2006年高考第一輪復習數學：14.2---導數的應用LtD14.2導數的應用●知識梳理1.函數的單調性（1）設函數y=f（x）在某個區間內可導,若f′（x）＞0,則f（x）為增函數;若f′（x）＜0,則f（x）為減函數.（2）求可導函數單調區間的一般步驟和方法.①確定函數f（x）的定義區間.②求f′（x）,令f′（x）=0,解此方程,求出它在定義區間內的一切實根.③把函數f（x）的間斷點〔即包括f（x）的無定義點〕的橫坐標和上面的各實根按由小到大的順序排列起來,然后用這些點把函數f（x）的定義區間分成若干個小區間.④確定f′（x）在各小開區間內的符號,根據f′（x）的符號判定函數f（x）在每個相應小開區間內的增減性.2.可導函數的極值（1）極值的概念●點擊雙基1.（2005年海淀區高三第一學期期末模擬）函數y=xsinx+cosx在下面哪個區間內是增函數A.（,）B.（π,2π）C.（,）D.（2π,3π）解析：y′=（xsinx+cosx）′=sinx+xcosx－sinx=xcosx,當x∈（,）時,恒有xcosx＞0.答案：C2.函數y=1+3x－x3有A.極小值－2,極大值2B.極小值－2,極大值3C.極小值－1,極大值1D.極小值－1,極大值3解析：y′=3－3x2=3（1+x）（1－x）.令y′=0得x1=－1,x2=1.當x＜－1時,y′＜0,函數y=1+3x－x3是減函數;當－1＜x＜1時,y′＞0,函數y=1+3x－x3是增函數;當x＞1時,y′＜0,函數y=1+3x－x3是減函數.∴當x=－1時,函數y=1+3x－x3有極小值－1;當x=1時,函數y=1+3x－x3有極大值3.答案：DA.間斷點B.極小值點C.極大值點D.不一定是極值點解析:f（x）在x0處不一定連續.答案:D4.函數f（x）=ｅx＋ｅ－x在（０，＋∞）上的單調性是__________.解析:∵f′（x）=ex－e－x=e－x（e2x－1）,∴當x∈（0,+∞）時，f′（x）＞0.∴f（x）在（0，+∞）上是增函數.答案:增函數5.若函數f（x）=x3+x2+mx+1是R上的單調遞增函數，則m的取值范圍是___________________________________.解析:f′（x）=3x2+2x+m.∵f（x）在R上是單調遞增函數,∴f′（x）＞0在R上恒成立，即3x2+2x+m＞0.由Δ=4－4×3m＜0,得m＞.答案:m＞●典例剖析【例1】求函數y=的值域.剖析:求函數值域是中學數學中的難點，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質來求解，也可以利用函數的單調性求出值域.本題形式結構復雜，可采用求導的方法求解.解:函數的定義域由求得x≥－2.求導得y′=－=.由y′＞0得2＞,即解得x＞－2,即函數y=－在（－2,+∞）上是增函數.又此函數在x=－2處連續,∴在［－2,+∞）上是增函數，而f（－2）=－1.∴函數y=－的值域是［－1,+∞）.評述:函數y=f（x）在（a,b）上為單調函數，當在［a,b］上連續時，y=f（x）在［a,b］上也是單調函數.【例2】已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1時取得極值，且f（1）=－1,（1）試求常數a、b、c的值；（2）試判斷x=±1是函數的極大值還是極小值，并說明理由.剖析:考查函數f（x）是實數域上的可導函數，可先求導確定可能的極值點，再通過極值點與導數的關系，即極值點必為f′（x）=0的根建立起由極值點x=±1所確定的相關等式，運用待定系數法確定a、b、c的值.（1）解法一:f′（x）=3ax2+2bx+c,∵x=±1是函數的極值點,∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的兩根.由根與系數的關系知又f（1）=－1,∴a+b+c=－1.

