本文格式為Word版，下載可任意編輯——大學物理力學基本定律與守恒律習題及答案第3章力學基本定律與守恒律習題及答案

??1．作用在質量為10kg的物體上的力為F?(10?2t)iN，式中t的單位是s，(1)求4s后，這物體的

動量和速度的變化．(2)為了使這力的沖量為200N·s，該力應在這物體上作用多久，試就一原來

?-1

靜止的物體和一個具有初速度?6jm·s的物體,回復這兩個問題．

解:(1)若物體原來靜止，則

??t?4??1?p1??Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?si,沿x軸正向，

00????p1?v1??5.6m?s?1im???I1??p1?56kg?m?s?1i若物體原來具有?6m?s初速，則

?1?t?F?????p0??mv0,p?m(?v0??dt)??mv0??Fdt于是

0m0tt??????p2?p?p0??Fdt??p1,

0????同理，?v2??v1,I2?I1

這說明，只要力函數不變，作用時間一致，則不管物體有無初動量，也不管初動量有多大，那么物體獲得的動量的增量(亦即沖量)就一定一致，這就是動量定理．(2)同上理，兩種狀況中的作用時間一致，即

I??(10?2t)dt?10t?t2

0t亦即t?10t?200?0解得t?10s，(t??20s舍去)

2．一顆子彈由槍口射出時速率為v0m?s?1，當子彈在槍筒內被加速時，它所受的合力為F=(a?bt)N(a,b為常數)，其中t以秒為單位：(1)假設子彈運行到槍口處合力剛好為零，試計算子彈走完槍筒全長所需時間；(2)求子彈所受的沖量．(3)求子彈的質量．解:(1)由題意，子彈到槍口時，有

2F?(a?bt)?0,得t?(2)子彈所受的沖量

abt1I??(a?bt)dt?at?bt2

021

將t?a代入，得ba2I?

2b(3)由動量定理可求得子彈的質量

Ia2m??v02bv03．如下圖，一質量為m的球，在質量為M半徑為R的1/4圓弧形滑槽中從靜止滑下。圓弧形滑槽放在光滑水平面上，初始時刻也處于靜止狀態。求當小球m滑到槽底脫離槽時的速度。

解:m從M上下滑的過程中，機械能守恒，以m，M，地球為系統，以最低點為重力勢能零點，則有

11mv2?MV222又下滑過程，動量守恒，以m,M為系統則在m脫離M瞬

mgR?間，水平方向有

mv?MV?0

聯立以上兩式，得

v?2MgR

?m?M?4．如下圖，質量為M＝1.5kg的物體，用一根長為l＝1.25m的細繩懸掛在天花板上．今有一質量為m＝10g的子彈以v0＝500m/s的水平速度射穿物體，剛穿出物體時子彈的速度大小v＝30m/s，設穿透時間極短．求：

(1)子彈剛穿出時繩中張力的大小；(2)子彈在穿透過程中所受的沖量．

解（1）由于穿透時間極短,可認為穿透過程在瞬間完成。此過l程系統在水平方向滿足動量守恒。mvv?m0?MVvm(v0?v)10?10?3(500?30)??3.13m/s0V?M1.5m對M進行受力分析有

??vMV23.132?1.5?9.8?1.5??26.5NT?Mg?Ml1.25(2)子彈在穿透過程中所受的沖量：

I??p?mv?mv0?10?10?3(30?500)??4.7Ns

?上式中負號表示沖量方向與v0方向相反。

5．質量為1kg的物體，它與水平桌面間的摩擦系數?=0.1．現對物體施以F=10t+10(SI)的力，（t表示時刻），力的方向保持一定，如下圖．如t=0時物體靜止，則t=3s時它的速度大小v為多少?(取重力加速度g?10ms)

