論邊坡穩定分析Sarma法中條塊間作用力方向的兩種可能性摘要:在各種邊坡穩定分析方法中，Sarma法使用了具有傾斜邊界的土條，假定側面上也達到極限平衡。研究發現，在這些傾斜邊界上，存在著兩種條塊間相對滑動方向，即左條塊相對右條塊向上或向下滑動，如果對這兩種可能性不予以區分，則可能導致Drucker準則被破壞。算例表明，只考慮一個剪切方向的計算結果有時不合理，會導致側面的凝聚力越大，安全系數越小的反常情況。關鍵詞:邊坡穩定分析；極限平衡；Drucker準則。1前言傳統的邊坡穩定極限平衡分析法采用垂直條分法，這個方法不能很好地考慮條塊側面的力的特性，特別是巖質邊坡的斷層節理特征。Sarma(1979)提出對滑坡體進行斜分條的極限平衡分析法［1］，該法假定沿條塊側面也達到了極限平衡，這樣，通過靜力平衡條件即可唯一地確定邊坡的安全系數或加載系數。這個方法受到Hoek教授的極力推崇(Hoek,1983)［2］。在開發這一方法過程中，發現沿斜條塊的摩擦方向有兩種可能性，即左條塊相對右條塊可能向上或向下運動。Sarma法只考慮了常見的一種，即左條塊相對右條塊向上運動。在某些情況下，僅考慮這一種情況可能導致錯誤的計算成果，本文對這一問題作一簡要的討論。圖1Sarma法和能量法的計算力Fig.1Sarma'smethodandtheenergymethod2求解安全系數的兩種途徑對于一個多塊體組成的破壞模式，可以通過求解靜力平衡方程計算安全系數，也可以通過建立虛功原理的方程求解，現以圖1所示兩個塊體的例子說明此問題。分析作用于左、右兩個處于極限平衡的塊體的力，根據摩爾庫侖破壞準則，作用在滑面上的力可分成兩部分，一部分是由法向N和由它決定的摩擦阻力Ntgφe構成的一個“摩擦反力”P，它與滑面的法線夾角為φe，另有凝聚力ce提供的“凝聚阻力”C，其值為ceL,L為滑面長度。其中安全系數隱含于對強度指標修正中，即tanφe=tanφ/F,ce=c/F。同樣，在條塊的界面AB上右條塊作用在左條塊的力為Pj和Cj，左、右條塊的靜力平衡方程分別為（式（1）至式（7）的推倒過程，均指向量運算）：Wl+Pl+Cl++Pj+Cj=0(1)Wr+Pr+Cr--Pj-Cj=0(2)其中W為條塊重量，上述兩個矢量方程如在x，y方向投影，可建立四個方程式，其中的未知數分別為Pl,Pr,Pj的大小(其方向已知，與法線方向夾φe角)，另外一個未知數是包含在ce和φe中的F值，這樣，就可以求得F值。采用虛功原理求解，則我們分別在左、右條塊賦一個虛位移Vl和Vr，有Wl·Vl+Pl··Vl+Cl·Vl+Pj·Vl+Cj·Vl=0（3）Wr·Vr+Pr··Vr+Cr·Vr-Pj·Vr-Cj·Vr=0（4）兩式相加得Wl·Vl+Wr··Vr+Pl·Vl+Pr·Vr+Cl·Vl+Cr·Vr+Pj·Vj+Cj·Vj=0（5）其中：

Vj=Vl-Vr（6）為左條塊相對右條塊移動的位移。虛功原理對任意一組協調的位移場都適用。式(5)說明，對滑動體加一組虛位移時，重力所作的功等于沿左、右滑面和界面的內能耗散。現在施加一組特殊的位移Vl、Vr和Vj，它們分別與滑面的夾角為φe，見圖1，由于Pl、Pr和Pj與相應滑面的法線夾角為φe，故Pl和Vl，Pr和Vr，和Pj和Vj正交，它們的積應該分別為零，式(5)簡化為Wl·Vl+Wr··Vr+Cl·Vl+Cr·Vr+Cj·Vj=0（7）使用位移協調條件(6)式，則一旦Vl確定，Vr和Vj即可表達為Vl的線性函數。式(6)代入式(7)后Vl被消去，式(7)中僅剩下隱含在ce,φe中的F值。因此，根據虛功原理建立的式(7)使求解邊坡穩定安全系數成為通過一個方程解一個未知數的十分簡捷的方法。它的解題步驟是先計算一個與各條塊底滑面夾角為φe的協調的位移場，然后根據外力功等于內能耗散的虛功方程式(7)求解F值。使用這一方法帶來的另一個好處是求解過程中存在著坡體的位移圖式，這正好為論述本文提出的命題提供了理論基礎。3邊坡穩定分析的能量法近年來Donald和Chen提出了的求解邊坡穩定分析的能量法［3］［4］就是建立在上節介紹的虛功原理方法上的。對于相鄰條塊，作者推導出由左側條塊速度確定右側條塊速度的方程(圖2a)。