2023屆遼寧省部分學校高三下學期高考適應性測試數(shù)學試題一、單選題1．設(shè)是虛數(shù)單位，若復數(shù)（）是純虛數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的除法可得，結(jié)合條件即得.【詳解】因為，是純虛數(shù)，所以，即.故選：B.2．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解指數(shù)不等式得，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域即可得到答案.【詳解】由題意得，解得，則，根據(jù)對數(shù)型函數(shù)定義域得，∴．故選：C．3．滿足函數(shù)在上單調(diào)遞減的充分必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍即可【詳解】解：若在上單調(diào)遞減，則滿足且，則，即在上單調(diào)遞減的一個充分必要條件是.故選:B.【點睛】本題主要考查復合函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查了充要條件.不忽視函數(shù)的定義域是解決本題的關(guān)鍵.4．如圖，在三棱錐中，，，過點作截面，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】沿著側(cè)棱把正三棱錐展開在一個平面內(nèi)，利用平面上兩點間的線段距離最短，通過解三角形求解即可．【詳解】如圖．沿著側(cè)棱把正三棱錐展開在一個平面內(nèi)，如下圖所示：則即為的周長的最小值，又因為，所以，在中，，由勾股定理得：．故選：C．5．蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物．巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個相同的菱形組成．巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜．如圖是一個蜂巢的正六邊形開口，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為【答案】D【分析】對A，利用向量的減法和相反向量即可判斷；對B，根據(jù)向量的加法平行四邊形法則即可判斷；對C，利用平面向量的數(shù)量積運算即可判斷；對D，利用向量的幾何意義的知識即可判斷.【詳解】對A，，顯然由圖可得與為相反向量，故A錯誤；對B，由圖易得，直線平分角，且為正三角形，根據(jù)平行四邊形法則有，與共線且同方向．易知，均為含角的直角三角形，故，則，而，故，故，故B錯誤；對C，因為，．故C錯誤；對D，，則在上的投影向量為，故D正確．故選：D．6．某醫(yī)用口罩生產(chǎn)廠家生產(chǎn)醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護口罩三種產(chǎn)品，三種產(chǎn)品的生產(chǎn)比例如圖所示，且三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為90%，50%，40%．若從該廠生產(chǎn)的口罩中任選一個，則選到綁帶式口罩的概率為（

） 【答案】D【分析】根據(jù)全概率公式進行分析求解即可.【詳解】由圖可知醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護口罩的占比分別為70%，20%，10%，記事件分別表示選到醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護口罩，則，且兩兩互斥，所以，又三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為90%，50%，40%，記事件為“選到綁帶式口罩”，則所以由全概率公式可得選到綁帶式口罩的概率為.故選：D.7．在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造面對角線長分別為4，5，的長方體，求出其體對角線長即可求解作答.【詳解】三棱錐中，，，，構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，，則長方體的對角線長等于三棱錐外接球的直徑，如圖，設(shè)長方體的棱長分別為，，，則，，，則，因此三棱錐外接球的直徑為，所以三棱錐外接球的表面積為．故選：A8．已知實數(shù)，且，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將已知的等式兩邊取對數(shù)可得，，.設(shè)函數(shù)，求導，分析導函數(shù)的正負，得出所令函數(shù)的單調(diào)性，由此可得選項．【詳解】由，，得，，，因此，，.設(shè)函數(shù)，則，，，，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，又，所以，故選：A.【點晴】方法點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，最值問題的重要而有效的工具．本題關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，運用導函數(shù)的符號研究函數(shù)的單調(diào)性，從而比較函數(shù)的大小關(guān)系．二、多選題9．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為B．是的最大值C．把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象D．時，的最小值為，的最大值為1【答案】AC【分析】化簡已知可得，即可判斷A項；代入求出，即可判斷B項；求出平移后的函數(shù)解析式，即可判斷C項；求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得出函數(shù)的最值，進而判斷D項.【詳解】對于A項，因為，所以周期，故A正確；對于B項，，故B不正確；對于C項，將函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象，故C正確；對于D項，因為，所以.