一、選擇題1．如圖，O是菱形的對角線的交點，E，F分別是的中點給出下列結論：①；②四邊形也是菱形；③四邊形的面積大小等于；④；⑤是軸對稱圖形．其中正確的結論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．如圖，對折矩形紙片，使與重合得到折痕，將紙片展平，再一次折疊，使點落到上的點處，并使折痕經過點，已知，則線段的長度為（）A．1 B． C． D．23．如圖，把矩形沿對折，若則等于（）A． B． C． D．4．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E、F分別在線段BC、DC上，∠BAE＝25°，若線段AE繞點A逆時針旋轉后與線段AF重合，則旋轉的角度是（）A．25° B．40° C．90° D．50°5．如圖，已知正方形與正方形的邊長分別為4和1，若將正方形繞點旋轉，則在旋轉過程中，點之間的最小距離為（）A．3 B． C． D．6．如圖，以△ABC的三條邊為邊，分別向外作正方形，連接EF，GH，DJ，如果△ABC的面積為8，則圖中陰影部分的面積為（）A．28 B．24 C．20 D．167．已知菱形的對角線，相交于點，，，則菱形的周長為（）A． B． C． D．8．如圖，在正方形ABCD的邊AB上取一點E，連接CE，將沿CE翻折，點B恰好與對角線AC上的點F重合，連接DF，若，則的面積是（）A． B． C． D．9．如圖，在中，、分別是、的中點，，是線段上一點，連接、，，若，則的長度是（）A．6 B．8 C．10 D．1210．如圖，將n個邊長都為2的正方形按如圖所示擺放，點A1，A2，…An分別是正方形的中心，則這n個正方形重疊部分的面積之和是（）A．n B．n－1 C．（）n－1 D．n11．如圖所示，正方形ABCD中，E，F是對角線AC上兩點，連接BE，BF，DE，DF，則添加下列哪一個條件可以判定四邊形BEDF是菱形（）A．∠1＝∠2 B．BE＝DF C．∠EDF＝60° D．AB＝AF12．如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，M為AD中點，P為對角線BD上一動點，連接PA和PM，則PA＋PM的最小值是()A．3 B．2 C．3 D．6二、填空題13．如圖，正方形，對角線，交于點，以，為一組鄰邊做正方形；，交于點，以，為一組鄰邊做正方形；，交于點，以，為一組鄰邊做正方形……．若，則的值為_____．14．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是斜邊AB的中點，連接CD．若BC＝5，CD＝3，則AC＝______．15．我們把兩條對角線所成兩個角的大小之比是1：2的矩形叫做“和諧矩形”，如果一個“和諧矩形”的對角線長為10cm，則矩形的面積為_____cm2．16．有兩個全等矩形紙條，長與寬分別為11和7，按如圖所示的方式交叉疊放在一起，則重合部分構成的四邊形的周長為_______________．17．如圖，和都是直角三角形，C，D是直角頂點，．取的中點O，連結，則的度數是__________．18．如圖，在矩形紙片中，點是邊的中點，沿直線折疊，點落在矩形內部的點處，連接并延長交于點．已知，，則的長為__________．19．如圖，長方形中，是上一點，將沿著翻折，使得翻折后的恰好經過邊的中點，翻折后的點記作點．若，，則線段的長度為______．20．如圖將一張長方形紙片沿EF折疊后，點A、B分別落在A′、B′的位置，如果∠2=70°，則∠1的度數是___________．三、解答題21．如圖，點E，F分別在菱形ABCD的邊BC，CD上，且BE＝DF．（1）如圖1，求證：∠BAF＝∠DAE；（2）如圖2，若∠ABC＝45°，AE⊥BC，連接BD分別交AE，AF于G，H，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出圖中所有的只含有一個3∠ABD的三角形．22．綜合與實踐已知四邊形與均為正方形．數學思考：（1）如圖1，當點在邊上，點在邊上時，線段與的數量關系是______，位置關系是______．（2）在圖1的基礎上，將正方形以點為旋轉中心，逆時針旋轉角度，得到圖2，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；拓展探索：（3）如圖3，若點，，在同一直線上，且，則線段長為_____．（直接寫出答案即可，不要求寫過程）．23．如圖，在中，點O是邊上的一個動點，過點O作直線，設交的角平分線于點E，交的外角的平分線于點F，連接．（1）求證：；（2）當點O運動到何處時，四邊形是矩形？并證明你的結論．（3）在（2）的條件下，滿足什么條件時，四邊形是正方形？并說明理由．24．如圖所示，平行四邊形對角線平分；求證：四邊形為菱形；已知于，若，求．25．如圖，在坐標系的網格中，且三點均在格點上．（1）C點的坐標為；（2）作關于y軸的對稱三角形；（3）取的中點D，連接A1D，則A1D的長為．