Vr=Vlsin((θl-θj)/siin(θr-θj)（8）Vj=Vlsin((θr-θl)/siin(θr-θj)（9）（10）其中D為內能耗散，上標j和s分別代表界面和滑面，其數值就是式(7)左邊的第3，4，5項的負值。從現在開始，將“位移”改稱為“速度”，即單位外力增量作用下的塑性位移。在Donld和Chen的研究報告中，作者舉了一系列算例證明能量法可以獲得和Prandtl和Soklocsdki提供的閉合解。在計算工程實例時，也獲得了和與傳統的極限平衡方法接近的解。圖2考慮條塊間作用力兩種可能性，I：第一種情況θr＜θl；Ⅱ：第二種情況；θr＞θl；(a)，(b)分別為速度矢量和速度多邊形。Fig.2Thetwopossibilitiesoftheinter-sliceforces1:case1,θl＜θr；2:case2,θl＞θr。(a)and(b)arethevelocityvectorsandtheirpolygonsrespectively.4論考慮條塊間作用力兩種可能性的必要性在上節中已經指出，式(10)中的速度V都相應某一外力增量的塑性位移，依據Drucker準則，這些塑性位移所作的功必須為正。因此依據式(8)和(9)計算的Vr和Vj的數值必須為正值，為了保證這一點，必須考慮條塊界面作用力的兩種方向。如圖2b所示，條塊的底部為一個軟弱面時，其摩擦角較小，因此Vr處于Vl的上方，即θr＜θl，此時按式(9)計算的Vj為負。出現這一問題的原因是在左側條塊的絕對速度方向角θl大于右側相應的θr時，應假定左側條塊相對于右側條塊向下而不是向上移動。一般來說，左邊條塊相對右邊條塊的滑動可以有兩種方向，即向上和向下。定義向上滑動為情況1，這是經常遇到的情況。但是，如果此時θr＜θl，那么，左邊條塊應相對右邊條塊向下滑動(情況2，圖2b)。對情況1和情況2，分別定義：θj=π/2-δ+φeej(11)θj=π3/2-δ-φφej(12)其中δ為條間界面的傾角，從正Y軸向正X軸轉為正。從式(9)可看出，在圖2所示的θl＞θr的情況下，如果采用第二種可能性，即左側條塊相對右側條向下移動，使用式(12)對θj的定義，可以保證按式(9)計算得到數值為正的Vj。總結上述研究，可提出如下判據：對情況1，左條塊相對右條塊向上移動，即θr＞θl。要求θj按式(11)定義，并有θl-θj＞0(13)對情況2，左條塊相對右條塊向下移動，即θr＜θl。要求θj按式(12)定義，并有θl-θj＜0(14)θr-θj＞-π(15)另外，一個顯而易見的條件是條間界面必須在兩個相鄰條塊底線之間。這意味著對上述兩種情況，均應要求：π/2-αr＞δδ＞-(π/2+αl)(16)附錄給出了上述條件(13)，(14)和(15)的嚴格證明。5例題和論證在本節中，通過兩個例題說明如果不考慮條塊間作用力的合理方向，將得出不合理的結果。例題1對如圖3所示的兩個條塊的例題進行分析。為便于說明，引入一些簡化條件，即左、右兩個條塊底滑面的凝聚力c設為零。左右條塊的重量Wl，Wr，底面傾角α分別用下標l和r標注。在給定的條塊側面的指標cj，φj值下，根據第1節介紹的解題步驟，可以得到需要將此條塊組合推動的水平推力P的公式：（17)其中“±”代表左側條塊向上和向下的作用力的兩種可能性，上排為第一種可能性，下排為第二種可能性。圖3使用第二種情況說明Fig.3Anexamplethatexplainsthenecessityofemployingcase2.如果僅考慮第一種情況，則意味著式(17)中符號“±”全部取“+”。在通常的φe和φje的取值范圍內，如果αr＜αl，則式(17)的第2項的存在意味著沿條塊側面的cj值越大，需要的P越小。換句話說，cj越大，安全系數越小。這一情況顯然與實際情況不合。因此，如果αr＜αl，就要求取第二種情況，即式中“±”全部取“-”。例題2作者曾討論三峽大壩3壩段抗滑穩定的算例，論述了Sarma法和Morgenstern-Price法分別從上、下限分析抗滑穩定安全系數獲得接近的計算成果。該題滑裂面部分通過壩體(AF)，本例中，通過基礎軟弱結構面在壩體混凝土和基礎交接點A和在滑裂面的B點(圖4a)，均屬第2種情況。