第十一章三角形課題：三角形的邊1．認識三角形的邊、內角、頂點，能用符號語言表示三角形．了解三角形的分類．2．掌握判斷三條線段可否構成一個三角形的方法．3．通過度量三角形的邊長，理解三角形三邊間的不等關系．重點：理解三角形三關系．難點：三角形三邊的運用．一、情景導入，感受新知三角形是一種最常見的幾何圖形，[投影]如古埃及金字塔，香港中銀大夏，交通標志等等，處處都有三角形的形象．那么什么叫做三角形呢？二、自學互研，生成新知【自主探究】(一)閱讀教材P2思考之前部分，完成下面的內容：歸納：1.三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．2．邊：如圖，線段AB、BC、CA是三角形的邊．3．頂點：點A、B、C是三角形的頂點．4．內角：相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內角，簡稱三角形的角．5．三角形的讀法：如圖，頂點是A、B、C的三角形，記作△ABC，讀作“三角形ABC”．(二)閱讀教材P2思考至P3探究之前部分，完成下面的內容：歸納：1.三角形按邊的關系可以如下分類：eq\a\vs4\al\co1(三角形)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(不等邊三角形,等腰三角形\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(底和腰不相等的等腰三角形,等邊三角形))))2．在等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰之間的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．【合作探究】1．下列說法正確的是(B)A．所有的等腰三角形都是銳角三角形B．等邊三角形屬于等腰三角形C．不存在既是鈍角三角形又是等腰三角形的三角形D．一個三角形有兩個銳角，則一定是銳角三角形2．以下長度的三條線段為邊，哪些可以構成三角形，哪些不能構成三角形？(1)6，8，10(2)3，8，11(3)3，4，11(4)長度比為4：6：7由學生搶答完成，再由教師總結歸納。eq\a\vs4\al(師生活動)①明了學情：觀察了解學生是否會判斷三條線段能否構成三角形．②差異指導：根據學情對學生進行分層指導．③生生互助：同桌間，小組內交流討論．三、典例剖析，運用新知【合作探究】例：用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形．(1)如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少？(2)能圍成有一邊長度為4cm的等腰三角形嗎？為什么？分析：(1)等腰三角形三邊的長是多少？若設底邊長為xcm，則腰長是多少？(2)“邊長為4cm”是什么意思？解：(1)設底邊長為xcm，則腰長為2xcm.x＋2x＋2x＝18解得：x＝3.6所以。三邊長分別為3.6cm，7.2cm，7.2cm.(2)如果長為4cm的邊為底邊，設腰長為xcm，則4＋2x＝18.解得x＝7.如果長為4cm的邊為腰，設底邊長為xcm，則2×4＋x＝18.解得x＝10.因為4＋4＜10，出現兩邊的和小于第三邊的情況，所以不能圍成腰長是4cm的等腰三角形．由上討論可知，可以圍成底邊長是4cm的等腰三角形．eq\a\vs4\al(師生活動)①明了學情：學生小組合作解決，教師巡查全班，了解學生的困惑．②差異指導：根據學情，適時對學生進行指導、點撥．③生生互助：小組內交流合作，相互解疑釋難．四、課堂小結，回顧新知1．三角形及有關概念．2．三角形的分類：三角形eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直角三角形,斜三角形\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(銳角三角形,鈍角三角形))))3．三角形三邊關系及其應用．五、檢測反饋、落實新知1．△ABC中，AB＝AC＝2BC，若BC＝6，則周長為30°．2．已知三角形兩邊分別為2和7，第三邊c的取值范圍是5＜c＜9．3．等腰三角形的兩邊長為2cm和5cm，則這個等腰三角形的周長是12cm．4．如圖三角形的個數是(D)A．2個B．3個C．4個D．5個六、課后作業：鞏固新知課題：三角形的高、中線與角平分線1．掌握三角形的高、中線、重心與角平分線．2．準確畫出三角形的高、中線與角平分線．重點：三角形的高、中線與角平分線的特征．難點：三角形的高、中線與角平分線的應用．一、情景導入，感受新知問題1：如圖，已知△ABC，畫它的三條高．問題2：如何畫線段AB的中點？問題3：如何畫∠ACB的角平分線？