因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，取得最大值，最大值為2；又時，，時，，所以當時，取得最小值，最小值為，故D不正確．故選：AC．10．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點、，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．平面ABCDC．三棱錐的體積為定值 D．的面積與的面積相等【答案】ABC【分析】證明平面，可判斷A選項的正誤；利用面面平行的性質(zhì)可判斷B選項的正誤；利用錐體的體積公式可判斷C選項的正誤；判斷到線段的距離與到線段的距離的關(guān)系，即可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，連接、，因為四邊形為正方形，則，平面，平面，，平面，，所以平面，因為平面，因此，A選項正確；對于B選項，因為平面平面，平面，所以平面，B選項正確；對于C選項，因為的面積為，點到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值，C選項正確；對于D選項，設(shè)，取的中點，連接、，由A選項可知，平面，即平面，平面，則，因為且，故四邊形為平行四邊形，則且，因為、分別為、的中點，故且，所以四邊形為平行四邊形，平面，平面，所以，故四邊形為矩形，所以，平面，所以平面，平面，，，所以，D選項錯誤.故選：ABC.11．瑞士數(shù)學家歐拉(Euler)1765年在其所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知△ABC的頂點A(－4,0)，B(0,4)，其歐拉線方程為x－y＋2＝0，則頂點C的坐標可以是（）A．(2,0) B．(0,2) C．(－2,0) D．(0,－2)【答案】AD【分析】由已知求出的垂直平分線方程，與歐拉線方程聯(lián)立求得外心坐標，從而得到圓的方程，設(shè)，根據(jù)三角形的重心在歐拉線上，再與圓的方程聯(lián)立即可求出的坐標．【詳解】，，的垂直平分線方程為，又外心在歐拉線上，聯(lián)立，解得三角形的外心為，又，外接圓的方程為．設(shè)，則三角形的重心在歐拉線上，即．整理得．聯(lián)立，解得或．所以頂點的坐標可以是，故選：AD．12．定義在上的偶函數(shù)滿足，且當時，若關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且僅有9個，則實數(shù)m的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)的對稱性以及周期性，結(jié)合函數(shù)表達式畫出圖象，即可結(jié)合函數(shù)圖象求解的范圍.【詳解】因為定義在R上的偶函數(shù)滿足，所以關(guān)于對稱，又，所以，則4為函數(shù)的周期，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)的圖象，因為關(guān)于x的不等式的整數(shù)解有且僅有9個，所以滿足解得，則實數(shù)m的取值范圍為由于，，，．故選：BC．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點，函數(shù)與方程等知識點，屬于較難題判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法：(1)直接法：令則方程實根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個；(2)零點存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)可確定函數(shù)的零點個數(shù)；(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，在一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個零點，在確定函數(shù)零點的唯一性時往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點存在定理，有時可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.三、填空題13．在的展開式中，含的項的系數(shù)是______．【答案】【分析】由二項式的展開式即可求得答案.【詳解】因為，所以含的項為：，所以含的項的系數(shù)是．故答案為：．14．已知數(shù)列滿足，，則______．【答案】【分析】先利用判斷出為常數(shù)列，求出數(shù)列的通項公式，即可求出.【詳解】因為，即，所以，等式兩端同時除以，整理得：，即為常數(shù)列．因為，所以，所以，所以．故答案為：2022．15．若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值集合為______．【答案】【分析】分析可得原題意等價于對任意恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合基本不等式運算求解.【詳解】∵，則，原題意等價于對任意恒成立，由，，則，可得，當且僅當，即時取得等號，∴，解得．故正實數(shù)的取值集合為.故答案為：．16．已知函數(shù)，的定義域均為R，是奇函數(shù)，且，，則下列結(jié)論正確的是______．（只填序號）①為偶函數(shù)；②為奇函數(shù)；③；④.【答案】①④【分析】結(jié)合已知條件和是奇函數(shù)求出函數(shù)的周期，然后利用周期和已知條件得出為偶函數(shù)，進而判斷選項A；根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)，周期為4即可判斷選項B；根據(jù)的性質(zhì)分析可得，再根據(jù)的周期性即可判斷選項C；再結(jié)合函數(shù)的周期即可判斷選項D.【詳解】因為，所以，又因為，則有，且是奇函數(shù)，則，可得，即，則，即，所以是周期為4的周期函數(shù)，因為，則，可得，故也是周期為4的周期函數(shù)．對于①：因為，則，即，所以，所以為偶函數(shù)．