試卷第=page44頁，總=sectionpages11頁試卷第=page33頁，總=sectionpages11頁2014-2015學年度???學校1月月考卷試卷副標題1．（本題滿分10分）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與點A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）當BC=1時，求線段OD的長；（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；【答案】①；②存在，【解析】試題分析：（1）如圖（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如圖（2），存在，DE是不變的．連接AB，則AB==2，∵D和E分別是線段BC和AC的中點，∴DE=AB=；（3）如圖（3），連接OC，∵BD=x，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，過D作DF⊥OE．∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，∴OE=OF+EF=+=∴y=DF?OE=??=（0＜x＜）考點:1.垂徑定理；2.勾股定理；3.三角形中位線定理2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E．（1）求證：AB=AC；（2）如果∠ABC=60°，⊙O的半徑為1，且P為的中點，求AD的長．【答案】（1）證明見試題解析；（2）3．【解析】試題分析：（1）根據AB2=AP?AD，可以連接BP，構造相似三角形．根據相似三角形的性質得到∠APB=∠ABD，再根據圓周角定理得到∠APB=∠ACB，即∠ABC=∠ACB，從而由等角對等邊證明結論；（2）因為有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，發現等邊三角形ABC，再根據點P為弧的中點，連接BP，發現30°的直角三角形，且BP是直徑，從而求得AP的長，AB的長．再根據已知中的條件求得AD的長．試題解析：（1）連接BP，∵AB2=AP?AD，∴，又∵∠BAD=∠PAB，∴△ABD∽△APB，∵∠ABC=∠APB，∠APB=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（2）由（1）知AB=AC，∵∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，∵P為的中點，∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°，∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°，∴BP為直徑，∴BP過圓心O，∴BP=2，∴AP=BP=1，∴，∵AB2=AP?AD，∴AD==3．考點：1．圓周角定理；2．相似三角形的判定與性質．4．如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，且滿足，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于D點，交AF的延長線于E點．（1）求證：AE⊥DE；（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的長．【答案】(1)證明見解析；（2）2．【解析】試題分析：（1）首先連接OC，由OC=OA，，易證得OC∥AE，又由DE切⊙O于點C，易證得AE⊥DE；（2）由AB是⊙O的直徑，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC為直角三角形，根據AE=3求得AC的長，然后連接OF，可得△OAF為等邊三角形，知AF=OA=AB，在△ACB中，利用已知條件求得答案．試題解析：（1）證明：連接OC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∵∴∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AE，∵DE切⊙O于點C，∴OC⊥DE，∴AE⊥DE；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA=60°，∴∠BAC=∠EAC=30°，∵△AEC為直角三角形，AE=3，∴AC=2，連接OF，∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，∴△OAF為等邊三角形，∴AF=OA=AB，在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，∴BC=2，∴AB=4，∴AF=2．考點：切線的性質．5．（1）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求的度數．（2）如圖②，在Rt△ABD中，，，點M，N是BD邊上的任意兩點，且，將△ABM繞點A逆時針旋轉至△ADH位置，連接，試判斷MN，ND，DH之間的數量關系，并說明理由．（3）在圖①中，連接BD分別交AE，AF于點M，N，若，，，求AG，MN的長．【答案】（1）45°．（2）MN2=ND2+DH2．理由見解析；（3）5.【解析】試題分析：（1）根據高AG與正方形的邊長相等，證明三角形全等，進而證明角相等，從而求出解．（2）用三角形全等和正方形的對角線平分每一組對角的知識可證明結論．（3）設出線段的長，結合方程思想，用數形結合得到結果．試題解析：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．∴∠BAE=∠GAE．同理，∠GAF=∠DAF．∴∠EAF=∠BAD=45°．（2）MN2=ND2+DH2．∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．∴∠HAN=∠MAN．又∵AM=AH，AN=AN，∴△AMN≌△AHN．∴MN=HN．∵∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°．∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．∴NH2=ND2+DH2．∴MN2=ND2+DH2．（3）由（1）知，BE=EG，DF=FG．設AG=x，則CE=x-4，CF=x-6．在Rt△CEF中，∵CE2+CF2=EF2，∴（x-4）2+（x-6）2=102．解這個方程，得x1=12，x2=-2（舍去負根）．即AG=12．（8分）在Rt△ABD中，∴BD=．在