二、自學互研，生成新知【自主探究】(一)閱讀教材P4標題11.1.2下第1段話，完成下面的內容：(1)從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，點D是垂足，AD是△ABC的一條高．(2)準備一個銳角三角形的紙片．你能畫出這個三角形的三條高嗎？你能用折紙的方法得到它們嗎？這三條高分別位于三角形的什么位置？三角形的邊上？內部？外部？歸納：銳角三角形的高都在三角形的內部；鈍角三角形的高有兩條在三角形的外部；直角三角形的高有兩條恰好是三角形的兩條直角邊．(二)閱讀教材P4標題11.1.2下第2段話～P5第1段話，完成下面的內容：歸納：在三角形中，連接一個頂點與它對邊的中點的線段，叫做這個三角形的中線．三角形三條中線的交點叫做三角形的重心．(三)閱讀教材P5練習前的最后一段話，完成下面的內容：問題：準備一個三角形紙片ABC，按圖所示的方法折疊，展開后，折痕BD把∠ABC分成∠1和∠2兩部分．觀察∠1和∠2有什么關系？線段BD又屬于△ABC的什么線呢？eq\a\vs4\al(師生活動)①明了學情：觀察學生動手操作，了解學生操作中的錯誤作法．②差異指導：提醒學生利用工具正確操作．③生生互助：讓學生觀察、討論、經歷知識的發展形成過程．三、典例剖析，運用新知【合作探究】例1：畫△ABC邊上的高，正確的是()．解：根據高的畫法可知，畫△ABC的BC邊上的高，即過點A作BC邊的垂線，故選C.例2：在△ABC中，AD為BC邊的中線，若△ABD與△ADC的周長差為為3，AB＝9，則AC＝________．解：∵AD為BC邊上的中線，∴BD＝CD，∵△ABD與△ADC的周長差＝(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC，∵△ABD與△ADC的周長差為3，AB＝8，∴8－AC＝3，解得AC＝5.故答案為：5.eq\a\vs4\al(師生活動)①明了學情：觀察學生在解答時出現的錯誤，了解學生對本節知識的理解情況．②差異指導：巡視全班，適時對有困難的學生給予提示．③生生互助：學生小組內交流，相互解疑釋難，體驗發現快樂．四、課堂小結，回顧新知師生合作共同完成下表：三角形的重要線段意義圖形表示法三角形的高線從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段1.AD是△ABC的BC上的高線．2．AD⊥BC于D.3．∠ADB＝∠ADC＝90°.三角形的中線三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段1.AE是△ABC的BC上的中線．2．BE＝EC＝eq\f(1,2)BC.續表：三角形的重心三角形三條中線的交點CF、AD、BE分別是△ABC的AB、BC、AC的中線.三角形的角平分線三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角頂點與交點之間的線段1.AM是△ABC的∠BAC的平分線．2．∠1＝∠2＝eq\f(1,2)∠BAC.五、檢測反饋，落實新知1．在下列各圖的△ABC中，正確畫出AC邊上的高的圖形是(C)2．能把三角形的面積分成兩個相等部分的三角形中的線段是(A)A．中線B．高C．角平分線D．以上三種情況都正確3．如圖所示，CD是△ABC的中線，AC＝9cm，BC＝3cm，那么△ACD和△BCD的周長差是__6__cm.,(第3題圖)),(第4題圖))4．如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，則∠BDC的度數是(A)A．85°B．80°C．75°D．70°課后作業：鞏固新知課題：三角形的穩定性1．讓學生知道三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性．2．讓學生理解三角形的穩定性和四邊形的不穩定性．重點：了解三角形的穩定性在生產、生活中的實際應用．難點：準確使用三角形的穩定性于生產、生活之中．一、情景導入，感受新知蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常在窗框上斜釘一根木條，為什么要這樣做呢？二、自學互研，生成新知【自主探究】閱讀教材P6“探究”～P7，完成下面的內容：1．如教材P6圖11.1－7(1)將三根木條用釘子釘成一個三邊形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？答：不改變，這說明三角形具有穩定性．2．如教材P6圖11.1－7(2)，將四根木條用釘子釘成一個四邊形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？答：改變，這說明四邊形沒有穩定性．3．如教材P6圖11.1－7(3)，在四邊形木架上再釘一根木條，將它的一對頂點連接起來，然后再扭動它，這時木架的形狀還會改變嗎？你從這個例子知道怎樣防止四邊形的不穩定性？答：不改變．