2021-2022學年河南省濮陽市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案及部分解析)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.

3.微分方程y''-2y'=x的特解應設為A.AxB.Ax+BC.Ax2+BxD.Ax2+Bx+C

4.

5.

6.

7.

8.設y=cos4x，則dy=（）。A.

B.

C.

D.

9.設y1，y2為二階線性常系數微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個特解，則C1y1+C2y2()．A.A.為所給方程的解，但不是通解B.為所給方程的解，但不一定是通解C.為所給方程的通解D.不為所給方程的解

10.A.A.

B.

C.

D.

11.設函數f(x)與g(x)均在(α，b)可導，且滿足f'(x)＜g'(x)，則f(x)與g(x)的關系是

A.必有f(x)＞g(x)B.必有f(x)＜g(x)C.必有f(x)=g(x)D.不能確定大小

12.A.A.

B.

C.

D.

13.對于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系數法求其特解y*時，下列特解設法正確的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

14.力偶對剛體產生哪種運動效應()。

A.既能使剛體轉動，又能使剛體移動B.與力產生的運動效應有時候相同，有時不同C.只能使剛體轉動D.只能使剛體移動

15.微分方程y"-4y=0的特征根為A.A.0，4B.-2，2C.-2，4D.2，4

16.當x→0時,x+x2+x3+x4為x的

A.等價無窮小B.2階無窮小C.3階無窮小D.4階無窮小

17.

18.設y=2x3，則dy=()

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

19.（）。A.收斂且和為0

B.收斂且和為α

C.收斂且和為α-α1

D.發散

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.

25.設函數f(x)有一階連續導數，則∫f'(x)dx=_________。

26.

27.

28.

29.

30.

31.微分方程y"=y的通解為______．

32.

33.

34.設y=sin2x，則y'______．

35.∫(x2-1)dx=________。

36.設y=cosx，則y'=______

37.設，將此積分化為極坐標系下的積分，此時I=______.

38.函數在x=0連續，此時a=______.

39.

40.

三、計算題(20題)41.

42.

43.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

44.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

45.

46.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

47.證明：

48.求微分方程的通解．

49.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

50.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

51.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

52.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

53.

54.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

55.

56.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

57.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

58.

59.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

60.

四、解答題(10題)61.

62.

63.在第Ⅰ象限內的曲線上求一點M(x，y)，使過該點的切線被兩坐標軸所截線段的長度為最小．

64.

65.

66.求∫xsin(x2+1)dx。

67.設D是由曲線x=1-y2與x軸、y軸,在第一象限圍成的有界區域.求:(1)D的面積S;(2)D繞x軸旋轉所得旋轉體的體積V.

68.

69.

70.

五、高等數學(0題)71.f(x)在x=0的某鄰域內一階導數連續且則()。A.x=0不是f(x)的極值點B.x=0是f(x)的極大值點C.x=0是f(x)的極小值點D.x=0是f(x)的拐點

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.C

2.B

3.C因f(x)=x為一次函數，且特征方程為r2-2r=0,得特征根為r1=0，r2=2.于是特解應設為y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx.

4.D

5.C

6.C解析：

7.A

8.B

9.B本題考查的知識點為線性常系數微分方程解的結構．

已知y1，y2為二階線性常系數齊次微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個解，由解的結構定理可知C1y1+C2y2為所給方程的解，因此應排除D．又由解的結構定理可知，當y1，y2線性無關時，C1y1+C2y2為y"+p1y'+p2y=0的通解，因此應該選B．

本題中常見的錯誤是選C．這是由于忽略了線性常系數微分方程解的結構定理中的條件所導致的錯誤．解的結構定理中指出：“若y1，y2為二階線性常系數微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個線性無關的特解，則C1y1+C2y2為所給微分方程的通解，其中C1，C2為任意常數．”由于所給命題中沒有指出)y1，y2為線性無關的特解，可知C1y1+C2y2不一定為方程的通解．但是由解的結構定理知C1y1+C2y2為方程的解，因此應選B．

10.A

11.D解析：由f'(x)＜g'(x)知，在(α，b)內，g(x)的變化率大于f(x)的變化率，由于沒有g(α)與f(α)的已知條件，無法判明f(x)與g(x)的關系。

12.A

13.D特征方程為r2-2r+1=0，特征根為r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1為特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此選D。

14.A

15.B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根為2，-2，故選B。

16.A本題考查了等價無窮小的知識點。

17.A解析：

18.B

19.C

20.C

21.1/π

22.

23.

24.

25.f(x)+C

26.11解析：

27.e

28.1本題考查了一階導數的知識點。

29.-3e-3x-3e-3x

解析：

30.

31.y'=C1e-x+C2ex

；本題考查的知識點為二階常系數線性齊次微分方程的求解．

將方程變形，化為y"-y=0，

特征方程為r2-1=0；

特征根為r1=-1，r2=1．

因此方程的通解為y=C1e-x+C2ex．

32.00解析：

33.1/2本題考查的知識點為極限的運算．

34.2sinxcosx本題考查的知識點為復合函數導數運算．

35.

36.-sinx

37.

38.0

39.

解析：

40.0

41.

42.

43.

列表：

說明

44.

45.由一階線性微分方程通解公式有

46.由等價無窮小量的定義可知

47.

48.

49.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

50.函數的定義域為

注意

51.

52.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

53.

54.

55.

56.由二重積分物理意義知

57.

58.

則

59.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

60.

61.

62.

63.

本題考查的知識點為函數的最大值、最小值應用題．

這