第十六講：圖形問題4【學習目標】基礎目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質，特殊四邊形的性質；應用目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線中四邊形的幾何特征，以及幾何特征的代數轉換；拓展目標：能夠熟練應用菱形，矩形，正方形的向量表示，并在平行四邊形的基礎上，增加相關的垂直的向量或斜率表示.素養目標：通過數形結合，轉化與化歸等思想方法，培養獨立思考和邏輯分析能力，提升學生的數學運算和數學抽象的核心素養.【基礎知識】1、菱形=1\*GB3①一組鄰邊相等的平行四邊形，是菱形，即可以翻譯成等腰三角形，三線合一進行計算.=2\*GB3②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可以翻譯用向量或斜率表示的直角關系.2、矩形=1\*GB3①有一個角是直角的平行四邊形，是矩形，即可以翻譯成直角三角形，用向量和斜率進行直角關系的表示.=2\*GB3②對角線相等的平行四邊形，是矩形，即可以翻譯成兩條弦長相等，利用弦長公式求解.3、正方形即滿足菱形的要求，又滿足矩形的要求進行求解.【考點剖析】考點一：菱形例1．已知橢圓C：，，，，這四點中恰有三點在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)點E是橢圓C上的一個動點，求面積的最大值；(3)過的直線l交橢圓C于A、B兩點，設直線l的斜率，在x軸上是否存在一點，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）因為，關于軸對稱，根據題意以及橢圓的對稱性可知，兩點都在橢圓上，即有成立.若在橢圓上，則有.聯立可得，，不合題意，舍去.所以，在橢圓上，即有，所以，代入，可得.所以，橢圓C的方程為.（2）要使面積最大，則應有點E到直線的距離最大.由，，可得直線方程為.過點作直線，使得，則到直線的距離即等于直線到直線的距離.顯然，當直線與橢圓相切時，距離為最大或最小.則設直線方程為，聯立直線與橢圓的方程可得，.因為，直線與橢圓相切，則，解得，.則當時，此時直線方程為，與直線距離最大，此時.又，所以面積的最大值為.（3）設，，假設在x軸上存在一點，使得、為鄰邊的平行四邊形為菱形.因為直線過點，則直線的方程為，聯立直線的方程與橢圓的方程可得，，恒成立，且，，，，所以，則的中點坐標為，所以線段的垂直平分線方程為，顯然該直線過點.令，則，即.因為，所以，當且僅當時，即時，等號成立.所以，，所以，則，所以.即實數m的取值范圍為.變式訓練1．設橢圓：的左、右焦點分別為，，橢圓的離心率為，連接橢圓的四個頂點得到菱形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于、兩點，在軸上是否存在點使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【詳解】（1）∵橢圓離心率為，連接橢圓的四個頂點的菱形面積為.∴，∴，，，故橢圓的方程為：.（2），設直線的方程為，將代入，得：，設，，則，，，因為以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，所以，又，∴，當時，，上式恒成立，當時，，若，則，當且僅當時取等號，所以；若，則，當且僅當時取等號，所以，綜上，的取值范圍為.變式訓練2．已知拋物線：的頂點為O，焦點為F，準線為l，過點F的直線與拋物線交于點A、B，且．(1)求拋物線的標準方程；(2)過拋物線上一點P（非原點）作拋物線的切線，與x軸、y軸分別交于點M、N，，垂足為H，求證：四邊形PFNH為菱形，【答案】(1)；(2)證明見解析．【詳解】(1)設直線方程為，，由，得，所以，，，解得，所以拋物線方程為；(2)焦點為，準線方程是，設，則，，由，即，，所以，切線方程為，令得，因此，又，所以是平行四邊形，而，所以四邊形是菱形．變式訓練3．在平面直角坐標系中，雙曲線的左、右兩個焦點為、，動點P滿足．(1)求動點P的軌跡E的方程；(2)設過且不垂直于坐標軸的動直線l交軌跡E于A、B兩點，問：線段上是否存在一點D，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，請給出證明：若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，理由見解析.【詳解】(1)由題意得：，所以，，而，故動點P的軌跡E的方程為以點、為焦點的橢圓方程，由得：，，所以動點P的軌跡E的方程為；(2)存在，理由如下：顯然，直線l的斜率存在，設為，聯立橢圓方程得：，設，，則，，要想以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，則點D為AB垂直平分線上一點，其中，，則，故AB的中點坐標為，則AB的垂直平分線為：，令得：，且無論為何值，，點D在線段上，滿足題意.