③由①②③解得a=,b=0,c=－.解法二:由f′（1）=f′（－1）=0,得3a+2b+c=0, 3a－2b+c=0.又f（1）=－1,∴a+b+c=－1.③由①②③解得a=,b=0,c=－.（2）解:f（x）=x3－x,∴f′（x）=x2－=（x－1）（x+1）.當x＜－1或x＞1時,f′（x）＞0;當－1＜x＜1時，f′（x）＜0.∴x=－1時，f（x）有極大值；x=1時,f（x）有極小值.【例3】已知函數f（x）=2ax－,x∈（0,1］.（1）若f（x）在x∈（0,1］上是增函數，求a的取值范圍；（2）求f（x）在區間（0,1］上的最大值.剖析:（1）要使f（x）在（0,1］上為增函數，需f′（x）＞0,x∈（0,1）.（2）利用函數的單調性求最大值.解:（1）由已知可得f′（x）=2a+,∵f（x）在（0,1）上是增函數，∴f′（x）＞0,即a＞－,x∈（0,1］.∴a＞－1.當a=－1時，f′（x）=－2+對x∈（0,1）也有f′（x）＞0，滿足f（x）在（0,1］上為增函數，∴a≥－1.（2）由（1）知,當a≥－1時,f（x）在（0,1］上為增函數,∴［f（x）］max=f（1）=2a－1.當a＜－1時，令f′（x）=0得x=,∵0＜＜1,∴0＜x＜時,f′（x）＞0;＜x≤1時，f′（x）＜0.∴f（x）在（0,）上是增函數，在（,1]減函數.∴［f（x）］max=f（）=－3.評述:求參數的取值范圍，凡涉及函數的單調性、最值問題時，用導數的知識解決較簡單.深化拓展（1）也可用函數單調性的定義求解.思考討論函數f（x）在區間D上的極值與最值有什么聯系？●闖關訓練夯實基礎1.下列各式正確的是A.x－＞sinx（x＞0）B.sinx＜x（x＞0）C.x＞sinx（0＜x＜）D.以上各式都不對解析：令F（x）=x－sinx,則F′（x）=1－cosx＞0（當x＞0,x≠2nπ,n=1,2,…）.故F（x）在x＞0時單調遞增.因此當x＞0時,有F（x）＞F（0）=0.答案：B2.函數f（x）=sin（3x－）在點（,）處的切線方程是A.3x+2y+－=0B.3x－2y+－=0C.3x－2y－－=0D.3x+2y－－=0解析:因為f′（x）=3cos（3x－）,所以所求切線的斜率為f′（）=,切線方程為y－=（x－）,即3x－2y+－=0.答案:B3.函數y=－2x（x≥0）的最大值為_____________.解析:y′=－2,當0＜x＜時，y′＞0,∴y=－2x在（0,）上為增函數.當x＞時，y′＜0,∴y=－2x在（,+∞）上是減函數.∴y=－2x在（0,+∞）上的最大值為－=.答案:4.（2005年北京東城區模擬題）如果函數y=f（x）的導函數的圖象如下圖所示,給出下列判斷:①函數y=f（x）在區間（－3,－）內單調遞增;②函數y=f（x）在區間（－,3）內單調遞減;③函數y=f（x）在區間（4,5）內單調遞增;④當x=2時,函數y=f（x）有極小值;⑤當x=－時,函數y=f（x）有極大值.則上述判斷中正確的是_____________解析:當x∈（4,5）時,恒有f′（x）＞0.答案:③5.已知f（x）=2ax－+lnx在x=－1,x=處取得極值.（1）求a、b的值；（2）若對x∈［,4］時，f（x）＞c恒成立，求c的取值范圍.解:（1）∵f（x）=2ax－+lnx,∴f′（x）=2a++.∵f（x）在x=－1與x=處取得極值，∴f′（－1）=0,f′（）=0,即解得∴所求a、b的值分別為1、－1.（2）由（1）得f′（x）=2－+=（2x2+x－1）=（2x－1）（x+1）.∴當x∈［,］時，f′（x）＜0;當x∈［,4］時，f′（x）＞0.∴f（）是f（x）在［,4］上的極小值.又∵只有一個極小值，∴f（x）min=f（）=3－ln2.∵f（x）＞c恒成立，∴c＜f（x）min=3－ln2.∴c的取值范圍為c＜3－ln2.6.（2004年全國Ⅰ,理19）已知a∈R，求函數f（x）=x2eax的單調區間.