我們可以通過將四邊形變成三角形來防止四邊形的不穩定性．歸納：三角形具有穩定性，四邊形具有不穩定性．eq\a\vs4\al(師生活動)①明了學情：學生自主探究，老師巡查全班，了解學生自主學習情況．②差異指導：根據學情對學困生適時點撥．③生生互助：對感到困惑的地方，同桌交流討論．三、典例剖析，運用新知【合作探究】1．下列圖形具有穩定性的是(C)A．長方形B．菱形C．鈍角三角形D．等腰梯形2．下列圖形具有穩定性的有(C)A．1個B．2個C．3個D．4個3．下列圖形哪些具有穩定性？對不具有穩定性的圖形，請適當地添加線段，使之具有穩定性．圖形1、4、6具有穩定性．4．如圖，說說哪些應用了三角形的穩定性，哪些應用了四邊形的不穩定性．解：應用了三角形穩定性的有：鋼架橋、起重機、屋頂鋼架；應用了四邊形不穩定性的有：活動滑門．eq\a\vs4\al(師生活動)①明了學情：學生先自主完成，老師巡視全班，了解學生對“三角形的穩定性”理解情況．②差異指導：對學生感到困惑的地方分層給予點撥．③生生互助：先獨做，然后小組交流討論促進學生對新知理解與應用．四、課堂小結，回顧新知問題1：本節課你學習了什么？問題2：本節課你有哪些收獲？問題3：通過今天的學習，你想進一步探究的問題是什么？五、檢測反饋，落實新知1．如圖，為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門的背面加釘了一根木條，這樣做的道理是三角形具有(A)A．穩定性B．全等性C．靈活性D．對稱性2．下列圖形中，不具有穩定性的是(B)3．如圖所示，一扇窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，這里所運用的幾何原理是(A)A．三角形的穩定性B．兩點之間線段最短C．兩點確定一條直線D．垂線段最短,第3題圖),第4題圖)4．工人師傅在安裝木制門框時，為防止變形常常像圖中所示，釘上兩條斜拉的木條，這樣做的原理是根據三角形的穩定性．六、課后作業：鞏固新知課題：三角形的內角和1．探索并掌握三角形內角和定理．2．學會運用三角形內角和定理．重點：三角形內角和定理．難點：三角形內角和定理的推導過程．一、情景導入，感受新知在小學我們已經知道任意一個三角形三個內角的和等于180°，你還記得是怎么發現這個結論的嗎？請大家利用手中的三角形紙片進行探究．圖1、圖2、圖3、圖4是利用剪圖、拼圖的方法得到的．圖5是利用折疊的方法得到的．學生可能有其他的剪拼圖的方法．二、自學互研，生成新知【自主探究】閱讀教材P11～P12“三角形內角和定理……”之前部分，看圖，完成下面的內容：把一個三角形的兩個角剪下拼在第三個角的頂點處，如圖用量角器量出∠BCD的度數，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.[投影]已知：△ABC(如圖)．求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.證明：如圖，過點A作直線l，使l∥BC.∵l∥BC，∴∠2＝∠4(兩直線平行，內錯角相等)．同理∠3＝∠5.∵∠1，∠4，∠5組成平角，∴∠1＋∠4＋∠5＝180°(平角定義)．∴∠1＋∠2＋∠3＝180°(等量代換)．【合作探究】你還能想出其他解法嗎？也可以在三角形的一邊上任取一點，然后過這一點分別作另外兩邊的平行線，這樣也可證出定理．證明：如圖，在BC上任取一點D，過點D分別作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.∴∠BDF＝∠C(兩直線平行，同位角相等)．∴∠EDC＝∠B(兩直線平行，同位角相等)．∴∠EDF＝∠A(平行四邊形的對角相等)．∵∠BDF＋∠EDF＋∠EDC＝180°(1平角＝180°)，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°(等量代換)．eq\a\vs4\al(師生活動)①明了學情：學生自主探究，教師巡視全班，了解學生的疑惑．②差異指導：根據學情，對學生進行分層指導．③生生互助：學生先自主學習，在同桌或小組內交流．三、典例剖析，運用新知【合作探究】例：如圖是A、B、C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？分析怎樣能求出∠ACB的度數？根據三角形內角和定理，只需求出∠CAB和∠CBA的度數即可，∠CAB等于多少度？怎樣求∠CBA的度數？解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°.∵AD∥BE，∴∠BAD＋∠ABE＝180°，∴∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，∴∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝180°－40°＝60°，∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°.eq\a\vs4\al(師生活動)①明了學情：學生小組內交流討論，教師巡視全班．