本文格式為Word版，下載可任意編輯——華理高數(shù)答案第4章

第4章（之1）第19次作業(yè)

教學(xué)內(nèi)容：§4.1.1函數(shù)的單調(diào)性§4.1.2函數(shù)的極值

1．填空題

**（1）若f(x)?asinx?答：2

*（2）y?x?x的單調(diào)減少區(qū)間是____________________答：?0，?(寫開區(qū)間也可以)

2．選擇題

***（1）設(shè)f(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo),且f?(x)?g?(x),則在(a,b)內(nèi)上有（）

1?sin3x在x?處有極值,則a?__________________33

?1??4?(A)f(x)?g(x)?0(B)f(x)?g(x)?0

(C)f(x)?g(x)?f(b)?g(b)(D)f(x)?g(x)?f(a)?g(a)

答：(D)

***（2）已知f(x)?x3?ax2?bx在x?1處有極值?2,則常數(shù)a,b之值為（）

(A)a??2,b?1(B)a?1,b??1

(C)a?0,b??3(D)a?0,b??2答(C)

***（3）函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x?x0處連續(xù)且取得極大值則f(x)在x0處必有()

(A)f?(x0)?0(B)f??(x0)?0(C)f?(x0)?0且f??(x0)?0(D)f?(x0)?0或不存在答(D)

3．求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:**（1）求函數(shù)y?x?2

6的單調(diào)區(qū)間x2(x3?3)解：函數(shù)在(??,0)及(0,??)內(nèi)連續(xù)，y??，2x解得駐點(diǎn)x?33，

3(??,0)((33,??))(0,33)3x－－0+y'y↓↓↑49

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(33,??)，單調(diào)減區(qū)間為(??,0),(0,33).

22**（2）求函數(shù)y?(x?5)3(x?1)的單調(diào)區(qū)間

18(x?5)(x?)2x??1，??)內(nèi)連續(xù)y??解：函數(shù)在(??，33x?11令y??0得x1?5，x2?，而當(dāng)x??1時(shí),y?不存在，

25(5,x(??,?1)-1??)111(?1,)(，5)222－x＋0－0＋y'y↓↑↓↑.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[?1,1(??,?1),[12],(5,??)，單調(diào)減區(qū)間為2,5])

4．證明以下不等式

**（1）證明當(dāng)x?1時(shí)，2x?3?證明：令f(x)?2x?3?

1。x111?2，，f?(x)?xxxf(x)在1，???上連續(xù)?當(dāng)x?1時(shí)f?(x)?0故f(x)在1，???上單調(diào)增1當(dāng)x?1時(shí)恒有f(x)?f(1)?0，即2x?3?.

x

***（2）當(dāng)b?a?e時(shí)，a?b；解：設(shè)f?x??xlna?alnx?x?a?，

ba?

axlna?a?，?a?e?lna?1，xx?當(dāng)x?a時(shí)，f??x??0，?b?a?e時(shí)，f?b??f?a?，

?blna?alnb?0，?ab?ba.

f??x??lna?

**（3）當(dāng)0?x??2解：設(shè)f?x??tanx?sinx?2x，

f??x??sec2x?cosx?2

時(shí)，tanx?sinx?2x.

1?cos3x?2cos2x1?cos2x?cos3x?cos4x??????00?x???

2cos2xcos2x????250

?f?x??f?0??0，即tanx?sinx?2x.

5．求以下函數(shù)的極值**（1）f?x???x?1?解：?f??x??232x3（注：此題說明探討極值時(shí)不可忽略導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。）

1?352x?x3352x??313，

x32。及不可導(dǎo)點(diǎn)為x?0。52?當(dāng)x?0時(shí)，f??0，當(dāng)0?x?時(shí)，f??0，

52當(dāng)x?時(shí)，f??0。

5?x?0時(shí)，f?x?取極大值0，

令f??x??0，得駐點(diǎn)x?x?

