§1.4獨立性與貝努里試驗模型兩個事件的獨立性多個事件的獨立性相互獨立性的性質貝努里（Bernoulli)試驗模型顯然P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發生,并不影響事件A發生的概率.一、兩事件的獨立性A={第二次擲出6點}，B={第一次擲出6點}，先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設

由乘法公式知，當P(A|B)=P(A)時，

P(AB)=P(A)P(B)此時，也有B發生與否都不影響A發生的概率，此時稱A、B獨立因此，當事件A、B獨立時，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)則稱A、B相互獨立，簡稱A、B獨立.兩事件獨立的定義注：必然事件S與任意隨機事件A相互獨立；不可能事件Φ與任意隨機事件A相互獨立．在實際應用中,往往根據問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立.

由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認為A、B獨立.甲、乙兩人向同一目標射擊,記A={甲命中},B={乙命中}，A與B是否獨立？例如（即一事件發生與否并不影響另一事件發生的概率）

一批產品共n件，從中抽取2件，設

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,則A1與A2獨立.因為第二次抽取的結果受到第一次抽取的影響.又如：因為第二次抽取的結果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立.請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？

即若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨立.反之，若A與B獨立，且P(A)>0,P(B)>0,則A

、B不互斥.而P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不獨立我們來計算：P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即

互不相容與相互獨立不能同時成立。設A、B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結論中，正確的是：前面我們看到獨立與互斥的區別和聯系，1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)設A、B為獨立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結論中，正確的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再請你做個小練習.=P(A)[1-P(B)]=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-A

B)A、B獨立概率的性質=P(A)-P(A)P(B)僅證A與獨立定理2

若兩事件A、B獨立,則

也相互獨立.證明=P(A)P()故A與獨立二、多個事件的獨立性四個等式同時成立,則稱事件A、B、C相互獨立.A、B、C兩兩相互獨立注意：在三個事件獨立性的定義中，四個等式是缺一不可的．即：前三個等式的成立不能推出第四個等式的成立；反之，最后一個等式的成立也推不出前三個等式的成立．反例1袋中裝有4個外形相同的球，其中三個球分別涂有紅、白、黑色，另一個球涂有紅、白、黑三種顏色．現從袋中任意取出一球，令：

A={取出的球涂有紅色}B={取出的球涂有白色}C={取出的球涂有黑色}

則：由此可見但是這表明，A、B、C這三個事件是兩兩獨立的，但不是相互獨立的．反例2均勻正八面體，1,2,3,4面涂有紅色，1,2,3,5面涂有白色,1,6,7,8面涂有黃色。擲正八面體，觀察底面的顏色。設事件A表示底面涂有紅色事件，事件B表示底面涂有白色，事件C表示底面涂有黃色。P(A)=P(B)=P(C)=1/2,P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C)P(AB)=3/8P(A)P(B)，P(AC)=1/8P(A)P(C)，P(BC)=1/8P(B)P(C)由第四個等式也推不出前三個等式。請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立的區別與聯系兩兩獨立相互獨立對n(n>2)個事件?注意:

從直觀上講,n個事件相互獨立就是其中任何一個事件出現的概率不受其余一個或幾個事件出現與否的影響.三、相互獨立事件的性質性質3

如果n個事件相互獨立，則有

性質2如果n個事件相互獨立，即令，則性質1如果n個事件相互獨立，則個事件也相互獨立。將其中任何例1：設每個人的血清中含肝炎病毒的概率為0.4%,求來自不同地區的100個人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率.解:設這100個人的血清混合液中含有肝炎病毒為事件A，第i個人的血清中含有肝炎病毒為事件Ai(i=1,2,…,100).則若Bn表示n個人的血清混合液中含有肝炎病毒，則——不能忽視小概率事件,

小概率事件遲早要發生即例3已知事件A,B,C

相互獨立,證明:事件與也相互獨立.證純、純、純純、純、純接受不純、純、純純、純、純接受不純、純、不純純、純、純接受都不純純、純、純接受H0H1H2H3pppqqqqqqppp

一個元件(或系統)能正常工作的概率稱為元件(或系統)的可靠性.系統由元件組成,常見的元件連接方式：串聯并聯1221

系統的可靠性問題例5設兩系統都是由

4個元件組成,每個元件正常工作的概率為

p,每個元件是否正常工作相互獨立.兩系統的連接方式如下圖所示，比較兩系統的可靠性.A1A2B2B1S1:A1A2B2B1S2:

三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解將三人編號為1，2，3，所求為記Ai={第i個人破譯出密碼}i=1