北京大學2()20年強基計劃招生考試數學試題選擇題共20小甄；在每小題的四個選項中，只有一項符合題口要求，請把正確選項的代號填在表格中，選對得5分，選錯或不選得0分..正實數X,%Z,加滿足％2v27U和1+VW2(2+⑼，則￡+：的最小值等于(D)前三個答案都小時(D)前三個答案都小時.在(2019xZOZO)2021的全體正因數中選出若干個，使得其中任意兩個的乘積都不是平方數.則最多可選因數個數為(A)1G(B)31(C)32(D)前三個答案都不對.整數列{an}n>l滿足?1=1,"2=4,且對任意74>2有—an^\(ln-\=2時I則做0如的個位數字是(A)8(B)4(C)2(D)前三個答案都不對.設a.Ac,(I是方程/4+2〃+3/+41+5=0的4個復根，則忌+*+舄+痣<4十/。十/C十/4十/的值為2-3

2-3-B)2-3

2-3-B)(D)前三個答案都不對.設等邊三角形A13C的邊長為1,過點。作以/I”為直徑的網的切線交A13的延長線與點￡),AD>BD,則三角形BCD的面積為(A)埠圾(B)埠還，(C)嗎奢(D)前三個答案都不對.設1，V,Z均不為(Zr+1)7T,其中k為整數，己知疝i?+z-i),sill(1+z-g),sin(x+V—z)成等差數列，則依然成等差數列的是(A)sinx,sinjy,sinz(B)cos%,cos?/,cosz(C)tanx,tan?/,tanz(D)前三個答案都不對.方程19t+93//=4題/的整數解個數為(A)4(B)8(C)16(D)前三個答案都不對.從園/+/=4上的點向橢圓。：亨+獷=］引切線，兩個切點間的線段稱為切點弦，則橢圓。內不與任何切點弦相交的區域而枳為(A)f(B)f(C)f(D)前三個答案都不對.使得5工+12行<a(工+y)對所有正實數小y都成立的實數a的最小值為(A)8(B)9(C)10(D)前三個答案都不對.設P為單位立方體力以GLM1B1C◎上的一點,則尸4+尸a的最小值為⑸，年海(B)72+2^2(C)2—挈⑺前三個答案都不對.數列｛。埠｝耨>1滿足山=I,a2=9,旦對仟意北巳1有在“十￡=4為葉］—2an—20,其前h項和為Sn,則函數&的最大值等F(A)28(B)35(C)47(D)前三個答案都不對.設直線y=3/+中與橢圓喧斗(=1交于477兩點，O為坐標原點?則三用形QAB面積的最大俏為(A)8(B)10?12(D)前三個答案都不對13,正整數『￡>3稱為理想的.若存在正整數1￡*三"-1使得C^~\4C廿】構成等差數列，其4二扇*為組合數，則不超過202()的理想數個數為(A)40(B)41(C)42(D)前三個答案都不對14,在△八國7中，Z-4=150°.4,D?…D期卻依次為邊BC上的點，H町=小口工~。汨3=,+,=紳用=。期口(\設/艮4Z?i=<t|,Z^D\AD2=n展…t"刈a加乳=口利如/必皿金c=口.，則，窗;X二郛翦的值為(A)忐(B)薪(C)忐①)前三個答案都不對.函數j3+2v<ic0?H+i：o?"J+ -2v/3(^)sfl+cos24-1shi20的最大值為(A)松卡。(B)2?2+v/3?6+A/5(D)前三個答案都不對.方程，￡+5-4>/^1+7'*+2-2\<FTT=1的實根個數為(A)l(B)2(C)3(口)前三個答案都不對17,昌五邊形百伙/用的對角線C*分別與對角線HJ)和AD交于點P和己知BF:FD=5AG:CD=I■.1,CF:FG.GE=2.2;3,S^cfd和S^AJiE分別為△CFO和△ABE的面積，則S^cfd：Sawm的值等于(A)8:15(B)2：3(C)11：23(D)前三個答案都不對18,設p,q均為不超過1U0的正整數.則有有理根的多項式〃幻=*+聯：+］的個數為(A)99(B)133(C)150(D)前三個答案都不對19.