23?2?時(shí)，f?x?取微小值???.55?5?23**（2）f?x??2cos2x?4cosx.解：f??x???22sin2x?4sinx，

令f??x??0，??42sinx?cosx?4sinx?0，

?sinx?0或cosx??1，2?x?n?，x?2n?????n?Z?，4又?f???x???42cos2x?4cosx，

而f???n???0，f???2n??????????0，4???極大值f?2n???4?2，f?2n?????2?4；

微小值f?2n????

****6．設(shè)f?x?在x0的某鄰域內(nèi)具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f??x0????f?n?1????????22.4??x0??0，而

f?n??x0??0.試證明：

①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f?x0?不是極值；

②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若f?n??x0??0（或?0），則f?x0?是極大值（或微小值）。證：?f?x?在x0的某鄰域內(nèi)具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由n?1階泰勒公式，

51

f?n?1??x0?f?n????n?1?x?x0???x?x0?nf?x??f?x0??f??x0??x?x0????(n?1)!n!f?n?????x?x0?n，?在x0與x之間.?f?x0??n!不妨設(shè)f?n??x0??0，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性定理，可知存在x0點(diǎn)的某個(gè)鄰域N(x0)，

當(dāng)x在該鄰域內(nèi)時(shí)總有有f?n??x??0.由于?在x0與x之間,可知?也必然在該鄰域內(nèi)，所以有f?n?????0.于是

①n為奇數(shù)時(shí)，只要x0?x?x0??，就有f?x??f?xf?n????0??n!?x?xn0??f?x0?，當(dāng)x0???x?x0時(shí)，f?x??f?xf?n????0??n!?x?x0?n?f?x0?，?x0不是極值點(diǎn).

②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，只要0?x?x0??，就有f?x??f?xf?n????0???x?x0?n?f?x0?，?n!?f?x0為微小值.

第4章（之2）第20次作業(yè)

教學(xué)內(nèi)容：§4.1.3最大值與最小值§4.1.4方程根的個(gè)數(shù)

**1。方程x3?3x?1?0在(0，1)內(nèi)(A)無實(shí)根(B)有唯一實(shí)根(C)有兩個(gè)實(shí)根(D)有三個(gè)實(shí)根

答(B)

**2．求函數(shù)y?x?1?x在指定區(qū)間??5,1?上的最大值和最小值.

解：?y??1??121?x?121?x?21?x，?臨界點(diǎn)為x?34，x?1。

考慮y??3??4???34?1?34?54，y?1??1?1?1?1，

在端點(diǎn)處y??5???5?1???5???5?6，y?1??1。

52

）

（

?3?5?最大值為y???，

?4?4最小值為y??5???5?6.

2**3．求函數(shù)y?x?3x?2在x?10時(shí)的最大值,最小值

解：由于所給函數(shù)與函數(shù)g?y2?(x2?3x?2)2有一致的最大值與最小值點(diǎn)，

而dg?2(x2?3x?2)(2x?3)，dx

dg3令?0得x1?1，x2?2，x3?。dx2原來函數(shù)值

31y(1)?y(2)?0，y()?24y(?10)?132，y(10)?72

故所給函數(shù)的最大值為y(?10)?132最小值為y(1)?y(2)?0.

**4．設(shè)A?(2a,0)(a?0),在心形線??a(1?cos?)的第一象限部分上找一點(diǎn)P,使

?OPA的面積最大.

解：由于線段OA?2a為一個(gè)確定的值,所以本問題本質(zhì)上是求P點(diǎn)縱坐標(biāo)y?a(1?cos?)sin?(0???的最大值.

令

?2)

dy?a(2cos2??cos??1),d?dy???0,可得(0,)上的唯一駐點(diǎn)??,d?32根據(jù)實(shí)際意義可知,所求之點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)于???3的點(diǎn)

333P?(a,a).

44

**5．欲造一個(gè)有上、下底的圓柱形鐵桶，容積為定值V，試問當(dāng)鐵桶的底半徑R和高度H取何值時(shí)，才能使用料最省？

2解：所需材料為A?2?R?2?R?H。

V。2?RV2V22?2?R??A?2?R?2?R?，

R?R22?定值V??RH，?H?53

2V4?R3?2VA??4?R?2?，得到唯一駐點(diǎn)R?RR23V。2?VV?此時(shí)H??R2?3?2??????V?234V?3。

?根據(jù)問題的實(shí)際狀況，當(dāng)R?V，H?2?34V?時(shí)，所需材料最省.