26．已知：如圖，P是正方形ABCD內一點，在正方形ABCD外有一點E，滿足∠ABE＝∠CBP，BE＝BP．求證：（1）；.（2）PB⊥BE（3）請你連接PE，猜想線段PB與線段PE的數量關系，并說明理由．【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．C解析：C【分析】①正確，根據三角形的面積公式可得到結論．②根據已知條件利用菱形的判定定理可證得其正確．③正確，根據菱形的面積等于對角線乘積的一半即可求得．④不正確，根據已知可求得∠FDO＝∠EDO，而無法求得∠ADE＝∠EDO．⑤正確，由已知可證得△DEO≌△DFO，從而可推出結論正確．【詳解】解：①正確∵E、F分別是OA、OC的中點．∴AE＝OE．∵S△ADEAE×ODOE×OD＝S△EOD∴S△ADE＝S△EOD．②正確∵四邊形ABCD是菱形，E，F分別是OA，OC的中點．∴EF⊥OD，OE＝OF．∵OD＝OB．∴四邊形BFDE是菱形．③正確∵菱形ABCD的面積AC×BD．∵E、F分別是OA、OC的中點．∴EFAC．∴菱形ABCD的面積＝EF×BD．④不正確由已知可求得∠FDO＝∠EDO，而無法求得∠ADE＝∠EDO．⑤正確∵EF⊥OD，OE＝OF，OD＝OD．∴△DEO≌△DFO．∴△DEF是軸對稱圖形．∴正確的結論有四個，分別是①②③⑤，故選：C．【點睛】此題主要考查學生對菱形的性質等知識的理解及運用能力．2．B解析：B【分析】由折疊的性質可得AE=AD=BC=1，AG=AD=2，由勾股定理得出EG即可．【詳解】解：如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，對折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合得到折痕EF，∴AE=AD=BC=1，EF⊥AD，∴∠AEF=90°，∵再一次折疊，使點D落到EF上點G處∴AG=AD=2，∴EG=，故選：B．【點睛】此題主要考查了翻折變換的性質以及矩形的性質，熟練掌握折疊的性質是解題關鍵．3．B解析：B【分析】根據矩形的對邊平行，可得∠AEF+∠BFE=180°，繼而求得∠BFE=68°，再利用折疊的性質和平角的定義求解即可．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF+∠BFE=180°，∵，∴∠BFE=68°，∴∠1=180°-2∠BFE=44°，故選B．【點睛】本題考查了折疊問題，矩形的性質，平行線的性質，平角的定義，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．4．B解析：B【分析】證明Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），可得∠BAE＝∠DAF＝25°，求出∠EAF即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°由旋轉不變性可知：AE＝AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴∠BAE＝∠DAF＝25°，∴∠EAF＝90°﹣25°﹣25°＝40°，∴旋轉角為40°，故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，求出Rt△ABE和Rt△ADF全等是解題的關鍵，也是本題的難點．5．B解析：B【分析】連接CE、AC，根據正方形ABCD與正方形AEFG的邊長分別為4和1，可以求出AC的長，又因為CE≥AC-AE，所以當A、E、C三點共線時取等號，即可求值；【詳解】如圖，連接CE、AC，已知正方形ABCD與正方形AEFG的邊長分別為4和1，∴AB=BC=4，AE=1，由勾股定理得：，∴∵CE≥AC-AE，∴CE≥，∴CE的最小值為，故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質、勾股定理、以及三角形的三邊關系，正確掌握知識點是解題的關鍵．6．B解析：B【分析】過E作EM⊥FA交FA的延長線于M，過C作CN⊥AB交AB的延長線于N，根據全等三角形的性質得到EM＝CN，于是得到S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，于是得到結論．【詳解】解：過E作EM⊥FA交FA的延長線于M，過C作CN⊥AB交AB的延長線于N，∴∠M＝∠N＝90°，∠EAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAB＝90°，∴∠EAM=∠CAB∵四邊形ACDE、四邊形ABGF是正方形，∴AC=AE，AF＝AB，∴∠EAM≌△CAN，∴EM＝CN，∵AF＝AB，∴S△AEF＝AF?EM，S△ABC＝AB?CN＝8，∴S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，∴圖中陰影部分的面積＝3×8＝24，故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形判定和性質，正確的作輔助線是解題的關鍵．