滿足對任意n“有2=2"-30n且嚴格遞增的數列&｝*i的個數為(A)0(B)l(C)無窮名個(D)前三個答案都不對2a設函數八不也力=|+走一左，其中小以方均為正實配則有(A)『既有最大值也行最小值(B廳有最大俏但無最小值(C”力最小位但f士大4也卬,前三個答案都不對專注名校自主選拔解析：如圖所小，l<C7--CM則根據比例可褥WT〃皿則可；=例=I,因為《；為/⑺中市Gl)GM2因此八O—OG」GD?Ml)-4HE2 5Ml)2OE,則OI.:2/%.不妨4q \1W.，S則又皿=2Sj=4.S…=4x；=.因此?%〃〉“皿=8:15.故選A..設p.q均為不超過100的正整數，則有行理出的名項代/(.v)=f+"+g的個數為(A.99 B.133 C.I5OD.冏三個答案都不對解析：內為/(*='、+"+“仃仃理根.則仃理根必小卜零設立=一"，IL(n“)=l.則一U—四+4=0“ nn則 一〃/+p〃i〃'，顯然n|nt?［Al為(/〃.〃)-1，則〃=1,故4一〃「+nip因為“=，〃+〃;”4KX).故IW，〃￡2m1時.(7-1+〃(1(冷,閃此I4g499.其99組“力〃=2IU,q=32+2〃Wl()O，故1三〃三34.共34組綜上所述：滿足條件的(〃M)K133組，應選B.TOC\o"1-5"\h\z.滿足對任意〃21有%=2”-%"L嚴格通用的數列的個數為( )A.OB.lC無方/個I).IW?:個答案都不對鰥析：內為《川=2”-而“，則黑=-1?3+:一 —MB則畀［=€(會［).則會］=(用佟］>則4=1■+Hk-“'必=(時.滿足產格遞用.當“尸(時，公出現II負文件,不滿足，故逃B..沒加數二)=—+二一+二一?其中、.、.二均為仁義數?則TT' >工+VV+2 Z4-.VA./既仃最大侑也仃及小值 B./仃最大值似無及小值專注名校自主選拔則、ina、in〃亡?刖嶺江的他為《sina:sinu4---sina二2101(1202()— D.前三個捽案都不對2021,解析：正弦定理HD=〃，sinaxsinIfHD=〃，sinaxsinIfsinu:sin//, “因此更嗎二Ml二同！*二皿sina,sin(ksina.sin(i.Hl1：.///sinli2021/;?sinli、in"?心AC2021-4CntA!\mAl)}jBC-singCE1■2021?AC*2021MC,4042'i”m故選I)15.函數/(〃)-丫3+2瓦oQcZOi/2石cm〃，c<))275/〃的最人值為( )A.6+6氏20QA.6+6氏20QC.8+26D.前二個答案都不對易知上出=：時.3? +4因為〃〃)_拒- +?-26c。、〃+cZ〃+4$而0下而證明/(")<yJ22Vqo百十一cos0>\J52x/Jcc、"+co、〃十4、in〃T;j1*1;ill:4sin,^4-2^2cos4/<276，因為4、in812&cos，)4/n”>272cosf)=2>/6sin(<?+^>)^2>/6兩個等號不同時成立，故4siif0-2拒cos〃v2?,則選D.16.力卬J；4二』JTT|+/+2-2Gt=I的實限個數為( )A.I B.2 C.3 D.前?:個答案都不對邢析：山虺意河行|GT-1+|Gi-l|二lM11<7771<2Ibj.匕C恒為1.故迄D..I7jui/［邊形八依7兒的對角線Cl：分加j對角線M)filAD文1點F和G.l2知HF:FD=5:4,zAG:GD=I:\.CF:FG:G￡=2:2;3,S“,〃和又如分別為ACFD和MBE的而枳,則S“〃)：S\w的值等于( )A.8:15B.2:3A.8:15B.2:3C.11:23D.曲三個冬案都不對專注名校自主選拔A.X B.10 C.12 D.