數(shù)學(xué)分析課件二重積分概念第1頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五一、平面圖形的面積

我們首先定義平面圖形的面積.所謂一個平面圖形P是有界的,是指構(gòu)成這個平面圖形的點集是平面上的有界點集,即存在一矩形R,使得設(shè)

P是一平面有界圖形,用平行于二坐標(biāo)軸的某一組直線網(wǎng)

T分割這個圖形

(圖21-1),這時直線網(wǎng)

T的網(wǎng)眼(小閉矩形)可分為三類:(i)上的點都是P的內(nèi)點;(ii)上的點都是P的外點,即第2頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五(iii)

上含有P的邊界點.

將所有屬于第(i)類小矩形(圖

21-1中紫色部分)的面積加起來,記這個和數(shù)為里表示包含P的那個矩形R的面積);將所有第(i)類與第(ii)類小矩形的面積加起來(圖21-1中著色部分),記這個和數(shù)為則有則有(這第3頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五由確界存在定理可以推得,對于平面上所有直線網(wǎng),顯然有通常稱為P的內(nèi)面積,

為P的外面積.

定義1若平面圖形P滿足=,則稱P為可求面積的圖形,并把共同值作為P的面積.

定理21.1

平面有界圖形P可求面積的充要條件是:數(shù)集有上確界,有下確界.記

第4頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五對任給的總存在直線網(wǎng)T,使得

證必要性設(shè)有界圖形P的面積為.由定義

1,有

由及的定義知道,分別存在直線網(wǎng)與使得

記T為由與這兩個直線網(wǎng)合并所成的直線網(wǎng),

可證得第5頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五于是由(3)可得從而對直線網(wǎng)T有充分性設(shè)對任給的存在某直線網(wǎng)T,使得

但所以第6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五由的任意性,得

因而平面圖形P可求面

積.推論平面有界圖形

P的面積為零的充要條件是它的外面積即對任給的存在直線網(wǎng)T,

使得或?qū)θ谓o的平面圖形P能被有限個面積總和

小于的小矩形所覆蓋.

第7頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五定理

21.2

平面有界圖形

P可求面積的充要條件是:P的邊界K的面積為零.

證由定理21.1,P可求面積的充要條件是:對任給的存在直線網(wǎng)T,使得由于

所以也有由上述推論,P的邊界K的面積

為零.定理21.3

若曲線K為定義在上的連續(xù)函數(shù)

的圖象,則曲線

K的面積為零.

第8頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五證由于在閉區(qū)間上連續(xù),所以它在

上一致連續(xù).因而,當(dāng)

，時,可使在每個小區(qū)間上的振幅都成

高的小矩形所覆蓋.由于這

n個小矩形面積的總和

立即若把曲線

K按

分成

n個小段,則每一小段都能被以為寬,為第9頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五因此由定理21.1的推論即得曲線

K的面積為零.推論1參量方程所表示的光滑曲線或按段光滑曲線,其面積一定為零.證由光滑曲線的定義，均存在且不同時為零.

由隱函數(shù)存在性定理,(或

因此(或)在

上有反函數(shù).再由有限覆蓋定理,可把區(qū)間

第10頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五使得在每一段上，(或

)存在

上的曲線面積為零,從而整個曲線面積為零.

推論2

由平面光滑曲線或按段光滑曲線所圍的平面圖形都是可求面積的.分成

n段:(或,于是在

上反函數(shù)(或

所以在

有連續(xù)的第11頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五注平面中并非所有的點集都是可求面積的.例如易知因此是不可求面積的.第12頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五二、二重積分的定義及其存在性

二重積分的幾何背景是求曲頂柱體的體積.設(shè)為定義在可求面積的有界閉域

D上的非負連續(xù)函數(shù).求以曲面為頂,D為

底的柱體

(圖21-2)的體積

V.圖21-2第13頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五采用類似于求曲邊梯形面積的方法.(1)分割:先用一組平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)

T把區(qū)域

D分成n個小區(qū)域(稱T為區(qū)域D

的一個分割).以表示小區(qū)域的面積.這個直

線網(wǎng)也相應(yīng)地把曲頂柱體分割成n個以為底的小

曲頂柱體(2)近似求和:由于

在D上連續(xù),故當(dāng)每個相差無幾,因而可在上任取一點用以

的直徑都很小時,在上各點的函數(shù)值

is第14頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五為高,為底

的小平頂柱體的體積作為的體積的近似值(如圖21-3),即把這些小平頂柱體的體積加起來,就得到曲頂柱體體積

V的近似值第15頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五(3)取極限:當(dāng)直線網(wǎng)

T的網(wǎng)眼越來越細密,即分割

T的細度

(

為

的直徑)趨于零時,就

有

這類問題在物理學(xué)與工程技術(shù)中也常遇到,如求非

均勻平面的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動慣量等等.這些都是所要討論的二重積分的實際物理背景.