②差異指導：對學生存在疑惑的地方，引導學生解決．③生生互助：學生小組內交流討論，互相釋疑解惑．四、課堂小結，回顧新知1．本節課學習了哪些主要內容？2．為什么要用推理的方法證明“三角形的內角和等于180°”？3．你是怎么找到三角形內角和定理的證明思路的？4．你是如何探索直角三角形的性質與判定的？它們是怎么敘述的？它們有什么區別與聯系？五、檢測反饋，落實新知1．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，點D在AC邊上，DE∥BC，若∠1＝155°，則∠B的度數為65°．第1題圖第2題圖2．如圖，∠A＝40°，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝280°．3．如圖，點E是△ABC中AC邊上的一點，過E作ED⊥AB，垂足為D.若∠1＝∠2，則△ABC是直角三角形嗎？為什么？解：△ABC是直角三角形．理由如下：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，△ADE是直角三角形，∴∠1＋∠A＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠A＝90°.∴△ABC是直角三角形．六、課后作業：鞏固新知(見學生用書)課題：直角三角形1．了解直角三角形兩個銳角的關系．2．掌握直角三角形的判定．重點：直角三角形兩個銳角的關系及直角三角形的判定．一、情景導入，感受新知內角三兄弟之爭在一個直角三角形里往著三個內角，平時，它們三兄弟非常團結，可是有一天，老二突然不高興，發起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數最大，我也要和你一樣大！”“不行??！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起來了……”“為什么？”老二很納悶．同學們，你們知道其中的道理嗎？二、自學互研，生成新知【自主探究】(一)閱讀教材P13，完成下面的內容：1．直角三角形的兩個銳角有什么關系？2．直角三角形如何表示？如圖，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于點E，∠CAE與∠DBE有什么關系？為什么？解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED.∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE.(二)閱讀教材P14，完成下面的內容：1．在一個三角形中，若有兩個角互余，則這兩個角之和為90°，由三角形內角和定理，第三個角的度數為：180°－90°＝90°，所以該三角形為直角三角形．2．如圖，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形嗎？為什么？解：△ADE是直角三角形．證明：略．eq\a\vs4\al(師生活動)①明了學情：學生自主探究，教師巡視全班，了解學生的困惑．②差異指導：根據學情，對學生的困惑，適時點撥．③生生互助：小組或同桌交流，相互釋疑解惑．三、典例剖析，運用新知【合作探究】例1：如圖，將兩個完全相同的直角三角形疊放，使一個三角形的銳角頂點與另一個三角形的直角頂點重合，另外B，C，D三點在一條直線上．請問：重疊部分的三角形是直角三角形嗎？為什么？解：是直角三角形．理由如下：根據題意可知，∠A＝∠EBD，∠A＋∠ACB＝90°，∴∠EBD＋∠ACB＝90°.∴∠BFC＝90°.∴△BFC是直角三角形．例2：根據下列條件，判斷△ABC是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形？(1)∠A＝∠B，∠C＝40°；(2)∠B＝∠C＝30°；(3)∠A＝75°，∠B＝15°.解：(1)∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形內角和定理)，∠C＝40°，∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝eq\f(180°－∠C,2)＝eq\f(180°－40°,2)＝70°，∴△ABC中的最大角為70°.∴△ABC是銳角三角形．(2)在△ABC中，∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－30°＝120°，∴△ABC中最大角是120°，∴△ABC是鈍角三角形．