前二個答案部不對解析一：直按計算收<//fY?fW24Lr+15(J/nv+25/jr-400-0TOC\o"1-5"\h\z則人〃—汨**』一廂x速正巨〃二嵯'J 241 麗? on d=：^/r(24l"J品10.故而枳的最人值為10,故選B.— —fI解析二：仿射變換不妨設、=X.￡=y,則x)+尸=1.I1線為4y=i5x+i5 4則51恒-20SWIU?收而枳的坡大他為10?故選H.13.亞整數，亞3稱為沃坦的,工療”「當數I4AY〃一I使，構成等左數列,JL-?PC：二，加、為組介數.則不超過2。20的理想數個數為( )婦(〃-k)!A.40 B.4I C.42 I).前三個答案都不時解析：由幽意可得c〔CC"構成笠度數列則2c=(')+《”?化忙何行〃：一(必+1)〃+以-2-()以k為E元條理必？一4m+〃？-〃-2=0,則人-a2則〃+2為完全平方數,則〃-2=〃二則442，〃23若k=二叵==("T").囚為，〃-2、，“+1奇偶性相反故則對「任意442，〃23部滿足題急-Hi\n?2IH：4m-2W+2)(J”T) .. un-.k= = =1 .囚為m+Zm-1奇偈件相反一—一故則對廣(工宜44N”足3都滿足題急綜上：滿足題意的142個.故選C14,/rAAKCd1.乙一15()?f).J)"心依次為邊WI.的點.II,R1)-/>/>>.-/Z/>-?一 J ■ * —尸。”?"入「1~/人空,設/BAR4"=〃、.???./D、"AD、m 心?

專注名校自主選拔B.D專注名校自主選拔B.D.前一個答案都不對cos0cos0-vsin〃?\?=I- 十——r一如圖所示，設￡"（28s〃.2sin〃）則“門線方f7為ccs-v+23】〃、=I由「二?匚二1，1：點（“cos〃質in。）的切線方H為a'〃?則〃=[.〃=；,因此C6〃..\I2、in〃?.v=1為樹心Ur?4r:=1的切線系方H山肺圓的面枳可尋萬仙-￡.故選A.9.便得"+]2歷＜〃（'+、）《：所仃小:實數Q都成江的實戰〃的最小曾為（A.S B.9 C.10 D.何二個答案都不對解析：待定系數TOC\o"1-5"\h\z5a+12Jx\=5.i,12.i//rv?上<(5+6/n).v+—y,令5+6，〃=—./〃=二Xm m m3則5112歷*"+>).則汩幽S9-9.故選B..v+v.收。為單位立方體WJ-A司,。上的?點,則/八+”：的最小值為（ ）A.也+6B.V2+2V2C.2一當 D.前三個苕案都不對解析：鼓小值為立?故選D.數列滿足4=1.%二9?11對仃.◎〃214q.、=4?,“&/“20?兒中麗〃J貞后:為S..則倒數s.的從大值等r（ ）A.28 B.35 C.47 D.前三個答案都不對解析：囚〃”.4* 2),明〃-10=3(%——⑼故《「q=10-2乂?1?則當〃23時?數列為單調遞減數列可求得可=1&a=5.寸〃之5時?"CO.則S”的幾大由為另=28,故選A..設“線\?二3一〃Jj桶陽:+'二】交]A.li兩點.。為坐標琮戶,則：向行‘1勺而取的髭大值為（

專注名校自主選拔則laiiA±lanz21卻.v?收惑C.7.方程19.\+931=4.\)的繁數解的個數為( )A.4 B.8 C.I6 D.前三個答案都不對解析：固式分解與整除因為卜八.93\4at.W?J(4v-93)(4v-19)=93x19=3x19x314v-14v-19=1 r=5則「 ，此時「4.1-93=93*19 x=4554r-19=-1則? ?此時無解.4.v93=93丫194v-l9=3則4a9331x19八一197 ' =4此時無解：則' .此時“4a-93=-3IxI9a=-I244v-l9=3則4a9331x19八一197 ' =4此時無解：則' .