考點二：矩形例1．從拋物線C：（）外一點作該拋物線的兩條切線PA、PB（切點分別為A、B），分別與x軸相交于C、D，若AB與y軸相交于點Q，點在拋物線C上，且（F為拋物線的焦點）.（1）求拋物線C的方程；（2）①求證：四邊形是平行四邊形.②四邊形能否為矩形？若能，求出點Q的坐標；若不能，請說明理由.【答案】（1）；（2）①證明見解析；②能，.【詳解】（1）因為，所以，即拋物線C的方程是.（2）①證明：由得，.設，，則直線PA的方程為（?。?，則直線PB的方程為（ⅱ），由（?。┖停áⅲ┙獾茫?，，所以.設點，則直線AB的方程為.由得，則，，所以，所以線段PQ被x軸平分，即被線段CD平分.在①中，令解得，所以，同理得，所以線段CD的中點坐標為，即，又因為直線PQ的方程為，所以線段CD的中點在直線PQ上，即線段CD被線段PQ平分.因此，四邊形是平行四邊形.②由①知，四邊形是平行四邊形.若四邊形是矩形，則，即，解得，故當點Q為，即為拋物線的焦點時，四邊形是矩形.變式訓練1．已知拋物線，為坐標原點，過焦點的直線與拋物線交于不同兩點.(1)記和的面積分別為，若，求直線的方程；(2)判斷在軸上是否存在點，使得四邊形為矩形，并說明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由見詳解.【詳解】（1）設直線方程為，聯立，消去得，得①，②，又因為，則③由①②③解得，即直線的方程為，即（2）假設存在點，使得四邊形為矩形，則互相平分所以線段的中點在上，則軸，此時則不成立.故在軸上不存在點，使得四邊形為矩形變式訓練2．已知拋物線，過點的動直線與相交于兩點，拋物線在點和點處的切線相交于點，直線與軸分別相交于點.（1）寫出拋物線的焦點坐標和準線方程；（2）求證：點在直線上；（3）判斷是否存在點，使得四邊形為矩形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1）焦點坐標為準線方程為（2）證明見解析（3）【詳解】（1）焦點坐標為準線方程為；（2）由題意，知直線的斜率存在，故設的方程為，由方程組得，由題意，得，設，則，由導數幾何意義得切線斜率，所以拋物線在點處的切線方程為，化簡，得…①同理，拋物線在點處的切線方程…②聯立方程①②，得即，，代入①，得，所以點，即，所以點在直線上；（3）假設存在點，使得四邊形為矩形，由四邊形為矩形，得，即，所以即由（2）得解得，所以；以下只要驗證此時的四邊形為平行四邊形即可，在①中，令，得，同理得，所以直線的斜率為，直線的斜率為，所以，即，同理，所以四邊形為平行四邊形.∴存在點，使得四邊形為矩形.變式訓練3．已知橢圓C：的左、右頂點分別為A，B，點M是橢圓C的上頂點，且，．(1)求橢圓C的方程；(2)已知，其中O為坐標原點，過點D的直線與橢圓C交于E，G兩點，點H在橢圓C上，探究：是否存在直線，使得四邊形OEHG為矩形，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）由于,分別為橢圓的左右頂點以及上頂點，所以，，又，解得：，所以橢圓方程為：（2）由得，即，當直線無斜率時，即直線方程為：，若四邊形OEHG為矩形，由橢圓的對稱性可知：,則四邊形OEHG為正方形，則，即此時將點代入橢圓方程中得，故四邊形OEHG不能構成矩形，不滿足題意，當直線有斜率時，則設方程為：，聯立，設，所以，設的中點為，則，即若四邊形OEHG為矩形，則也是的中點，因此,即,故在橢圓上，故，化簡得：，顯然方程無解，故四邊形OEHG不能構成矩形，綜上可知：不存在直線，使得四邊形OEHG構成矩形，考點三：正方形例1．已知點是橢圓E：一點，且橢圓的離心率為.(1)求此橢圓E方程；(2)設橢圓的左頂點為A，過點A向上作一射線交橢圓E于點B，以AB為邊作矩形ABCD，使得對邊CD經過橢圓中心O.（i）求矩形ABCD面積的最大值；（ii）問：矩形ABCD能否為正方形？若能，求出直線AB的方程；若不能，請說明理由.【答案】(1)；(2)(i)；(ii).【詳解】(1)令橢圓半焦距為c，依題意，，解得，所以橢圓E的方程為：.(2)(i)由(1)知，，設直線AB的斜率為，則直線AB的方程為：，由消去y并整理得：，點的橫坐標，則點的橫坐標有：，解得，則有，因矩形的邊CD過原點O，則，因此，矩形的面積，當且僅當，即時取“=”，所以矩形ABCD面積的最大值是.(ii)假定矩形ABCD能成為正方形，則，由(i)知：，整理得：，即，而，解得，所以矩形ABCD能成為正方形，此時，直線AB的方程為.變式訓練1．已知橢圓：（）的左頂點為，上頂點為，直線的斜率為，坐標原點到直線的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)已知正方形的頂點、在橢圓上，頂點、在直線上，求該正方形的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，得，解得，即橢圓的方程為.（2）因為是正方形，所以對角線.設直線為，聯立，得，由得，.