第16頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五上面敘述的問題都可歸為以下數(shù)學(xué)問題.

可求面積的小區(qū)域

以

表示小區(qū)域

的面積,這些小區(qū)域構(gòu)成

D的

為分割

T的細度.在每個

上任取一點作一個分割

T,以

表示小區(qū)域

的直徑,稱

設(shè)

D為

xy平面上可求面積的有界閉域,為定義在

D上的函數(shù).用任意的曲線網(wǎng)把

D分成

n

個第17頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五稱它為函數(shù)

在

D上屬于分割

T的一個積分和.

定義2

設(shè)

是定義在可求面積的有界閉域

D

上的函數(shù).J是一個確定的實數(shù),若對任給的正數(shù)

總存在某個正數(shù)

使對于

D的任何分割

T,當(dāng)它的細度

時,屬于

T的所有積分和都有

和式第18頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五則稱

在

D上可積,數(shù)

J稱為函數(shù)

在

D上二重積分,記作

其中

稱為二重積分的被積函數(shù),x,y稱為積

分變量,D稱為積分區(qū)域.

當(dāng)

時,二重積分

在幾何上

第19頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五就表示以

為曲頂,D為底的曲頂柱體的

體積.當(dāng)

時,二重積分

的值

就等于積分區(qū)域

D的面積.

注1由二重積分定義知道,若

在區(qū)域

D上

可積,則與定積分情形一樣,對任何分割

T,只要當(dāng)

時,(4)式都成立.因此為方便計算起見,常

選取一些特殊的分割方法,如選用平行于坐標(biāo)軸的

直線網(wǎng)來分割

D,則每一小網(wǎng)眼區(qū)域的

的面積

第20頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五此時通常把

記作

注2如定積分那樣類似地可證明:函數(shù)

在

可求面積的

D上可積的必要條件是它在

D上有界.

設(shè)函數(shù)

在

D上有界,T為

D的一個分割,它

把

D分成

n個可求面積的小區(qū)域

令

第21頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五別稱為關(guān)于分割

T的上和與下和.二元函數(shù)的上和與下和具有與一元函數(shù)的上和與下和同樣的性質(zhì),這里就不再重復(fù).下面列出有關(guān)二元函數(shù)的可積性定理,

這里只證明其中的定理

21.7.作和式

它們分第22頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五定理21.4

在

D上可積的充要條件是:

定理21.5

在

D上可積的充要條件是:對

于任給的正數(shù)

存在

D的某個分割

T,使得

定理21.6

有界閉域

D上的連續(xù)函數(shù)必可積.

定理21.7

設(shè)

是定義在有界閉域

D上的有

界函數(shù).若

的不連續(xù)點都落在有限條光滑曲線上,則

在

D上可積.

第23頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五證

不失一般性,可設(shè)

的不連續(xù)點全部落在

某一條光滑曲線

L上,并記

L的長度為

l.于是對任

給的

把

L等分成

段:

在每段

上取一點

使

與其一端點的弧長為

以

為中心作邊長為

的正方形

則

第24頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五現(xiàn)在把區(qū)域

D分成兩部分:

第一部分

第二部分

由于

在

上連續(xù),根據(jù)定理21.6與定理21.5,存在

的分割

使得

又記

以T表示由

與多邊形

的邊界所組成的區(qū)域

D的

第25頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五分割,則有

其中

是

在

D上的振幅.

由于

在

D

上有界,故

是有限值.再由定理

21.5,這就證得了

在

D上可積.

第26頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五三、二重積分的性質(zhì)

二重積分與定積分具有類似的性質(zhì),現(xiàn)列舉如下:上也可積,且

2.

若

在

D上都可積,則

1.

若

在

D上可積,k為常數(shù),則

在

D在

D上也可積,且第27頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五3.

若

在

和

上都可積,且

與

無公共

內(nèi)點,則

在

上也可積,且

4.

若

與

在

D上可積,且

則有

第28頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五5.

若

在

D上可積,則函數(shù)

在

D上

也可積,且

6.

若

在

D上可積,且

則有

第29頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五這里

是積分區(qū)域

D的面積.

7.(積分中值定理)若

在有界閉域

D上連續(xù),

則存在

使得

積分中值定理的幾何意義:在

D上,以

為頂?shù)那斨w體積,等于一個同底第30頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五的平頂柱體的體積,這個平頂柱體的高等于在

D中某點

處的函數(shù)值

*例1

設(shè)

是

中有界閉域,

是

上

可積函數(shù).則

存在頂點在

上的折線

,使得

第31頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五其中

是由

所圍成的多證設(shè)

令

時,就有

取分割