(3)在△ABC中，∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－75°－15°＝90°，∴△ABC中最大角為90°.∴△ABC是直角三角形．eq\a\vs4\al(師生活動)①明了學情：學生自主探究，教師巡視全班，了解學生的困惑．②差異指導：根據學情，對學生的困惑，適時點撥．③生生互助：小組或同桌交流，相互釋疑解惑．四、課堂小結，回顧新知1．直角三角形兩銳角的關系：__互余__．2．直角三角形的判定方法：__證明有一個內角為90°__．五、檢測反饋，落實新知1．如圖，直線a⊥直線c，若∠1＝70°，則∠2＝(C)A．70°B．110°C．20°D．30°第1題圖第2題圖2．如圖，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，則∠2的度數是(B)A．40°B．50°C．60°D．140°3．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.(1)求∠BAE和∠DAE的度數．(2)若∠C－∠B＝α(∠C＞∠B)，求∠DAE的度數．(用含α的代數式表示)解：(1)如圖，∵在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－30°＝80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(1,2)×80°＝40°；∵AD⊥BC，∠B＝70°，∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°，∵∠BAE＝40°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°.(2)∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝eq\f(1,2)(180°－∠B－∠C)，∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°－∠B，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝(90°－∠B)－eq\f(1,2)(180°－∠B－∠C)＝eq\f(1,2)(∠C－∠B)＝eq\f(1,2)α.六、課后作業：鞏固新知課題：三角形的外角1．引導學生探索并了解三角形外角的性質．2．讓學生學會用學過的定理證明此性質．重點：三角形外角的性質和三角形外角和．難點：三角形外角性質和定理的探究及應用．一、情景導入，感受新知[投影1]如圖，△ABC的三個內角是什么？它們有什么關系？是∠A、∠B、∠C，它們的和是180°.若延長BC到D，則∠ACD是什么角？這個角與△ABC的三個內角有什么關系？二、自學互研，生成新知【自主探究】(一)閱讀教材P14標題11.2.2下的內容，完成下面的內容：1．什么是三角形的外角？三角形的外角與相鄰內角有什么位置關系和數量關系？2．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，則△ABC的外角∠BCD＝110°．(二)合作探究直接根據圖示填空：(1)∠α＝100°；(2)∠α＝60°；(3)∠α＝35°．2.如圖，已知DE分別交△ABC的邊AB、AC于D、E，交BC的延長線于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度數．解：∠BDF的度數是87°.三、典例剖析，運用新知【合作探究】例1：課件展示教材第15頁例4：如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多么？解法一：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋∠2.所以∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)．由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°.解法二：∵∠BAE＋∠1＝180°，∠CBF＋∠2＝180°，∠ACD＋∠3＝180°，∴∠BAE＋∠1＋∠CBF＋∠2＋∠ACD＋∠3＝180°×3＝540°.又∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°.歸納：三角形的外角和為__360°__．例2：如圖所示，△ABC中，BD、CD分別是∠ABC、∠ACB的外角平分線，∠A＝100°，求∠D的度數．解：∵BD平分∠FBC，∴∠FBC＝2∠2，同理∠ECB＝2∠3，又∵∠FBC＝∠A＋∠ACB，∠ECB＝∠A＋∠ABC，∴∠FBC＋∠ECB＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC，2∠2＋2∠3＝∠A＋180°.