設，，則，，.所以的中點的坐標為，由于正方形的對角線平分，所以點在直線上，即有，解得.所以.故正方形的面積為.變式訓練2．已知橢圓過點，且離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)設直線與橢圓交于、兩點，以為對角線作正方形，記直線與軸的交點為，問、兩點間距離是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設橢圓的半焦距為，顯然點在橢圓上，即，橢圓的離心率，解得，所以橢圓的方程為:．（2）設，，由消去y并整理得:，由，可得，則有，，弦中點為，有，又直線與軸的交點，則，當時，正方形ABCD中，，則有，，當時，點M，N重合于原點O，，所以、兩點間距離為定值．變式訓練3．已知A，B，C是拋物線W：上的三個點，D是x軸上一點.（1）當點B是W的頂點，且四邊形ABCD為正方形時，求此正方形的面積；（2）當點B不是W的頂點時，判斷四邊形ABCD是否可能為正方形，并說明理由.【答案】（1）32；（2）不可能，理由見解析.【詳解】（1）當點是的頂點時，設與相交于點，則，假設點在軸上方，則的坐標為，代入拋物線方程得，此時正方形的邊長為，所以正方形的面積為．（2）四邊形不可能為正方形．當點不是的頂點時，直線的斜率一定存在，設其方程為，、坐標分別為，，，，聯立，則，所以，，因此，的中點的坐標為，，若四邊形為正方形，則的中點也是，，因為點在軸上，所以，所以，代入，得，即，所以，化簡得，①，因為，所以，化簡得，②由①②得，，無解，故四邊形不可能為正方形．【當堂小結】1、知識清單：（1）橢圓，雙曲線，拋物線簡單性質；（2）圓錐曲線中，特殊四邊形翻譯，即菱形，矩形和正方形的向量，斜率表示；2、易錯點：簡單性質的計算，特殊圖形的向量的應用；3、考查方法：數形結合思想，數與形的轉化；4、核心素養：數學運算，數學抽象.【過關檢測】1．已知動點C是橢圓：上的任意一點，是圓G：的一條直徑（A，B是端點），的最大值是.（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓的左、右焦點分別為點，過點且與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點.在線段上是否存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【詳解】（1）設點C的坐標為，則，由，又，可得，其中.因為，故當，即時，取，得有最大值，與條件矛盾；當，即時，的最大值是，由條件得，即，解得或（舍去）.綜上所述，橢圓的方程是.（2）設點的中點坐標為，則滿足，兩式相減，整理得，從而直線的方程為，又右焦點的坐標是，將點的坐標代入的方程得，因為直線l與x軸不垂直，故，從而.假設在線段上存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，則線段的垂直平分線必過點M，而線段的垂直平分線方程是，將點代入得，得，從而.2．已知橢圓：的左、右焦點分別為點，，其離心率為，短軸長為.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）過點的直線與橢圓交于，兩點，過點的直線與橢圓交于，兩點，且，證明：四邊形不可能是菱形.【答案】（1）；（2）見解析.【詳解】（1）由已知，得，，又，故解得，所以橢圓的標準方程為.（2）由（1），知，如圖，易知直線不能平行于軸.所以令直線的方程為，，.聯立方程，得，所以，.此時，同理，令直線的方程為，，，此時，，此時.故.所以四邊形是平行四邊形.若是菱形，則，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述關于的方程顯然沒有實數解，故四邊形不可能是菱形.3．已知橢圓的左、右頂點分別為，，上、下頂點分別為，，四邊形的面積為，坐標原點到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓上一點作兩條直線分別與橢圓相交于點，（異于點），試判斷以和為對角線的四邊形是否為菱形?若是，求出直線的方程；若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）四邊形能為菱形，此時直線的方程為，或.【詳解】解：（1）直線的方程為.由題意可得解得所以橢圓的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，若平行四邊形為菱形，則為左頂點或右頂點，此時直線的方程為.當直線的斜率為0時，若四邊形為菱形，則點為上頂點或下頂點，此時的方程為.當直線的斜率存在時，設，，，聯立可得，則，所以，，.若四邊形為菱形，所以，所以點.所以直線的斜率.所以，這與矛盾.所以四邊形不能是菱形.綜上，四邊形能為菱形，此時直線的方程為，或.4．已知過橢圓方程右焦點、斜率為的直線交橢圓于、兩點.