專題32圓的有關概念和性質考點1：垂徑定理1．（2021·四川廣安市·中考真題）如圖，公園內有一個半徑為18米的圓形草坪，從地走到地有觀賞路（劣弧）和便民路（線段）.已知、是圓上的點，為圓心，，小強從走到，走便民路比走觀賞路少走（）米.A． B．C． D．【答案】D【分析】作OC⊥AB于C，如圖，根據垂徑定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性質和三角形內角和計算出∠A，從而得到OC和AC，可得AB，然后利用弧長公式計算出的長，最后求它們的差即可．【詳解】解：作OC⊥AB于C，如圖，則AC=BC，∵OA=OB，∴∠A=∠B=（180°-∠AOB）=30°，在Rt△AOC中，OC=OA=9，AC=，∴AB=2AC=，又∵=，∴走便民路比走觀賞路少走米，故選D．2．（2021·浙江麗水市·中考真題）如圖，是的直徑，弦于點E，連結．若的半徑為，則下列結論一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據垂徑定理、銳角三角函數的定義進行判斷即可解答．【詳解】解：∵是的直徑，弦于點E，∴在中，，∴∴，故選項A錯誤，不符合題意；又∴∴，故選項B正確，符合題意；又∴∵∴，故選項C錯誤，不符合題意；∵，∴，故選項D錯誤，不符合題意；故選B．3．（2021·四川南充市·中考真題）如圖，AB是的直徑，弦于點E，，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接OD，根據垂徑定理得CD=2DE，從而得是等腰直角三角形，根據圓周角定理即可求解．【詳解】解：連接OD，∵AB是的直徑，弦于點E，∴CD=2DE，∵，∴DE=OE，∴是等腰直角三角形，即∠BOD=45°，∴=∠BOD=22.5°，故選B．4．（2021·湖北黃岡市·中考真題）如圖，是的外接圓，交于點E，垂足為點D，，的延長線交于點F．若，，則的長是（）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】A【分析】先根據垂徑定理可得，再利用勾股定理可得，然后根據三角形中位線定理即可得．【詳解】解：，，，，，，，，又，是的中位線，，故選：A．5．（2021·青海西寧·中考真題）如圖，是的直徑，弦于點E，，，則的半徑_______．【答案】【分析】設半徑為r，則，得到，由垂徑定理得到，再根據勾股定理，即可求出答案．【詳解】解：由題意，設半徑為r，則，∵，∴，∵是的直徑，弦于點E，∴點E是CD的中點，∵，∴，在直角△OCE中，由勾股定理得，即，解得：．故答案為：．6．（2021·貴州黔東南·中考真題）小明很喜歡鉆研問題，一次數學楊老師拿來一個殘缺的圓形瓦片（如圖所示）讓小明求瓦片所在園的半徑，小明連接瓦片弧線兩端AB，量的弧AB的中心C到AB的距離CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圓形瓦片所在園的半徑為_________cm．【答案】4【分析】圓的兩弦的中垂線的交點，就是圓心；連接AC，作AC的中垂線，與直線CD的交點就是圓心，已知圓心即可作出圓；連接圓心與A，根據勾股定理即可求得半徑．【詳解】如圖，連接OA，∵CD是弦AB的垂直平分線，∴，設圓的半徑是r．在直角△ADO中，．根據勾股定理得，，∴故答案為：4考點2：弧、弦、圓心角、圓周角的關系定理7．（2021·浙江紹興市·中考真題）如圖，正方形ABCD內接于，點P在上，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接OB，OC，由正方形ABCD的性質得，再根據圓周角與圓心角的關系即可得出結論．【詳解】解：連接OB，OC，如圖，∵正方形ABCD內接于，∴∴故選：B．8．（2021·廣西來賓市·中考真題）如圖，的半徑為，于點，，則的長是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據圓周角定理求出∠COB的度數，再求出∠OBD的度數，根據“30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半”求出OD的長度．【詳解】∵∠BAC=30°，∴∠COB=60°，∵∠ODB=90°，∴∠OBD=30°，∵OB=4，∴OD=OB==2．故選：C．9．（2021·湖北宜昌市·中考真題）如圖，，是上直徑兩側的兩點．設，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用直徑所對的圓周角是直角得到∠ACB=90°，從而求出∠BAC，再利用同弧所對的圓周角相等即可求出∠BDC．【詳解】解：∵C，D是⊙O上直徑AB兩側的兩點，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=25°，∴∠BAC=90°-25°=65°，∴∠BDC=∠BAC=65°，故選：D．10．（2021·湖南長沙市·中考真題）如圖，點，，在⊙O上，，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用圓周角定理即可得．【詳解】解：，由圓周角定理得：，故選：B．11．（2021·四川內江·中考真題）如圖，是的外接圓，，若的半徑為2，則弦的長為（）A．4 B． C．3 D．【答案】B【分析】過點作，交于點，根據圓周角定理以及垂徑定理可得結果．【詳解】解：過點作，交于點，是的外接圓，，，又，，，，在中，，，，，故選：．12．（2021·黑龍江中考真題）如圖，在中，是直徑，弦的長為5cm，點在圓上，且，則的半徑為_____．【答案】5cm【分析】連接BC，由題意易得，進而問題可求解．【詳解】解：連接BC，如圖所示：∵，∴，∵是直徑，∴，∵，∴，∴的半徑為5cm；故答案為5cm．13．（2021·湖南張家界市·中考真題）如圖，內接于，，點是的中點，連接，，，則_________．【答案】【分析】圓上弧長對應的圓周角等于圓心角的一半，再利用等腰三角形三線合一的性質，即可得出答案．【詳解】解:根據圓上弦長對應的圓周角等于圓心角的一半，，，，為等腰三角形，又點是的中點，根據等腰三角形三線合一，為的角平分線，，故答案是：．14．（2021·遼寧本溪市·中考真題）如圖，由邊長為1的小正方形組成的網格中，點A，B，C都在格點上，以為直徑的圓經過點C和點D，則________．【答案】【分析】根據同弧所對的圓周角相等可得，再利用正切的定義求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．15．（2021·安徽中考真題）如圖，圓O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點E．（1）M是CD的中點，OM＝3，CD＝12，求圓O的半徑長；（2）點F在CD上，且CE＝EF，求證：．【答案】（1）；（2）見解析．【分析】（1）根據M是CD的中點，OM與圓O直徑共線可得，平分CD，則有，利用勾股定理可求得