此時“4a-93=-3IxI9a=-I244v-I9=I9 4V-I9=-I9則］ ，此時尤解:則4.93=93 4a-93=-93則八19=31，此時無解；則，4.v-93=574v-】9=-31,此時H3=-57v=-3x=94v-l9=57v=!94v-I9=-57則，此時4.v-93=3l4V-2=93.?v=31v=28則，,此時無解.4x-93=-3I4v-19=-93則，,此時4,v-93=194v19=31x)9：則］a=28r=l52，此時無一4x-93=-194v-19=-3lx|9則，，此時4,r-93=3 .r=2.4則4.r-93=-3，此時無解4Z9匚19x93則4,v-93=!4\-19=79x93 v=-437此時無解：則《. ，此時「4v-93=-I .v=23故共8然造B解析二：同余因為1%+93y=4at?則(41?一93)(4y-19)^93x］9=3x19x31因為-93三3(in(>d』)?4v-l9=1(iik)i14)4.v93=3.19.31.1767.I.57.93.5894v-19=...故大8扎選B.&從圓V+『=4上的點向怖國。：1+，=1，；|切線，兩切,響的線盤成為打點弦，則梢視c內不，任何切點弦相交的? 枳為專注名校自主選拔從aJF始周期為24.則處小的個位故字是8,故選A.4.設a.b.c.d是力行Y+2v+3a2+4、+5—()的4個U根，則—+空1+」——的值〃+2〃+2c+2d+2為()A.-： B,-j C.1 D.前：個答案都不對解析：由虺意"J力$=a+〃+c4d=-2?p-ab4ac4ad+〃「+〃/+cd3. .. .,. . ....Aa-\ -1e-1d1TOC\o"1-5"\h\zq=uiK'and>acd+bed=-4?;?=abed=5.lxm= +——-+ +?+2〃+2??+2d+2則〃j=4-jf--—+——――-—+―■-1,只:k—■———■—――■—+一-—,2b-2(+2(1-2) a+2b?2?+2d2,.(1Illiy(Z>i2)(c+2)(J+2) ”32+12$+4〃 16.+2〃+2，+2，/+2(a+2)(〃+2)(c+2)["+2)1+16+2q+4〃+8、9故〃一4一號由此可得選A.5,設等邊三角形八/元的邊長為1.過點C作以A8為H徑的網的切線交/仍的延長線「?點O.AD>HD.則:角形8。的面枳為(.6歷-3& 口4拒-3石A. n.16 16解析：如圖所示，其中= =：?co=—.Wi]ci:=—從而可得也=更,放。。="OCCE 4則5…?故選仁16)C.36一?& D.前一個答案都不對16<()〃"TOC\o"1-5"\h\z6.設、，工均不為|k+g'jt.H'l1A為貂數.I」知、i【】(.v+1-.i).、in(.i+1-y).、in(.v+.v-二)成等軍數列.則依然成第冷數列的拈( >A.sina.siny.sin; B.cosa.coswcos:C.Uin.v.timv.tanc D.lit,.個辭案都不對斜析：因為23n(.v+二-y)=、in(v+:-工)+*in(?1+、一二)「2sinycos(.v-r)則\in(r+：)c()、\-cc、(v-")sinysinycos(v-7)則sinf.i+二)cos\=siny\cos(a+:)+cos(.v一二"-2sinvcos.vcos二

專注名校自主選拔I.止實數v.w.記滿;LCv>IL.v-fy《2（m?十三）,則州一：得以小值等「（.1 5A.- B.' C.l D.liiJ:個答案都不對4 8解析：因為n+.\?S2（m?+1），則i>匕;二更hillW二.X+\?2”、MAWIAIV-SI川］———>—+: =—+ 4--=--+—+江 .Vy.V2ya2yy22y2.vrTOC\o"1-5"\h\z、a 1 v-.v.v I v-a x x If； I2