**6在鐵道線（假設(shè)是直線）上有一點(diǎn)A與原料供應(yīng)站B相距100km，在鐵道線外有一

工廠C,且CA垂直于AB(如圖)且C,A相距20km已知汽車運(yùn)費(fèi)為m元的運(yùn)費(fèi)為n元t?km,火車(m?n)現(xiàn)準(zhǔn)備在A,B之間選一點(diǎn)D,向工廠修建一條馬路,使t?km原料供應(yīng)站B運(yùn)貨到工廠所用運(yùn)費(fèi)最省,問D應(yīng)選在何處?

解：設(shè)AD?x,則CD?400?x2,BD?100?x,

于是總運(yùn)費(fèi)y?m400?x2?n(100?x)(0?x?100)

y??mx?n400?x2400?x2，20nm2?n2

令y??0得唯一駐點(diǎn)：x?y???400m232?0

(400?x)20n可見:在距A點(diǎn)(km)處,修馬路至C可使總費(fèi)用最省。

22m?n

**7．由y?0,x?8,y?x圍成的曲線邊三角形OAB,這里A?(8,0)、B?(8,64).

2在曲邊OB上求一點(diǎn),使得過此點(diǎn)所作的y?x2的切線與OA,AB所圍成的三角形面積最大。

解：

設(shè)曲邊OB上任取一點(diǎn)為M?(x，x2)(0?x?8),則過該點(diǎn)的切線為：Y?x2?2x(X?x)

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x切線與x軸的交點(diǎn)P?(，0)與x?8的交點(diǎn)Q?(8，2x(8?x)?x2)2于是所圍的三角形PAQ的面積為：

1xxS?(8?)2x(8?x)?x2?(16?x)2(0?x?8)2243116S??x2?16x?64?(16?x)(16?3x)，唯一駐點(diǎn)x?，

443??S???3x?16S??2x?163?0

?16256??在點(diǎn)?，?處作切線，所圍面積最大.

39??

***8.探討方程x?5x?C?0實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).

解:設(shè)f(x)?x5?5x?C,則f(x)在(??,??)上可導(dǎo),且f?(x)?5(x4?1),

當(dāng)x?1時(shí),有f?(x)?0,所以f(x)?；當(dāng)x?1時(shí),有f?(x)?0,所以f(x)?,

所以f(x)有極大值f(?1)?C?4和極大值f(1)?C?4.

由于還有

5f(??)???,f(??)???,所以綜合起來有:

當(dāng)C?4時(shí),方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)C?4時(shí),方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)C?4時(shí),方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

第4章（之3）

第21次作業(yè)

教學(xué)內(nèi)容：§4.2函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)

1.填充題

**(1).曲線y?1?2x?3sinx的拐點(diǎn)是______________.

答案:(n?,1?2n?)(n?0,?1,?2,?3,?)

**(2)．設(shè)曲線y?ax?bx32.以點(diǎn)(1，3)為拐點(diǎn),則數(shù)組(a,b)?_________________答(a,b)?(?39，)22

**(3).f(x)?arctanx是區(qū)間_________上的凸函數(shù)；是區(qū)間_________上的凹函數(shù).

答案(??,0]，[0,??).說明:也可以填(??,0),(0,??).

55

2．選擇題**（1）函數(shù)y?x3?12x?1在定義區(qū)間內(nèi)（）

(A)單調(diào)增加(B)單調(diào)減少(C)是凹函數(shù)答：(A)

**（2）曲線(D)是凸函數(shù)

12，?)近鄰是（）e2e4A.凸的；B凹的；C左側(cè)近鄰?fù)?右側(cè)近鄰凹；y?x2lnx在點(diǎn)P?(D左側(cè)近鄰凹,右側(cè)的近鄰?fù)埂??1?1答(B).y??2xlnx?x,y???2lnx?3在?2，?4?連續(xù),y??(2)??1?0.根據(jù)連續(xù)

e?e?e函數(shù)的局部保號(hào)性可得結(jié)論.