圖4三峽3壩段穩定分析(a)A和B點點采用第2種情況，F=2..888；(b)A和B點點采用第一一種情況，F=2..051。Fig.4SStabiilityyanaalysiisofftheecroossssectiion33oftheThreeeGoorgessdamm.(a)Case2weereeemplooyedforpoinntAandB,F==2.8888;(b)Case1foorpoointAanndB,,wereeempployeed,F==2.0551.作者使用EMU程序計算獲得壩體臨界破壞模式和相應安全系數F=2.88，與使用傳統的垂直條分的Morgenstern-Price獲得的安全系數F=2.79，分屬安全系數的上、下限解，兩者十分接近。圖4a為上限解獲得的臨界破壞模式。但是如果不按本文提出原則區分條間力方向的兩種情況，在A和B點，仍按式(11)定義θ，則計算所得的臨界破壞模式如圖4b所示，相應安全系數為2.05。這一解答與Morgenstern-Price法的計算結果相差較大。而且同樣也會出現在A點和B點使用越大的cj值，安全系數越小的反常現象。因此，這樣的解答應予以排除。6結語(1)本文通過簡要的分析，指出了Sarma法可以通過建立虛功方程獲得更加簡便的解題途徑。在這一分析中，可以清晰地看出，為了滿足位移協調的條件，必須區分相鄰條塊可能的兩種相對移動方向。(2)本文建立了區分相鄰條塊兩種相對位移方向的判據，根據這一判據，可以保證計算獲得的速度場均為正，從而使虛功方程中的各項均為正，保證Drucker準則不被破壞，保證計算按塑性力學上限定理的理論框架進行。(3)本文通過算例證明，只有正確地處理條塊之間的作用力方向，才能使一些復雜的巖質邊坡穩定分析的問題得到正確的解答。參考文獻1.Sarma,K.S.,Stabilityanalysisofembankmentsandslopes.J.Geotech.Am.Soc.Civ.Engrs,105,GT.12,PP.1511-1524,1979.2.Hock,E.Generaltwo-dimensionalslopestabilityanalysis.AnalyticalandComputationalMethodsinEngineeringRockMechanics.95-,AllenandUnwin,London,1987.3.Donald,I.andChen,Z.Y.,UpperboundstabilitysolutionsinGeomechanics.ComputationalPlasticity,FundamentalsandApplications.Proc.4thInt.Conf.Comp.Plas.Ed.D.R.J.OwenandE.Onate.April,1995,Barcelona,PineridgePress.Vol.2.pp.1979-1808,1995.4陳祖煜，邊坡穩定的塑性力學上限解。中國土木工程學會第七屆土力學及基礎工程學術會議論文集，中國建筑工業出版社，1994年，第484—488頁。附錄關于位移協調條件的證明相鄰兩個條塊不應向相反的方法移動，也就是說，如果Vl是正的話，通過(8)和(9)求得的Vr和Vj也都應是正的，對于情況1，我們有：0＜θl-θj＜π(A-1)0＜θr-θj＜π(A-2)0＜θr-θl＜π(A-3)對于情況2，則-π＜θl-θj＜0(A-4)-π＜θr-θj＜0(A-5)-π＜θr-θl＜0(A-6)但是，上述有些條件不是獨立的，對情況1，只需要不等式(13)；對情況2，滿足不等式(14)和(15)也已足夠。下面，我們來說明這一論點。對情況1的限制條件的證明：(1)由不等式(16)δ+αr＜π2(A—7)(A-7)因此，θr--θj=π2+αr+δ-φer-φej＜π(A—8)故有:θl-θj＜θl-(θr-π)(A—9)根據對情況1的定義，此時，θr＞θl，我們有θl-θj＜π(A—10)和(13)相連，(A—1)成立。(2)因為θθr-θj=(θr-θl)+(θl-θj)(A—11)而上式的右側兩部分都是正的，故有θr-θj＞0(A—12)和(A—8)相連，(A—2)成立。(3)從已經證明的式(A—