第四章指數函數與對數函數4.5.3函數模型的應用池州一中王真

我們知道，函數是描述客觀世界變化規律的數學模型，不同的變化規律需要用不同的函數模型來刻畫．面臨一個實際問題，該如何選擇恰當的函數模型來刻畫它呢？溫故知新1、常用函數模型常用函數模型(1)一次函數模型y＝kx＋b(k，b為常數，k≠0)(2)二次函數模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)(3)指數函數模型y＝bax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)(4)對數函數模型y＝mlogax＋n(m，a，n為常數，m≠0，a>0且a≠1)(5)冪函數模型y＝axn＋b(a，b為常數，a≠0)(6)分段函數模型2、建立函數模型解決問題的基本過程例3、人口問題是當今世界各國普遍關注的問題．認識人口數量的變化規律，可以為制定一系列相關政策提供依據．早在1978年，英國經濟學家馬爾薩斯(T.R.Malthas，1766—1834)就提出了自然狀態下的人口增長模型y=y0ert，其中t表示經過的時間，y0表示t=0時的人口數，r表示人口的年平均增長率．典例解析（1）根據國家統計局網站公布的數據，我國1950年末、1959年末的人口總數分別為55196萬和67207萬，根據這些數據，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在1950～1959年期間的具體人口增長模型.我國1950年末、1959年末的人口總數分別為55196萬和67207萬.根據這些數據，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在1950~1959年期間的具體人口增長模型.分析:根據模型公式,關鍵要求y0和年平均增長率r.解：

(1)由題意知y0=55196，設1950~1959年期間我國人口的年平均增長率為r，根據馬爾薩斯人口增長模型，有由計算工具得因此我國在1950~1959年期間的人口增長模型為例3自然狀態下的人口增長模型y=y0ert，其中t表示經過的時間，y0表示t=0時的人口數，r表示人口的年平均增長率．例3自然狀態下的人口增長模型(2)利用(1)中的模型計算1951~1958年各年末的人口總數，查閱國家統計局網站公布的我國1951~1958年間各年末的實際人口總數，檢驗所得模型與實際人口數據是否相符.解：(2)分別取t=1，2，···，8，由y=55196e0.021876t

可得我國在1951~1958年間的各年末人口總數；查閱國家統計局網站，得到我國1951~1958年各年末的實際人口總數，如下表所示.年份19511952195319541955195619571958算得人口總數/萬5641757665589406024361576629386433065753實際人數總數／萬5630057482587966026661456628286456365994

根據1950~1959年我國人口總數的實際數據畫出散點圖，并畫出函數y=55196e0.021876t

(t∈[0，9]的圖象.由上表和上圖可以看出，所得模型與1950~1959年的實際人口數據基本吻合.ty1234567895000055000600006500070000O..........(3)以(1)中的模型作預測，大約在什么時候我國的人口總數達到13億？解：(3)將題意知y=130000，代入：由計算工具得：

所以，如果人口按照(1)中的模型增長，那么大約在1950年后的第40年(即1990年)，我國的人口就已達到13億.例3自然狀態下的人口增長模型思考？事實上,我國1990年的人口數為11.43億,直到2005年才突破13億.對由函數模型所得的結果與實際情況不符,你有何看法？

因為人口基數較大,人口增長過快,與我國經濟發展水平產生了較大矛盾，所以我國從20世紀70年代逐步實施了計劃生育政策.因此這一階段的人口增長條件并不符合馬爾薩斯人口增長模型的條件，自然就出現了依模型得到的結果與實際不符的情況．例42010年,考古學家對良渚古城水利系統中一條水壩的建筑材料(草裹泥)上提取的草莖遺存進行碳14年代學檢測,檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2％,能否推斷此水壩大概是什么年代建成的？分析:∵死亡生物機體內碳14的初始量按確定的衰減率衰減，屬于指數衰減，y=k(1-p)x

(k∈R且k≠0;0<p<1；

x≥0)．由碳14的半衰期為5730年,得∴所以應選擇函數y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)建立數學模型．解：設樣本中碳14的初始量為k，衰減率為p(0<p<1)，經過x年后，殘余量為y．根據問題的實際意義，可選擇如下模型：于是

，所以

由樣本中碳14的殘余量約為初始量的55.2％可知，即

解得

．由計算工具得x≈4912．因為2010年之前的4912年是公元前2903年，所以推斷此水壩大概是公元前2903年建成的．歸納總結[規律方法]已知函數模型解決實際問題，往往給出的函數解析式含有參數，需要將題中的數據代入函數模型，求得函數模型中的參數，再將問題轉化為已知函數解析式求函數值或自變量的值.當堂達標1、一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關于時間t變化的圖象如圖所示，那么圖象所對應的函數模型是(

)A．分段函數B．二次函數C．指數函數 D．對數函數A由圖可知，該圖象所對應的函數模型是分段函數模型．2、若鐳經過100年后剩留原來質量的95.76%，設質量為1的鐳經過x年后剩留量為y，則x，y的函數關系是(

)A解：由題意可知3.大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產地產卵.記鮭魚的游速為v(單位:m/s),鮭魚的耗氧量的單位數為Q,研究中發現v與

成正比,且當Q=900時,v=1.(1)求出v關于Q的函數解析式;(2)計算一條鮭魚的游速是1.5m/s時耗氧量的單位數;(3)一條鮭魚要想把游速提高1m/s,其耗氧量的單位數應怎樣變化?故一條鮭魚的游速是1.5m/s時的耗氧量為2700個單位.(3)設鮭魚耗氧量為Q1,Q2時,游速分別為v1,v2,故鮭魚要想把游速提高1

m/s,其耗氧量單位數應變為原來的9倍.

解函數的應用問題，一般地可按以下四步進行：第一步：閱讀理解，認真審題第二步：引進數學