解:對物體在水平方向應用動量定理

2

?230°F3(Fcos300??(mg?Fsin300)dt?mv?0

?0由于m?1kg，F=10t+10，故有

3v?[(10t?10)cos300??(mg?(10t?10)sin300]dt

?03033??[(10t?10)cos30dt???mgdt???(10t?10)sin300dt000?3?(5?9?10?3)?0.1?1?10?3?0.1?0.5?(5?9?10?3)2?64.95?3?3.75?58.2m/s6．靜水中停著兩條質量均為M的小船，當第一條船中的一個質量為m的人以水平速度v（相對于地面）跳上其次條船后，兩船運動的速度各多大？（忽略水對船的阻力）．

解:該過程滿足水平方向的動量守恒：

對第一條船：0?mv?MV1V1??mvM上式中負號表示對第一條船運動方向與v方向相反；對其次條船：mv?(m?M)V2V2??mv

m?M7．一質量為m的質點在Oxy平面上運動，其位置矢量為r?acos?ti?bsin?tj(SI)

式中a、b、?是正值常量，且a＞b．(1)求質點在A點(a，0)時和B點(0，b)時的動能；

(2)求質點所受的合外力F以及當質點從A點運動到B點的過程中F的分力Fx和Fy分別作的功．

解:(1)質點在A點(a，0)時和B點(0，b)時的動能由題意：r?acos?ti?bsin?tj?xi?yj

dra?b???a?sin?ti?b?cos?tj??yi?xjdtba22a2?22b?2y?2x2v(x,y)?2ba1a2?22b2?22122所以EA(a,0)?m(2?0?2a)?m?b

2ba2v??3

1a2?22b2?22122EA(0,b)?m(2?b?2?0)?m?a

2ba2(2)質點所受的合外力F

??dv??a?2cos?ti?b?2sin?tja?dt??F?ma??ma?2cos?ti?mb?2sin?tj??m?2xi?m?2yj?Fxi?Fyj

當質點從A點運動到B點的過程中F的分力Fx分別作的功

1m?2a22aa當質點從A點運動到B點的過程中F的分力Fy分別作的功

02?Fxdx???m?xdx?0?Fydy??m?ydy?00bb21m?2b228．一人從10m深的井中提水．起始時桶中裝有10kg的水，桶的質量為1kg，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水．求水桶勻速地從井中提到井口，人所作的功．

解:設桶的質量為m0，起始時桶中裝滿水的質量為M0，以起始點為坐標原點，坐標軸方向豎直向上，則水桶勻速地從井中提到井口過程的任意位置，人的拉力為F(x)?(M0?0.2x)g?mg

10100所以A??F(x)dx??[(M00?0.2x)g?mg]dx

102?(M0?m)g(10?0)?0.2g??980J

29一個質點在幾個力同時作用下位移為?r?4i?5j?6k?SI?，其中一個力為

F??3i?4j?5k?SI?，求此力在該位移過程中所作的功。

解:此為恒力做功，故有

A?F??r?(?3i?4j?5k)(4i?5j?6k)??12?20?30?38J

10設F合?7i?6jN．(1)當一質點從原點運動到r??3i?4j?16km時，求F所作的功．(2)假使質點到r處時需0.6s，試求平均功率．(3)假使質點的質量為1kg，試求動能的變化．解:(1)A?(7i?6j)[(?3i?4j?16k)?0]??21?24??45J

(2)假使質點到r處時需0.6s，試求平均功率：P??P?45???75W?t0.6(3)由動能定理，質點動能的變化為：?Ek?A??45J

4

11．如下圖，一根勁度系數為k1的輕彈簧A的下端，掛一根勁度系數為k2的輕彈簧B，B的下端一重物C，C的質量為M，如題2-15圖．求這一系統靜止時兩彈簧的伸長量之比和彈性勢能之比．

解:彈簧A、B及重物C受力如題5圖所示平衡時，有

FA?FB?Mg

又FA?k1?x1

FB?k2?x2

所以靜止時兩彈簧伸長量之比為

?x1k2??x2k1彈性勢能之比為

Ep1Ep212．某彈簧不遵守胡克定律.設施力F，相應伸長為x，力與伸長的關系為F＝52.8x＋38.4x2（SI）求：

(1)將彈簧從伸長x1＝0.50m拉伸到伸長x2＝1.00m時，外力所需做的功．

(2)將彈簧橫放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一個質量為2.17kg的物體，然后將彈簧拉伸到一定伸長x2＝1.00m，再將物體由靜止釋放，求當彈簧回到x1＝0.50m時，物體的速率．