又∵∠A＝100°，∴∠2＋∠3＝140°，∴∠D＝180°－∠2－∠3＝40°.eq\a\vs4\al(師生活動)①明了學情：學生合作探究，教師巡視全班．②差異指導：對學習有困難的學生適時點撥．③生生互助：學生小組合作，同桌、同組間交流、討論，相互釋疑解惑．四、課堂小結，回顧新知1．本節課所學的知識是三角形的外角性質．2．本節課所學到的數學思想方法是：數形結合法．3．本節課所運用到的方法是：實踐探究．五、檢測反饋1．如圖，AB∥CD，∠A＝60°，若∠C＝eq\f(1,2)∠E，則∠C＝20°．2．如圖，寫出∠α的度數．(1)∠α＝65°，(2)∠α＝70°，(3)∠α＝48°．3．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CE分別是AC、AB上的高，H是BD、CE的交點，求∠BHC的度數．解：在△ACE中，∠ACE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.而∠BHC是△HDC的外角，所以∠BHC＝∠HDC＋∠ACE＝90°＋30°＝120°.六、課后作業：鞏固新知課題：多邊形1．了解多邊形及其相關概念，感悟類比方法的價值．2．讓學生學會判斷一個圖形是否是凸多邊形．重點：了解多邊形及其概念，理解正多邊形及其概念．難點：獲得將多邊形分割成三角形來解決問題的思路，確定分割后的三角形個數．一、情景導入，感受新知1．什么是三角形？怎樣表示？2．什么是三角形的邊，角以及外角？3．投影：圖形見教材第19頁圖．師：你能從投影里找出幾個由一些線段圍成的圖形嗎？師生活動：上面三圖讓學生邊看邊議．在學生議論的基礎上，老師給以總結，這些線段圍成的圖形有何特性？(1)它們在同一平面內．(2)它們是由不在同一條直線上的幾條線段首尾順次相接組成的．這些圖形中有三角形、四邊形、五邊形、六邊形、八邊形、那么什么叫做多邊形呢？前面我們已經研究過三角形的有關概念、性質，那么多邊形的概念和性質是什么呢？它們和三角形中的有關概念和性質是否有相似之處呢？讓我們一起來探究一下．二、自學互研，生成新知【自主探究】(一)閱讀教材P19～P20，完成下面的內容：歸納：1.多邊形：在同一平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．2．n邊形：如果一個多邊形由n條線段組成，那么這個多邊形就叫做n邊形．3．多邊形的內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內角．4．多邊形的外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角．5．多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．6．凸多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形就是凸多邊形．(二)閱讀教材P20最后一段內容，完成下面的內容：歸納：正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．【合作探究】仔細思考，完成下表．名稱四邊形五邊形六邊形n邊形圖形從一個頂點出發所能作的對角線條數123n－3過一個頂點的對角線把多邊形分成的三角形的個數234n－2圖形的對角線總條數259eq\f(n（n－3）,2)歸納：從n邊形的一個頂點可以作(n－3)條對角線，所以n邊形中共有eq\f(1,2)n(n－3)條對角線．三、典例剖析，運用新知【合作探究】例1：有一根長為32cm的鐵絲，請你按下列要求，彎成一個長方形或正方形，并分別計算它們的面積：(1)長為10cm，寬為6cm；(2)長為9cm，寬為7cm；(3)長為8cm，寬為8cm.你會發現在長與寬的變化過程中，其面積有什么規律？根據這一規律，請將總長為100m的籬笆圍成一個面積盡可能大的長方形或正方形．解：(1)面積為60cm2；(2)面積為63cm2；(3)面積為64cm2.隨著長與寬的差越來越小，其面積越來越大；將100m的籬笆圍成一個邊長為25m的正方形，其面積最大，約為625m2.例2：一個正多邊形的一個內角的度數比相鄰外角的6倍還多12°，求這個正多邊形的內角和．解：設這個正多邊形的一個外角的度數為x，根據題意得180°－x＝6x＋12°，解得x＝24°，所以這個正多邊形數＝360°÷24°＝15，所以這個正多邊形的內角和＝(15－2)×180°＝2340°.四、課堂小結，回顧新知1．在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．2．多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內角，多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角．