7．B解析：B【分析】由菱形的性質，得到AC⊥BD，，，然后利用勾股定理求出AB=5，即可求出周長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，，；在直角△ABO中，由勾股定理，得,∴菱形的周長為：；故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質，勾股定理的應用，解題的關鍵是掌握菱形的性質進行解題．8．A解析：A【分析】由折疊可得，，且，可得，，即可求對角線BD的長，則可求的面積．【詳解】如圖連結BD交AC于點O，∵ABCD為正方形，∴，AB=BC，，，，∵沿CE翻折，∴，，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查翻折變換、正方形的性質、勾股定理、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練應用所學知識解決問題．9．D解析：D【分析】先證得DE是△ABC的中位線，求出DE=8，及EF=6，再根據證得AC=2EF求出答案．【詳解】∵、分別是、的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=BC=8，∵，∴DF=2，EF=6，∵，AE=CE，∴AC=2EF=12，故選：D．【點睛】此題考查三角形中位線的判定及性質定理，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質，熟練掌握各定理并運用解決問題是解題的關鍵．10．B解析：B【分析】過中心作陰影另外兩邊的垂線可構建兩個全等三角形（ASA），由此可知陰影部分的面積是正方形的面積的，已知兩個正方形可得到一個陰影部分，則n個這樣的正方形重疊部分即為（n-1）個陰影部分的和，即可求解．【詳解】如圖作正方形邊的垂線，由ASA可知同正方形中兩三角形全等，利用割補法可知一個陰影部分面積等于正方形面積的，即是，n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為：．故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質．解題的關鍵是得到n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和的計算方法，難點是求得一個陰影部分的面積．11．B解析：B【分析】由正方形的性質，可判定△CDF≌△CBF，則BF=FD=BE=ED，故四邊形BEDF是菱形．【詳解】由正方形的性質知，∠ACD=∠ACB=45°，BC=CD，CF=CF，∴△CDF≌△CBF，∴BF=FD，同理，BE=ED，∴當BE=DF，有BF=FD=BE=ED，四邊形BEDF是菱形．故選B．【點睛】考查了菱形的判定，解題關鍵是靈活運用全等三角形的判定和性質，及菱形的判定.12．C解析：C【分析】首先連接AC，交BD于點O，連接CM，則CM與BD交于點P，此時PA+PM的值最小，由在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，易得△ACD是等邊三角形，BD垂直平分AC，繼而可得CM⊥AD，則可求得CM的值，繼而求得PA+PM的最小值．【詳解】解：連接AC，交BD于點O，連接CM，則CM與BD交于點P，此時PA+PM的值最小，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD=6，BD垂直平分AC，∴△ACD是等邊三角形，PA=PC，∵M為AD中點，∴DM=AD=3，CM⊥AD，∴CM==3，∴PA+PM=PC+PM=CM=3．故選C．【點睛】此題考查了最短路徑問題、等邊三角形的判定與性質、勾股定理以及菱形的性質．注意準確找到點P的位置是解此題的關鍵．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明二、填空題13．【分析】依題意得由從而可得同理繼而可得……依此規律作答【詳解】解：在正方形中同理∵∴∵……故答案為：【點睛】本題考查了正方形的性質全等三角形的性質及求三角形的面積等知識正確理解正方形的對角線把正方形解析：【分析】依題意，得，由，從而可得，同理，，，繼而可得，，，……，依此規律作答【詳解】解：在正方形中，，，，，，同理∵，∴，∵，，……，故答案為：【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質及求三角形的面積等知識，正確理解正方形的對角線把正方形分成面積相等的四個全等三角形是解題的關鍵14．