**（3）曲線y?e?x2

的拐點(diǎn)狀況是（）

(A)沒有拐點(diǎn)；(B)有一個(gè)拐點(diǎn)；

(C)有兩個(gè)拐點(diǎn)；(D)有三個(gè)拐點(diǎn)。答：(C)

**3．求函數(shù)y?ln1?x2的凸凹區(qū)間和它圖形上的拐點(diǎn).

2解：?y??ln1?x?2?2x??????1?，

x2?1?x??2x?2x2?2xy?????1?x??1?x?222222，

?當(dāng)x??1或x?1時(shí)，f???0，

當(dāng)?1?x?1時(shí)，f???0.

?函數(shù)在區(qū)間??1,1?上是凸函數(shù)，在區(qū)間???,?1?，?1,???上是凹函數(shù).

?其圖形上的拐點(diǎn)為?1,ln2?，??1,ln2?.

?解：?y??2k?x?3??2x，y???4k?3x22***4．試決定常數(shù)k的值，使曲線y?kx2?3在拐點(diǎn)處的法線通過坐標(biāo)原點(diǎn).

??3，

令y???0?x??1，y?4k。此時(shí)，y???8k，?過拐點(diǎn)處的法線為

1?x?1?或y?4k?1?x?1?.y?4k?8k?8k2將?x,y???0,0?代入，解得k??.

82?

56

***5.證明:無論實(shí)數(shù)a,b取何值,曲線y?3x5?10x3?ax?b的三個(gè)拐點(diǎn)總在同一條直線上.

證明:y??15x4?30x2?a,y???60x3?60x?60x(x?1)(x?1).

當(dāng)x??1,或0?x?1時(shí),y???0；

當(dāng)?1?x?0,或x?1時(shí),y???0，

所以曲線有三個(gè)拐點(diǎn)：(?1,7?a?b),(0,b),(1,?7?a?b)，

它們都在直線y?(a?7)x?b上.

****6.若f??(x0)?0,f???(x0)?0,證明:點(diǎn)(x0,f(x0))必是曲線y?f(x)的拐點(diǎn).證明:不妨設(shè)f???(x0)?0,由三階導(dǎo)數(shù)的定義可知

x?x0limf??(x)?f??(x0)f??(x)?lim?f???(x0)?0,x?x0x?x0x?x0再根據(jù)局部保號(hào)性定理可知:???0,當(dāng)0?x?x0??時(shí),f??(x)與x?x0同號(hào),可知點(diǎn)(x0,f(x0))確是曲線y?f(x)的拐點(diǎn).

第4章（之4）第22次作業(yè)

教學(xué)內(nèi)容：§4.3.1曲率的概念§4.3.2曲率的計(jì)算公式§4.3.3曲率半徑

**1.曲線y?4ax?x2在點(diǎn)(a，3a)處的曲率為（）11(A),(B)a,(C),(D)2a

a2a答：(C)

2．填充題：

**（1）曲線y?x2?ex在點(diǎn)(0,1)處的曲率K?______和曲率半徑R?_______.答：K?4,R?

2**（2）拋物線y?x?4x?3在其頂點(diǎn)處的曲率K?______和曲率半徑R?_______.

21.4答：K?2,R?

1.222**（3）橢圓4x?y?4在點(diǎn)(0,2)處的曲率K?______和曲率半徑R?_______.

答：K?2,R?

1.257

?x?a?t?sint?,?(a?0)，在t?對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的曲率和曲率半徑.

2?y?a?1?cost?,d?a?1?cost??sint解：?y??，?d?a?t?sint??1?cost**3.求曲線?2?sint?cost?1?cost??sintd??2cost?cos2t?sin2t?1?cost?1?cost??，y?????3d?a?t?sint??a?1?cost?a?1?cost??sin0?0?1?12?1，y?????y???.?3t?t??aa?1?0?221?cos21y??2a??,R?22a.?K?334a1?y?22?1?12?2??