3．連接不相鄰兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．4．凸多邊形與凹邊形．5．各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．五、檢測反饋，落實新知1．四邊形有2條對角線，五邊形有5條對角線，十邊形有35條對角線．2．下列圖形中不可能是正多邊形的是(D)A．三角形B．正方形C．四邊形D．梯形3．一個多邊形共有9條對角線，那么這個多邊形的邊數是(B)A．5B．6C．7D．8課后作業：鞏固新知課題：多邊形的內角和1．通過不同方法探索多邊形的內角和與外角和公式．2．學會應用多邊形的內角和與外角和公式進行有關計算．重點：多邊形的內角和及外角和公式．難點：多邊表內角和公式的推導及其運用．一、情景導入，感受新知1．我們知道三角形的內角和為180°．2．我們還知道，正方形的四個角都等于90°，那么它的內角和為360°，同樣長方形的內角和也是360°.3．正方形和長方形都是特殊的四邊形，其內角和為360°，那么一般的四邊形的內角和為多少呢？多邊形的內角和又是多少呢？二、自學互研，生成新知【自主探究】(一)閱讀教材P21～P22，完成下面的內容：思考幾個問題：(1)從四邊形的一個頂點出發可以引幾條對角線？它們將四邊形分成幾個三角形？那么四邊形的內角和等于多少度？答：可以引一條對角線，將四邊形分成兩個三角形，所以四邊形的內角和為360°.(2)從五邊形一個頂點出發可以引幾條對角線？它們將五邊形分成幾個三角形？那么五邊形的內角和為多少度？答：可以引兩條對角線，將五邊形分成3個三角形，所以五邊形內角和為540°.【合作探究】從n邊形的一個頂點出發，可以引幾條對角線？它們將n邊形分成幾個三角形？n邊形的內角和等于多少度？答：可以引(n－3)條對角線，將n邊形分成(n－2)個三角形，內角和度數為(n－2)·180°.歸納：設多邊形的邊數為n，則n邊形的內角和等于(n－2)·180°．補充例題：求十五邊形內角和的度數．1．教師提出問題，學生思考后分組活動．2．教師深入小組，參與小組活動，及時了解學生探索的情況．3．讓學生歸納借助輔助線將五邊形分割成三角形的不同分法．4．探究五邊形的邊數與所分割的三角形個數間的關系，進而得出五邊形內角和與邊數的關系．5．根據以上分割三角形的方法，引導學生歸納n邊形內角和公式及不同公式間的聯系，指明為了書寫整齊，便于記憶，我們選擇(n－2)×180°這個公式．(二)閱讀教材P22～P23回答下列問題：1．n邊形的每一個外角與它相鄰的內角之和是多少度？答：180°.2．n邊形的內角和與外角和加起來等于多少度？答：n·180°.3．n邊形的內角和公式是(n－2)·180°，所以n邊形的外角和等于n·180°－(n－2)·180°＝360°．三、典例剖析，運用新知[投影6]例1：如圖一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？如圖，已知四邊形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B與∠D的關系．分析∠A、∠B、∠C、∠D有什么關系？解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，∠A＋∠C＝180°，∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝180°.這就是說，如果四邊形一組對角互補，那么另一組對角也互補．[投影7]例2：如圖，在六邊形的每個頂點各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和．六邊形的外角和等于多少？如圖，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分別為六邊形ABCDEF的外角，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的值．分析多邊形的一個外角同與它相鄰的內角有什么關系？六邊形的外角和是多少度？解：∵∠1＋∠BAF＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°，∠5＋∠DEF＝180°，∠6＋∠EFA＝180°，∴∠1＋∠BAF＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEF＋∠6＋∠EFA＝6×180°.又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝4×180°，∴∠BAF＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEF＋∠EFA＝6×180°－4×180°＝360°.