【分析】先根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AB然后運用勾股定理解答即可【詳解】解：∵在Rt△ABC中∠ACB＝90°點D是斜邊AB的中點∴CD==3即AB=6∴AC=故答案為【點睛】本題解析：【分析】先根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AB，然后運用勾股定理解答即可．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是斜邊AB的中點∴CD==3,即AB=6∴AC=．故答案為．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質和勾股定理，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半成為解答本題的關鍵．15．25【分析】根據和諧矩形的性質求出∠ADB＝30°由含30°角的直角三角形的性質求出ABAD的長即可得出答案【詳解】解：∵四邊形ABCD是和諧矩形∴OA＝OCOB＝ODAC＝BD＝10∠BAD＝90解析：25【分析】根據“和諧矩形”的性質求出∠ADB＝30°，由含30°角的直角三角形的性質求出AB、AD的長，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是“和諧矩形”，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10，∠BAD＝90°，∠CAD：∠BAC＝1：2，∴OA＝OD，∠CAD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠ADB＝∠CAD＝30°，∴AB＝BD＝5，AD＝AB＝5，∴矩形ABCD的面積＝AB×AD＝5×5＝25（cm2）；故答案為：25．【點睛】本題考查了矩形的性質、新定義、等腰三角形的性質、含30°角的直角三角形的性質等知識；熟練掌握矩形的性質和含30°角的直角三角形的性質是解題的關鍵．16．【分析】先證四邊形BGDH為平行四邊形再證BG=BH然后由勾股定理求BＧ四邊形BGDH的周長=4BH即可【詳解】由題意得矩形矩形∴四邊形是平行四邊形∴平行四邊形的面積∴四邊形是菱形設則在中由勾股定理解析：【分析】先證四邊形BGDH為平行四邊形，再證BG=BH，然后由勾股定理求BＧ，四邊形BGDH的周長=4BH即可．【詳解】由題意得矩形矩形，，∴四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形的面積，，∴四邊形是菱形，．設，則．在中，由勾股定理得，解得，∴四邊形的周長．【點睛】本題考查四邊形的周長問題，關鍵是證四邊形BGDH為菱形，用勾股定理求BH，掌握矩形的性質，菱形的性質與判定，會用勾股定理解決問題．17．30°【分析】根據等腰三角形三線合一的性質得到∠AOD=90°證明△AOC是等邊三角形得到∠AOC從而計算出∠COD【詳解】解：∵CD是直角頂點∴∠ACB=∠ADB=90°又∵∠BAC=60°∠BA解析：30°【分析】根據等腰三角形三線合一的性質得到∠AOD=90°，證明△AOC是等邊三角形，得到∠AOC，從而計算出∠COD．【詳解】解：∵C、D是直角頂點，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵∠BAC=60°，∠BAD=45°，∴∠ABC=30°，∠ABD=45°，∴△ABD是等腰三角形，AC=AB，又∵O是AB中點，∴OD⊥AB，OC=OA=AB=AC，∠AOD=90°，∴△OAC是等邊三角形，∴∠AOC=60°，∴∠COD=30°，故答案為：30°．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，熟練掌握各性質定理是解題的關鍵．18．【分析】連接EF根據矩形的性質可得AB=CD=9∠B=∠C=∠D=90°根據折疊的性質可得=∠B=90°利用HL證出Rt△≌Rt△FCE從而求出即可求出AF最后利用勾股定理即可求出結論【詳解】解：連解析：【分析】連接EF，根據矩形的性質可得AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°，根據折疊的性質可得，，=∠B=90°，利用HL證出Rt△≌Rt△FCE，從而求出，即可求出AF，最后利用勾股定理即可求出結論．【詳解】解：連接EF，∵，，∴CD=CF＋DF=9∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°由折疊的性質可得，，=∠B=90°∴=90°=∠C∵點E為BC的中點∴BE=CE∴在Rt△和Rt△FCE中∴Rt△≌Rt△FCE∴∴AF=＋=13在Rt△AFD中，AD==12故答案為：12．【點睛】此題考查的是矩形與折疊問題，掌握矩形的性質、折疊的性質、利用HL判定兩個三角形全等和勾股定理是解題關鍵．19．