優(yōu)質(zhì)文檔精選信號與系統(tǒng)(周期信號傅里葉級數(shù))1現(xiàn)在是1頁\一共有45頁\編輯于星期六2本章內(nèi)容：Ⅰ.周期信號的頻域分析Ⅱ.LTI系統(tǒng)的頻域分析Ⅲ.傅立葉級數(shù)的性質(zhì)(不講解）現(xiàn)在是2頁\一共有45頁\編輯于星期六33.0

引言Introduction

時域分析方法的基礎：

信號在時域的分解。LTI系統(tǒng)滿足線性、時不變性。從分解信號的角度出發(fā)，基本信號單元必須滿足兩個要求：

1.本身簡單，且LTI系統(tǒng)對它的響應能簡便得到。

2.具有普遍性，能夠用以構成相當廣泛的信號。

現(xiàn)在是3頁\一共有45頁\編輯于星期六43.1歷史的回顧（AHistoricalPerspective）

任何科學理論,科學方法的建立都是經(jīng)過許多人不懈的努力而來的,其中有爭論,還有人為之獻出了生命。歷史的經(jīng)驗告訴我們,要想在科學的領域有所建樹，必須傾心盡力為之奮斗。今天我們將要學習的傅立葉分析法，也經(jīng)歷了曲折漫長的發(fā)展過程，剛剛發(fā)布這一理論時，有人反對，也有人認為不可思議。但在今天，這一分析方法在許多領域已發(fā)揮了巨大的作用。現(xiàn)在是4頁\一共有45頁\編輯于星期六51768年生于法國1807年提出“任何周期信號都可以用正弦函數(shù)的級數(shù)來表示”拉格朗日反對發(fā)表1822年首次發(fā)表“熱的分析理論”1829年狄里赫利第一個給出收斂條件傅里葉生平1768—1830現(xiàn)在是5頁\一共有45頁\編輯于星期六6傅里葉的兩個最重要的貢獻——“周期信號都可以表示為成諧波關系的正弦信號的加權和”——傅里葉的第一個主要論點“非周期信號都可以用正弦信號的加權積分來表示”——傅里葉的第二個主要論點現(xiàn)在是6頁\一共有45頁\編輯于星期六7復指數(shù)函數(shù)、是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。、分別是LTI系統(tǒng)與復指數(shù)信號相對應的特征值。Page128結論：只有復指數(shù)函數(shù)才能成為一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。

對時域的任何一個信號或者,若能將其表示為下列形式：現(xiàn)在是7頁\一共有45頁\編輯于星期六8利用系統(tǒng)的齊次性與疊加性所以有即：同理：*問題：究竟有多大范圍的信號可以用復指數(shù)信號的線性組合來表示？由于Page130：例3.1現(xiàn)在是8頁\一共有45頁\編輯于星期六9FourierSeriesRepresentationofContinuous-TimePeriodicSignals一.連續(xù)時間傅里葉級數(shù)

成諧波關系的復指數(shù)信號集:其中每個信號都是以為周期的，它們的公共周期為，且該集合中所有的信號都是彼此獨立的。3.3連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示如果將該信號集中所有的信號線性組合起來，有現(xiàn)在是9頁\一共有45頁\編輯于星期六10

顯然也是以為周期的。該級數(shù)就是傅里葉級數(shù)(指數(shù)型的），為傅立葉級數(shù)的系數(shù)。這表明用傅里葉級數(shù)可以表示連續(xù)時間周期信號，即:連續(xù)時間周期信號可以分解成無數(shù)多個復指數(shù)諧波分量。例1：現(xiàn)在是10頁\一共有45頁\編輯于星期六11例2：在該信號中，有四個諧波分量，即

顯然該信號中，有兩個諧波分量，為相應分量的加權因子。

時對應的諧波分量。*例3Page1313.2傅里葉級數(shù)表明：連續(xù)時間周期信號可以按傅立葉級數(shù)被分解成無數(shù)多個復指數(shù)諧波分量的線性組合?，F(xiàn)在是11頁\一共有45頁\編輯于星期六12二.頻譜（Spectral）的概念