這就是說，六邊形的外角和為360°.eq\a\vs4\al(師生活動)①明了學情：學生獨立完成，教師巡視全班．②差異指導：組織學生觀察、類比、推理，有針對性進行分層點撥．③生生互助：學生先在小組內交流，然后全班展示．四、課堂小結，回顧新知1．這節課我們主要探究學習了兩個知識點：多邊形的內角和與外角和公式．2．通過這節課的學習，我們還要積累一些解題經驗．想一想，在哪些方面可以積累一些經驗呢？生：在探究時，多邊形的問題可以轉化為三角形問題來解決．師：利用多邊形的內角和公式可以解決什么問題？生：可以解決多邊形的內角和及邊數．師：利用多邊形的外角和可以解決什么問題？生：可以解決多邊形的內角和及邊數．師：能嗎？生：正多邊形的．五、檢測反饋、落實新知1．求下列圖形中x的值．解：(1)如圖知，該圖為五邊形．內角和為(5－2)×180°＝540°，60°＋4x°＝540°，x°＝120°，x＝120；(2)如圖，該圖形為五邊形，內角和為(5－2)×180°＝540°，150°＋135°＋60°＋(180°－60°)＋x°＝540°，∴x°＝75°.2．某多邊形的內角和與外角的和為2160°，求此多邊形的邊數．解：設此多邊形數為n.(n－2)×180°＋360°＝2160°，n＝12，∴此多邊形有12條邊．3．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B，∠C＝∠D，試判斷AB與CD的位置關系并說明理由．解：AB與CD平行．理由：在四邊形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，∴2(∠A＋∠D)＝360°，2(∠B＋∠C)＝360°.∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C＝180°，∴AB∥CD.第3題圖第4題圖4．如圖，在四邊形ABCD中，∠A與∠C的兩邊互相垂直，且∠C與∠A相差58°，求這兩個角的度數．解：在四邊形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∵∠D＝∠B＝90°，∴∠A＋∠C＋180°＝360°.又∵∠C＝∠A＋58°，∴2∠A＋58°＋180°＝360°.∴∠A＝61°，∠C＝119°.六、課后作業：鞏固新知(見學生用書)第十一章小結與復習1．讓學生進一步理解并掌握三角形及三角形的重要線段的概念．2．讓學生進一步掌握三角形的三邊間的關系．3．讓學生學會利用三角形的內角和定理及外角公式計算角度．重點：熟練掌握三角形的三條重要線段．難點：會靈活運用內角和定理及外角公式計算角度．一、情景導入，感受新知本章知識網構圖：二、自學互研，生成新知【自主探究】1．如圖，三角形的個數是(B)A．4B．5C．6D．72．以下列各組線段為邊，能組成三角形的是(B)A．1cm，2cm，4cmB．8cm，6cm，4cmC．12cm，5cm，6cmD．2cm，3cm，6cm3．三角形一個外角小于與它相鄰的內角，這個三角形是(C)A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．不能確定4．下面各角能成為某多邊形的內角和的是(C)A．430°B．4343°C．4320°D．4360°5．如圖，一個任意的五角星，它的五個角的和為(C)A．50°B．100°C．180°D．200°第5題圖第6題圖6．如圖，∠1，∠2，∠3，∠4是五邊形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，則∠AED的度數是(D)A．110°B．108°C．105°D．100°三、典例剖析，運用新知例1：如圖，三角形紙片ABC中，∠A＝60°，∠B＝75° ，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC內，若∠1＝20° ，則∠2的度數為________．分析：由三角形內角和定理得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－65°－75°＝40°，折疊以后，變成了四邊形，因四邊形的內角和為360°，故∠AED＋∠BDE＝360°－∠A－∠B＝220°，在△CDE中，∠CDE＋∠CED＝180°－∠C＝180°－40°＝140°，所以∠2＝220°－140°－∠1＝60°.例2：如圖所示，BE與CD相交于點A，CF為∠BCD的平分線，EF為∠BED的平分線．(1)試探求∠F與∠B、∠D間有何種等量關系．(2)EF與FC能垂直嗎？說明理由．(3)若∠B∶∠D∶∠F＝2∶x∶3，求x的值．解：(1)∠D＋∠B＝2∠F.∵EF平分∠BED，CF平分∠BCD，∴∠1＝eq\f(1,2)∠BED，∠2＝eq\f(1,2)∠BCD.而∠EMC＝∠D＋eq\f(1,2)∠