**4.求曲線xy?2在點(diǎn)?2,1?處的曲率.

2，x214?y???2y?x?2??，y???32xx1y??2??曲率為K?解：?y?

y??x?2?41?.82?1?y??322??1?2??1????????2???32?455.

y2x**5．證明曲線y?ach(a?0)在點(diǎn)(x,y)處的曲率半徑為R?.

aa1xch1ax1xaaK???證明：y??sh，y???ch，，32xaaay2x(1?sh2)2achaa1y2R??.

Ka**6．求曲線y?sinx(0?x??)上曲率半徑最小的點(diǎn)，并求出該最小值.

y??sinx解：K?，?331?(y?)22(1?cos2x)2??顯然x???時(shí)，分子最大，分母最小,曲線上曲率在點(diǎn)(,1)處有最大值，所以在此點(diǎn)有2258

Rmin?1.

第4章（之5）第23次作業(yè)

教學(xué)內(nèi)容：§4.4.5函數(shù)圖形的的描繪§4.5相關(guān)變化率

**1.曲線y?x3?1x?x3的漸近線的條數(shù)為（）

（A）2條；（B）3條；（C）4條；（D）5條.答：（C）

2．畫出以下函數(shù)的圖形**（1）y?x.21?x

解：y的定義域?yàn)???,???，且為奇函數(shù).y??1?x2?2x?x2222?1?x??1?x??2x?1?x??4x?1?x??1?x?y???

?1?x?222224?1?x2,令y??0，可知x??1為駐點(diǎn).

??2x?2x3?4x?4x3?1?x?23??6x?2x3?1?x?23?2xx?3x?3??1?x???23?

?3???.?令y???0，拐點(diǎn)為?0,0?，?3,??4???0?x?11x0y?0????y??0y拐點(diǎn)(0,0)單調(diào)增加凹函數(shù)極大值1?x?3??3?0拐點(diǎn)x?3??單調(diào)減少凸函數(shù)1單調(diào)減少凹函數(shù)2(3,3)4x?0，?有水平漸近線y?0.

x??1?x2y又?lim如圖示：

?3o3x

59

1.x12x3?122(x3?1)解：y??2x?2?，y???2?3?，23xxxxx(??,?1)-1(?1,0)011(0,3)3

22---0y?

0-++y??+

y單調(diào)減少拐點(diǎn)單調(diào)減少垂直單調(diào)減少3微小值

凸函數(shù)(?1,0)凹函數(shù)漸近線凸函數(shù)342**（2）y?x?(312,??)

++單調(diào)增加凸函數(shù)

limy??

x?0yx?0為垂直漸近線.-1o1x

*3*求曲線y?x?4x2?x的斜漸近線.解：x???時(shí)，k?lim?1y?5,h?lim(y?5x)?2;x???時(shí)，

x???xx???y??3,h?lim(y?3x)??2,

x???xx???所以斜漸近線有兩條y?5x?2和y??3x?2.

k?lim

3t?x?3??1?t*4*求曲線?2的斜漸近線.

3t?y??1?t3?解：x??等價(jià)于t??1，k?limy?limt??1，x??xt??13t2?3th?lim(y?x)?lim??1，

x??t??11?t3所以斜漸近線為x?y?1?0.

**5．設(shè)球的體積以常數(shù)速率變化，證明，其表面積的變化速率與半徑成反比。證：

dV?k。dt60

?V?43?R，S?4?R2，343dV4dR???3R2?對(duì)V??R兩邊求導(dǎo)，.

3dt3dtdR1dVk??.?dt4?R2dt4?R2dSdR?8?R?對(duì)S?4?R2兩邊求導(dǎo)，.dtdtdSk2k?8?R??.?dtR4?R2

**6.一小球從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā),沿著曲線y?f(x)[f(0)?0,往下滾,已知其鉛直速度與運(yùn)動(dòng)方向.解:由

f?(x)?0,f??(x)?0]

dy?C為常數(shù),求它在任一點(diǎn)M?(x,y)(x?0)處的運(yùn)動(dòng)速度dtdydxdx1dy?C?f?(x),可得??,所以

??dtdtdtf(x)dtf(x)dx2dy21)?()??C?1,dtdt[f?(x)]2dy?f?(x).而運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閠an??dx注意:這里常數(shù)C必定是一個(gè)負(fù)數(shù).

所以