(3)此彈簧的彈力是保守力嗎？

1k1?x12k?2?21k12k2?x2238.43x)?31J解:（1）A??(52.8x?38.4x)dx?(26.4x?30.50.52211(2)由動能定理

0.5A?122(52.8x?38.4x)(?dx)?mv?0?212A2?31??5.34m/sm2.17所以v?(3)此彈簧的彈力做功與路徑無關，故是保守力。

13．如下圖，質量m為0.1kg的木塊，在一水平面上和一個勁度系數k為20N/m的輕彈簧碰撞，木塊將彈簧由原長壓縮了x=0.4m．假設木塊與水平面間的滑動摩擦系數?k為0.25，問在將要發生碰撞時木塊的速率v為多少？

解:在該過程中，物體受力的方向與位移的方向相反，故力做負功。由動能定理:

0.4?(kx?0.25mg)dx?0?0?12mv2km5

11?20?0.42?0.25?0.1?9.8?0.4??0.1v22220?0.42?0.5?0.1?9.8?0.4v??33.96?5.83m/s

0.114．(1)試計算月球和地球對m物體的引力相抵消的一點P，距月球表面的距離是多少?地球質量5.98×10

6

24

kg，地球中心到月球中心的距離3.84×10m，月球質量7.35×10kg，月球半徑1.74×

822

10m．(2)假使一個1kg的物體在距月球和地球均為無限遠處的勢能為零，那么它在P點的勢能為多少?

解:(1)設在距月球中心為r處F月引?F地引，由萬有引力定律，有

G經整理，得

mM月r2?GmM地?R?r?2

r?M月M地?M月R

=

7.35?10225.98?1024?7.35?1022?3.48?108?38.32?106m則P點處至月球表面的距離為

h?r?r月?(38.32?1.74)?106?3.66?107m

(2)質量為1kg的物體在P點的引力勢能為

EP??GM月r?GM地

?R?r?117.35?10225.98?1024?11??6.67?10??6.67?10??38.4?3.83??1073.83?107?1.28?106J

15．如下圖，在與水平面成?角的光滑斜面上放一質量為m的物體，此物體系于一勁度系數為k

的輕彈簧的一端，彈簧的另一端固定．設物體最初靜止于平衡點．今使物體獲得一沿斜面向下的速

度，設起始動能為EK0，試求物體在彈簧的伸長達到x時的動能.解:物體處于平衡點時，彈簧的靜伸長為：x0?mgsin?kkm該過程滿足機械能守恒，故有

??6

Ek0?1mgsin?21K()?Ek?kx2?mgxsin?2k2由此得到：

12(mgsin?)2Ek?Ek0?mgxsin??kx?

22k16．一物體與斜面間的摩擦系數?=0.20，斜面固定，傾角?=45°．現給予物體以初速率v0=10m/s，

使它沿斜面向上滑，如下圖．求：

(1)物體能夠上升的最大高度h；

(2)該物體達到最高點后，沿斜面返回到原出發點時的速率v．解:（1）設物體能夠上升的最大高度h，相應的斜面長度為S。由功能原理：??mgcos?s?mgh?12mv02hs?

sin?由上兩式可得

2v0100h???4.25m

2g(1??ctg?)2?9.8(1?0.2)?v0??h（2）該物體達到最高點后，沿斜面返回到原出發點時的速率v可再由功能原理獲得：

?s???mgcos12mv?2mghv?2gh(1??ctg?)?2?9.8?4.25?0.8?66.64?8.16m/s

17．如下圖，在光滑水平面上，放一傾角為??的楔塊，質量為M，在楔塊的光滑斜面上A處放一質量為m的小物塊，開始時小物塊與楔塊均靜止．當小物塊沿斜面運動，在豎直方向下降h時，試證楔塊對地的速度大小為

2m2ghcos2?v?