信號集中的每一個信號，除了成諧波關系外，每個信號隨時間的變化規(guī)律都是一樣的，差別僅僅是頻率不同。在傅里葉級數(shù)中，各個信號分量（諧波分量）間的區(qū)別也僅僅是幅度（可以是復數(shù)）和頻率不同。因此，可以用一根線段來表示某個分量的幅度，用線段的位置表示相應的頻率?，F(xiàn)在是12頁\一共有45頁\編輯于星期六13分量

可表示為

因此，當把周期信號

表示為傅里葉級數(shù)

時，就可以將

表示為這樣繪出的圖稱為頻譜圖現(xiàn)在是13頁\一共有45頁\編輯于星期六14

頻譜圖其實就是將隨頻率的分布表示出來，即關系。由于信號的頻譜完全代表了信號，研究它的頻譜就等于研究信號本身。因此，這種表示信號的方法稱為頻域表示法。三.傅里葉級數(shù)的其它形式

或

若是實信號,則有，于是現(xiàn)在是14頁\一共有45頁\編輯于星期六15若令則為實數(shù)即：表明的模關于偶對稱，幅角關于奇對稱?，F(xiàn)在是15頁\一共有45頁\編輯于星期六16

——傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)表示式

若令則現(xiàn)在是16頁\一共有45頁\編輯于星期六17因此即的實部關于偶對稱，虛部關于奇對稱。

——傅里葉級數(shù)的另一種三角函數(shù)形式將此關系代入，可得到現(xiàn)在是17頁\一共有45頁\編輯于星期六18四.連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的系數(shù)確定如果周期信號可以表示為傅里葉級數(shù)則有對兩邊同時在一個周期內(nèi)積分，有綜合公式現(xiàn)在是18頁\一共有45頁\編輯于星期六19即

在確定此積分時，只要積分區(qū)間是一個周期即可，對積分區(qū)間的起止并無特別要求，因此可表示為是信號在一個周期的平均值，通常稱直流分量。分析公式*Page134:現(xiàn)在是19頁\一共有45頁\編輯于星期六20五.周期性矩形脈沖信號的頻譜其中*Page135：例3.3、3.4現(xiàn)在是20頁\一共有45頁\編輯于星期六21根據(jù)可繪出的頻譜圖。稱為占空比,即的值，它代表一個周期內(nèi)信號為1時所占的比例?，F(xiàn)在是21頁\一共有45頁\編輯于星期六22不變時現(xiàn)在是22頁\一共有45頁\編輯于星期六23不變時現(xiàn)在是23頁\一共有45頁\編輯于星期六24周期性矩形脈沖信號的頻譜特征：

1.離散性2.諧波性3.收斂性考查周期和脈沖寬度改變時頻譜的變化：當不變，改變時，隨使占空比減小，譜線間隔變小，幅度下降。但頻譜包絡的形狀不變，包絡主瓣內(nèi)包含的諧波分量數(shù)增加。2.

當改變，不變時，隨使占空比減小，譜線間隔不變，幅度下降。頻譜的包絡改變，包絡主瓣變寬。主瓣內(nèi)包含的諧波數(shù)量也增加?，F(xiàn)在是24頁\一共有45頁\編輯于星期六25表明：奇信號的是關于的奇函數(shù)、虛函數(shù)。當時，有表明：偶信號的是關于的偶函數(shù)、實函數(shù)。當時，有信號對稱性與頻譜的關系：現(xiàn)在是25頁\一共有45頁\編輯于星期六26若以為周期3.4連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的收斂

這一節(jié)來研究用傅氏級數(shù)表示周期信號的普遍性問題，即滿足什么條件的周期信號可以表示為傅里葉級數(shù)。一.傅里葉級數(shù)是對信號的最佳近似用有限個諧波分量近似時，有ConvergenceoftheFourierseries現(xiàn)在是26頁\一共有45頁\編輯于星期六27誤差為

以均方誤差作為衡量誤差的準則，其均方誤差為于是：現(xiàn)在是27頁\一共有45頁\編輯于星期六28

在均方誤差最小的準則下，可以證明，此時應滿足：其中這就是傅氏級數(shù)的系數(shù)結論：在均方誤差最小的準則下，傅里葉級數(shù)是對周期信號的最佳近似。現(xiàn)在是28頁\一共有45頁\編輯于星期六29傅里葉級數(shù)收斂的兩層含義：是否存在?