故①正確；對于②：∵，∴，故②錯誤；對于③：因為，令，即，則，又因為，令，所以，令，則，即，即，所以，所以③錯誤；對于④：因為，所以，所以，所以④正確．故答案為：①④．【點睛】方法定睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．四、解答題17．在銳角中，角，的對邊分別為，，，從條件①：，條件②：這兩個條件中選擇一個作為已知條件．(1)求角的大小；(2)若，求周長的取值范圍．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）選條件①，由已知式子轉(zhuǎn)化為正切函數(shù)，根據(jù)正切函數(shù)值得角的大小；選條件②，由已知式子結(jié)合正弦定理與三角恒等變換，化簡得余弦函數(shù)值，即可得角的大小；（2）根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換將三角形周長轉(zhuǎn)化正弦型三角函數(shù)，利用正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)求取值范圍即可.【詳解】（1）選條件①：因為，所以，所以．又因為，所以，所以，所以．選條件②：因為由正弦定理可得．即，又因為，所以．因為，所以．（2）由正弦定理得，則，又，則，且在銳角中，所以，，則，所以因為，所以，則所以，即周長的取值范圍為．18．已知為單調(diào)遞增數(shù)列，為其前項和，(Ⅰ)求的通項公式；(Ⅱ)若為數(shù)列的前項和，證明：.【答案】(1)；(2)見解析.【分析】（1）由得，所以,整理得,所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，可得.（2）結(jié)合（1）可得，利用裂項相消法求得的前項和，利用放縮法可得結(jié)論.【詳解】試題解析：（Ⅰ）當時，,所以，即,又為單調(diào)遞增數(shù)列，所以.由得，所以,整理得,所以.所以，即,所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以.(Ⅱ)所以.【點晴】本題主要考查數(shù)列的通項與求和公式，以及裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題.裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導致計算結(jié)果錯誤.19．芻甍（chúméng）是中國古代數(shù)學書中提到的一種幾何體，《九章算術(shù)》中對其有記載：“下有袤有廣，而上有袤無廣”，可翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．”，如圖，在芻甍中，四邊形ABCD是正方形，平面和平面交于．(1)求證：；(2)若平面平面ABCD，，，，，求平面和平面所成角余弦值的絕對值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可得證；（2）過點作于，過點作于，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）在正方形中，，平面，平面，所以平面，又平面，平面與平面交于，所以；（2）過點作于，過點作于，連接，由平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由（1）知，∴，在四邊形中，，，，所以，，在正方形中，，所以，因為，且，所以，所以，，，，，所以，，，，設(shè)平面的一個法向量，由，令，則，設(shè)平面的一個法向量，由，令，則，設(shè)平面和平面所成角為，則，所以平面和平面所成角余弦值的絕對值為．20．甲、乙兩地教育部門到某師范大學實施“優(yōu)才招聘計劃”，即通過對畢業(yè)生進行筆試，面試，模擬課堂考核這3項程序后直接簽約一批優(yōu)秀畢業(yè)生，已知3項程序分別由3個考核組獨立依次考核，當3項程序均通過后即可簽約．去年，該校數(shù)學系130名畢業(yè)生參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計劃”的具體情況如下表（不存在通過3項程序考核放棄簽約的情況）．性別

人數(shù)參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)男生4515女生6010今年，該校數(shù)學系畢業(yè)生小明準備參加兩地的“優(yōu)才招聘計劃”，假定他參加各程序的結(jié)果相互不影響，且他的輔導員作出較客觀的估計：小明通過甲地的每項程序的概率均為，通過乙地的各項程序的概率依次為，，m，其中0＜m＜1．(1)判斷是否有90%的把握認為這130名畢業(yè)生去年參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計劃”能否簽約與性別有關(guān)；(2)若小明能與甲、乙兩地簽約分別記為事件A，B，他通過甲、乙兩地的程序的項數(shù)分別記為X，Y．當E（X）＞E（Y）時，證明：P（A）＞P（B）．參考公式與臨界值表：，n＝a＋b＋c＋d．k【答案】(1)沒有90%的把握認為去年該校130名數(shù)學系畢業(yè)生參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計劃”能否簽約與性別有關(guān)(2)證明見解析【分析】(1)依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入，求出后參考臨界值表.(2)分別列出小明參加甲乙程序的分布列，算出E（X）與E（Y），通過E（X）＞E（Y）即可證明：P（A）＞P（B）．【詳解】（1）因為，且，所以沒有90%的把握認為去年該校130名數(shù)學系畢業(yè)生參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計劃”能否簽約與性別有關(guān)．（2）因為小明參加各程序的結(jié)果相互不影響，所以，則．Y的可能取值為0，1，2，3．，，，．隨機變量Y的分布列：Y0123P．因為E（X）＞E（Y），所以，即，所以，所以P（A）＞P（B）．21．已知橢圓的左右頂點分別為，上頂點為，離心率為，點為橢圓上異于的兩點，直線相交于點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若點在直線上，求證：直