(m?M)(M?msin2?)解:設小物塊相對楔塊的速度為v?，對地的速度為v，楔塊對地的速度V為。取水平向右為x正向，豎直向上為y正向。則

?v?cos??V（1）vy??v?sin?（2）由于該過程系統滿足水平方向動量守恒和機械能守恒條件，故有MV?m(v?cos??V)?0（3）mgh?（4）可化為：mgh?mAM?11MV2?m[(v?cos??V)2?(v?sin?)2]（4）2211MV2?m[v?2?2v?Vcos??V2]（5）22將（1）中v?解出代入（5）

7

(M?m)21?(M?m)]V2mgh?[22mcos?2由此得到V?mgh2m2ghcos2??22(M?m)1(M?m)(M?msin?)?(M?m)2mcos2?218．如下圖，懸掛的輕彈簧下端掛著質量為m1、m2的兩個物體，開始時處于靜止狀態．現在突然把m1與m2間的連線剪斷，求m1的最大速度為多少？設彈簧的勁度系數k＝8.9×104N/m，m1＝0.5kg，m2＝0.3kg．

解:輕彈簧下端掛質量為m1物體時，彈簧的靜伸長為：x01?m1g（1）k1輕彈簧下端掛質量為m1、m2的兩個物體時，彈簧的靜伸長為：x012?(m1?m2)g（2）

km2連線剪斷后，過程滿足機械能守恒，m1物體的最大速度出現在其平衡位置x01處，故有：

121212kx012?m1g(x012?x01)?kx01?mv（3）222將式（1）、（2）代入（3）式的：v?m2g0.3?9.82.942.94????1.39?10?2m/sm1k0.5?8.9?1041004.45100?2.1119如下圖，一鏈條總長為l，質量為m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的長度為a．設

鏈條與桌面之間的滑動摩擦系數為?．令鏈條由靜止開始運動，則(1)到鏈條剛離開桌面的過程中，摩擦力對鏈條作了多少功？l?a(2)鏈條剛離開桌面時的速率是多少？

a解:(1)鏈條剛離開桌面的過程中，摩擦力對鏈條作的功：設任一時刻，下落鏈條的長度為x，則留在桌面鏈條的長度為l?x，于是

lA????am?mg(l?x)gdx??(l?a)2Nml2l（2）鏈條剛離開桌面時的速率。

將整個鏈條作為研究對象，由功能原理：A???mgl1ma1mg2(l?a)2?[?m()g?mv2]?[?()a()g]?mv2?(l?a2)2l22l222l1由此得到：

gv?2?(l2?a2)??(l?a)2?m/s??l8

20如下圖，有一門質量為M(含炮彈)的大炮，在一斜面上無摩擦地由靜止開始下滑．當滑下l距離時，從炮內沿水平方向射出一發質量為m的炮彈．欲使炮車在發射炮彈后的瞬時中止滑動，炮彈的初速v（對地）應是多少？(設斜面傾角為?)．

l解:炮車在斜面上滑下l距離時，其速度為（機械能守恒）：V?2glsin?炮內射出質量為m的炮彈，系統在沿斜面方向滿足動量守恒M2glsi?n?mvc?o?n0由此得到v??M2glsin?

mcos?21．如下圖，在中間有一小孔O的水平光滑桌面上放置一個用繩子連結的、質量m=4kg的小塊物體．繩的另一端穿過小孔下垂且用手拉住．開始時物體以半徑R0=0.5m在桌面上轉動，其線速度是4m/s．現將繩緩慢地勻速下拉以縮短物體的轉動半徑．而繩最多只能承受600N的拉力．求繩剛被拉斷時，物體的轉動半徑R等于多少？解:縮短物體轉動半徑的過程滿足角動量守恒：

OmR0v0?mRv（1）

設v為繩剛被拉斷時對應的物體速度，R為對應的轉動半徑，則：

v2F0?m（2）

R聯立（1）、（2）兩式得：

1221mR0v034?0.25?161R?()?()3?(0.02667)3?0.3m

F060022．哈雷彗星繞太陽運動的軌道是一個橢圓．它離太陽最近距離為r1＝8.75×10m時的