級數(shù)是否收斂于?二.傅里葉級數(shù)的收斂

兩組條件：

1.平方可積條件：如果

則

必存在。

能量有限一定存在?，F(xiàn)在是29頁\一共有45頁\編輯于星期六302.Dirichlet條件：，在任何周期內(nèi)信號絕對可積。在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個極值點，且極值為有限值。在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個第一類間斷點。因此，信號絕對可積就保證了的存在。若x0是函數(shù)f(x)的間斷點，但左、右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間斷點和震蕩間斷點)。現(xiàn)在是30頁\一共有45頁\編輯于星期六31

這兩組條件并不完全等價。它們都是傅里葉級數(shù)收斂的充分條件。相當廣泛的信號都能滿足這兩組條件中的一組，因而用傅里葉級數(shù)表示周期信號具有相當?shù)钠毡檫m用性。幾個不滿足Dirichlet條件的信號現(xiàn)在是31頁\一共有45頁\編輯于星期六32三.Gibbs現(xiàn)象

滿足Dirichlet條件的信號，其傅里葉級數(shù)是如何收斂于的。特別當具有間斷點時，在間斷點附近，如何收斂于?現(xiàn)在是32頁\一共有45頁\編輯于星期六33現(xiàn)在是33頁\一共有45頁\編輯于星期六34現(xiàn)在是34頁\一共有45頁\編輯于星期六35

用有限項傅里葉級數(shù)表示有間斷點的信號時，在間斷點附近會不可避免的出現(xiàn)振蕩和超量。超量的幅度不會隨所取項數(shù)的增加而減小。只是隨著項數(shù)的增多，振蕩頻率變高，并向間斷點處壓縮，從而使它所占有的能量減少。Gibbs現(xiàn)象表明：現(xiàn)在是35頁\一共有45頁\編輯于星期六36PropertiesofContinuous-TimeFourierSeries3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)

學習這些性質(zhì)，有助于對概念的理解和對信號進行級數(shù)展開。一.線性：若和都是以為周期的信號，且則現(xiàn)在是36頁\一共有45頁\編輯于星期六37二.時移:三.反轉:若是以為周期的信號，且則若是以為周期的信號，且則四.尺度變換:若是以為周期的信號，且則以為周期，于是現(xiàn)在是37頁\一共有45頁\編輯于星期六38令，當在變化時，從變化，于是有：五.相乘:若和都是以為周期的信號，且則也即現(xiàn)在是38頁\一共有45頁\編輯于星期六39六.共軛對稱性:若是以為周期的信號，且則由此可推得，對實信號有：或時有：現(xiàn)在是39頁\一共有45頁\編輯于星期六40七.Parseval

定理：表明：一個周期信號的平均功率就等于它所有諧波分量的平均功率之和.*掌握表3.1時有：對實信號，當時，（實偶函數(shù)）當時，（虛奇函數(shù)）現(xiàn)在是40頁\一共有45頁\編輯于星期六41例1：-T1T0……10……-T．．T例2：周期性矩形脈沖將其微分后可利用例1表示為Page147：例3.6、3.8現(xiàn)在是41頁\一共有45頁\編輯于星期六4210……設由時域微分性質(zhì)有由例1知根據(jù)時移特性，有現(xiàn)在是42頁\一共有45頁\編輯于星期六43稱、為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。FourierSeriesandLTISystems

LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號所起的作用只是給輸入信號加權了一個相應的特征值。對連續(xù)時間系