解:f′（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax.①當a=0時，若x＜0，則f′（x）＜0，若x＞0,則f′（x）＞0.所以當a=0時，函數f（x）在區間（－∞,0）內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數.②當a＞0時，由2x+ax2＞0，解得x＜－或x＞0;由2x+ax2＜0,得－＜x＜0.所以當a＞0時，函數f（x）在區間（－∞，－）內為增函數，在區間（－,0）內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數.③當a＜0時，由2x+ax2＞0，得0＜x＜－.由2x+ax2＜0，得x＜0或x＞－.所以當a＜0時，函數f（x）在區間（－∞,0）內為減函數，在區間（0，－）內為增函數，在區間（－,+∞）內為減函數.培養能力7.已知x∈R,求證：ex≥x+1.證明:設f（x）=ex－x－1,則f′（x）=ex－1.∴當x=0時，f′（x）=0,f（x）=0.當x＞0時，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函數.∴f（x）＞f（0）=0.當x＜0時，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是減函數，∴f（x）＞f（0）=0.∴對x∈R都有f（x）≥0.∴ex≥x+1.8.（2004年全國Ⅱ，文21）若函數f（x）=x3－ax2+（a－1）x+1在區間（1,4）內為減函數，在區間（6，＋∞）上為增函數，試求實數a的取值范圍.解:函數f（x）的導數f′（x）=x2－ax+a－1.令f′（x）=0,解得x=1或x=a－1.當a－1≤1，即a≤2時，函數f（x）在（1,+∞）上為增函數，不合題意.當a－1＞1,即a＞2時，函數f（x）在（－∞,1）上為增函數，在（1,a－1）內為減函數，在（a－1,+∞）上為增函數.依題意應有當x∈（1,4）時，f′（x）＜0,當x∈（6,+∞）時，f′（x）＞0.所以4≤a－1≤6,解得5≤a≤7.所以a的取值范圍是［5,7］.

探究創新9.已知函數f（x）的圖象與函數h（x）=x++2的圖象關于點A（0，1）對稱.（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）+,且g（x）在區間（0，2］上為減函數，求實數a的取值范圍.解:（1）設f（x）圖象上任一點坐標為（x,y），點（x,y）關于點A（0，1）的對稱點（－x,2－y）在h（x）圖象上.∴2－y=－x++2.∴y=x+,即f（x）=x+.（2）g（x）=x+,∵g′（x）=1－,g（x）在（0，2］上遞減，∴1－≤0在x∈（0,2］時恒成立,即a≥x2－1在x∈（0,2）時恒成立.∵x∈（0,2]時，（x2－1）max=3,∴a≥3.●思悟小結1.函數單調性的充分條件，若f′（x）＞0（或＜0），則f（x）為增函數（或減函數）.2.函數單調性的必要條件，設f（x）在（a,b）內可導，若f（x）在（a,b）上單調遞增（或遞減），則f′（x）≥0（或f′（x）≤0）且f′（x）在（a,b）的任意子區間上都不恒為零.3.可以用單調性求函數的極值、最值.●教師下載中心教學點睛利用導數解有關函數的單調性、極值、最值的問題是本節的主要題型，也是高考考查的重點，復習時應引起足夠的重視.解單調性的題目時要注意判斷端點能否取到，用導數求單調函數的最值時要注意由極值到最值的過渡.拓展題例【例題】設函數y=f（x）=ax3+bx2+cx+d圖象與y軸的交點為P,且曲線在P點處的切線方程為24x+y－12=0,若函數在x=2處取得極值－16,試求函數解析式,并確定函數的單調遞減區間.錯因點評：有的同學不知道P點處的斜率為y′|,即y′|x=0為已知切線方程的斜率－24.又