3【分析】根據等腰三角形的性質得出EP=PD進而得出AD的長利用矩形的性質解答即可【詳解】解：過F點作FP⊥AD于P∵EF=DFFP⊥AD∴EP=PD∵FP⊥AD∴FP∥CD∵四邊形ABCD是矩形∴解析：3【分析】根據等腰三角形的性質得出EP=PD，進而得出AD的長，利用矩形的性質解答即可．【詳解】解：過F點作FP⊥AD于P，∵EF=DF，FP⊥AD，∴EP=PD，∵FP⊥AD，∴FP∥CD，∵四邊形ABCD是矩形，∴PD∥FC，∠PDC=90°，AD=BC，∴四邊形PFCD是矩形，∴FC=PD=1，∴ED=2PD=2，∵翻折后的BF恰好經過AD邊的中點E，∴AD=2AE=4，∴BC=4，∴BF=4-1=3，故答案為：3．【點睛】本題考查了折疊的性質：疊前后圖形的形狀和大小不變，對應邊和對應角相等．也考查了矩形的性質．20．55°【分析】先由矩形的對邊平行及平行線的性質知∠B′FC=∠2=70°再根據折疊的性質可得答案【詳解】∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠B′FC=∠2=70°∴∠1+∠B′FE=180°-∠B解析：55°【分析】先由矩形的對邊平行及平行線的性質知∠B′FC=∠2=70°，再根據折疊的性質可得答案．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠B′FC=∠2=70°，∴∠1+∠B′FE=180°-∠B′FC=110°，由折疊知∠1=∠B′FE，∴∠1=∠B′FE=55°，故答案為：55°．【點睛】本題主要考查折疊的性質和平行線的性質，解題的關鍵是掌握矩形的對邊平行、兩直線平行同位角相等性質．三、解答題21．（1）見解析；（2）△BEG，△ADG，△DFH,△ABH【分析】（1）根據菱形的性質可得∠B=∠D，AB=AD，再證明△ABE≌△ADF，得∠BAE=∠DAF，從而得出結論；（2）根據菱形的性質和∠ABC＝45°，得出∠ABD=22.5°，則3∠ABD=67.5°，找出含有67.5°的角的三角形即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=AD，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE=∠DAF．∴∠BAF＝∠DAE；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝45°，∴∠ABD=∠CBD=22.5°，∴3∠ABD=67.5°，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠BGE=67.5°，∵△ABE≌△ADF∴∠AFD=90°，∴△BEG只含有一個3∠ABD；同理可得：∠DHF=67.5°，△DFH只含有一個3∠ABD；∵四邊形ABCD是菱形，∴AD//BC，AB//CD∵AE⊥BC，∠AFD=90°，∴∠DAG=∠BAH=90°，∵∠DHF=∠AHB=67.5°，∠BGE=∠AGD=67.5°，∴△ADG只含有一個3∠ABD；△ABH只含有一個3∠ABD；【點睛】本題考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握菱形的性質．22．（1），；（2）成立．證明見解析；（3）【分析】（1）根據正方形的性質得到，，，即可證明，；（2）延長，與交于點，證明，得，，再由即可證明結論；（3）過點A作于點M，由，證明是等腰直角三角形，根據勾股定理求出AM和EM的長，再算出BM的長，即可得到BE的長．【詳解】解：（1）∵四邊形與均為正方形，∴，，∴，即，∵，∴，故答案是：，；（2）成立，如圖，延長，與交于點，∵四邊形與均為正方形，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴；（3）如圖，過點A作于點M，由（2）知，∵GE是正方形AEFG的對角線，∴，則是等腰直角三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案是：．【點睛】本題考查全等三角形的性質和判定，旋轉的性質，正方形的性質，解題的關鍵是熟練掌握這些性質定理進行證明求解．23．（1）見解析；（2）當點O運動到的中點時，四邊形是矩形，理由見解析；（3）滿足為直角時，四邊形是正方形，理由見解析．【分析】（1）由平行線的性質和角平分線的定義得出，，得出EO=CO，FO=CO，即可得出結論；（2）先證明四邊形AECF是平行四邊形，再由對角線相等，即可得出結論；（3）由，得出，當時，即可．【詳解】（1）證明：如圖，∵，∴．又∵平分，∴，∴，∴，同理，，∴．（2）解：當點O運動到的中點時，四邊形是矩形，證明如下：當點O運動到的中點時，．又∵，∴四邊形是平行四邊形，由（1）可知，，∴，∴，即，∴四邊形是矩形．（3）當點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠A