確答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）因為，定義域為，所以．當時，令，得或，令，得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．當時，恒成立，所以函數在上單調遞增．當時，令，得或，令，得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．（2）不妨設，則，要證對，都有，只需證，即需證．構造函數，則要證，需證函數在上為增函數，因為，所以函數在上為增函數成立，所以當時，對且，都有．18．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）記事件表示“抽出的2個球中有紅球”，事件表示“兩個球都是紅球”，則，故（2）設事件表示“從乙箱中抽球”，則事件表示“從甲箱中抽球”，事件表示“抽到紅球”，則，可得（3）在（2）的條件下.19．【正確答案】(1)；(2)①；②存在，證明見解析，，.【分析】（1）根據“分界線”定義，使不等式成立即可求出“分界線”為；（2）①構造函數，利用導函數求得其單調性再由不等式恒成立，求得其最值及可解得；②利用函數存在唯一公共點，則存在的“分界線”必過該點，可設為，分別證明在上恒成立以及恒成立即可得，.【詳解】（1）令，取，則，進而有，即且，解得，故函數和的“分界線”為.（2）①因為對任意的，恒成立，所以對恒成立，令，所以，當時，恒成立，從而在上單調遞減，又，所當時，與題意矛盾，舍去；當時，令，解得；令，解圖，從而在上單調遞增，在上單調遞減，所以.由題意可知，即，也即，令，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，從而.又，所以，此時.②設，則.所以當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增.所以是函數的極小值點，也是最小值點，故.所以函