（1）求橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點構成的四邊形的面積；（2）當直線的斜率為1時，求的面積；（3）在線段上是否存在點，使得以、為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.【答案】（1）2；（2）；（3）存在，.【詳解】（1）由橢圓方程得，則，所以橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點構成的四邊形的面積；（2）右焦點，直線的方程為，設，，由得，解得，所以；（3）假設在線段上是否存在點，使得以、為鄰邊的平行四邊形是菱形，因為直線與軸不垂直，所以設直線的方程為，由，可得，所以，設中點為，則，，即，，整理得，關于的方程有解，所以，.所以滿足條件的點存在，且的取值范圍是.5．已知拋物線的焦點為F，準線為l.設過點F且不與x軸平行的直線m與拋物線C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，過M作直線垂直于l，垂足為N，直線MN與拋物線C交于點P.（1）求證：點P是線段MN的中點.（2）若拋物線C在點P處的切線與y軸交于點Q，問是否存在直線m，使得四邊形MPQF是有一個內角為的菱形？若存在，請求出直線m的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，或.【詳解】（1）證明：由題意知直線m的斜率存在且不為0，故設直線m的方程為，代入，并整理得.所以，設，，則，.設，則，，即.由，得，所以MN中點的坐標為.將代入，解得，則，所以點P是MN的中點.（2）由，得，則，所以拋物線C在點的切線PQ的斜率為k，又由直線m的斜率為k，可得；又軸，所以四邊形MPQF為平行四邊形.而，，由，得，解得，即當時，四邊形MPQF為菱形，且此時，所以，直線m的方程為，即或，所以存在直線m，使得四邊形MPQF是有一個內角為的菱形.6．如圖，已知點，拋物線的焦點是，A，B是拋物線上兩點，四邊形是矩形．(1)求拋物線的方程；(2)求矩形的面積．【答案】(1)(2)8【詳解】（1）因為拋物線的焦點是，所以，解得，所以拋物線的方程為；（2）設，，因為四邊形FAPB是矩形，所以，且，即，，且．所以，，且．所以．解得，，由拋物線的定義得：，所以矩形的面積為：，．所以矩形的面積為8．7．已知拋物線C：，過點的動直線l與C交于兩點，拋物線C在點A和點B處的切線相交于點Q，直線與x軸分別相交于點.（1）寫出拋物線C的焦點坐標和準線方程；（2）求證：點Q在直線上；（3）判斷是否存在點P，使得四邊形為矩形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）存在，點.【詳解】（1）拋物線C：的焦點坐標為，準線方程為.（2）由題意，知直線l的斜率存在，故設l的方程為.由方程組得.由題意，得.設，，則，.由可得：，所以.所以拋物線在點處的切線方程為，化簡，得①.同理，拋物線在點處的切線方程為②.聯立方程①②，得，因為，解得：，代入①，得，所以點，即.所以點Q在直線上.（3）假設存在點P，使得四邊形為矩形，由四邊形為矩形，得，即，所以，即.由（2），得，解得.所以.以下只要驗證此時的四邊形為平行四邊形即可.在①中，令，得.同理得.所以直線的斜率為，直線的斜率，所以，即.同理.所以四邊形為平行四邊形.綜上所述，存在點，使得四邊形為矩形.8．已知橢圓過點，過其右焦點F且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點，且．(1)求橢圓C的方程；(2)若矩形滿足各邊均與橢圓C相切，求該矩形面積的最大值，并說明理由．【答案】(1)(2)14，理由見解析【詳解】（1）因為過橢圓的右焦點F且垂直于x軸直線交橢圓于A，B兩點，，所以橢圓過點，又橢圓過點，有，變形，得代入②，得，即，，解得，則，所以橢圓的方程為；（2）①當MN的斜率為0時，，，此時，②當MN的斜率不存在時，，，此時，③當MN的斜率存在且不為0時，設直線：，直線：，，聯立消去y得，，化簡得，同理可得，所以兩平行線MN和PQ的距離，以代替k，可得兩平行線MQ和NP的距離，所以矩形MNPQ的對角線，根據基本不等式，當且僅當，即時等號成立，因為所以矩形MNPQ面積的最大值為.9．如圖，橢圓的左?右焦點分別為?，過右焦點與x軸垂直的直線交橢圓于M?N兩點，動點P?Q分別在直線MN與橢圓C上.已知，的周長為.(1)求橢圓C的方程；(2)若線段PQ的中點在y軸上，求三角形的面積；(3)是否存在以?為鄰邊的矩形，使得點E在橢圓C上？若存在，求出所有滿足條件的點Q的橫坐標；若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)；(3)存在，且點坐標為,.【詳解】(1)由已知，所以，，從而，橢圓方程為；(2)顯然，線段PQ的中點在y軸上，則，軸，，，所以；(3)假設存在以?為鄰邊的矩形，使得點E在橢圓C上，