2021-2022學年廣東省汕尾市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.設函數z=sin(xy2)，則等于()。A.cos(xy2)

B.xy2cos(xy2)

C.2xyeos(xy2)

D.y2cos(xy2)

2.設y1，y2為二階線性常系數微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個特解，則C1y1+C2y2()．A.A.為所給方程的解，但不是通解B.為所給方程的解，但不一定是通解C.為所給方程的通解D.不為所給方程的解

3.

4.

5.

6.

7.

設f(x)=1+x，則f(x)等于（）。A.1

B.

C.

D.

8.

9.曲線y=x+(1/x)的凹區間是

A.(-∞，-1)B.(-1，+∞)C.(-∞，0)D.(0，+∞)

10.設y=x＋sinx，則y=（）A.A.sinx

B.x

C.x＋cosx

D.1＋cosx

11.在空間中，方程y=x2表示()A.xOy平面的曲線B.母線平行于Oy軸的拋物柱面C.母線平行于Oz軸的拋物柱面D.拋物面

12.A.0B.1C.2D.不存在

13.

14.

A.-1/2

B.0

C.1/2

D.1

15.曲線y=x2+5x+4在點(-1，0)處切線的斜率為

A.2B.-2C.3D.-3

16.曲線y＝1nx在點(e，1)處切線的斜率為（）．A.A.e2

B.eC.1D.1/e

17.已知斜齒輪上A點受到另一齒輪對它作用的捏合力Fn，Fn沿齒廓在接觸處的公法線方向，且垂直于過A點的齒面的切面，如圖所示，α為壓力角，β為斜齒輪的螺旋角。下列關于一些力的計算有誤的是()。

A.圓周力FT=Fncosαcosβ

B.徑向力Fa=Fncosαcosβ

C.軸向力Fr=Fncosα

D.軸向力Fr=Fnsinα

18.設等于()A.A.-1B.1C.-cos1D.1-cos1

19.

20.

二、填空題(20題)21.

22.設區域D由y軸，y=x，y=1所圍成，則．

23.

24.

25.

26.

27.曲線f(x)=x/x+2的鉛直漸近線方程為__________。

28.

29.

30.設y=f(x)在點x=0處可導，且x=0為f(x)的極值點，則f'(0)=______．

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.設．y=e-3x，則y'________。

39.

40.

三、計算題(20題)41.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

42.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

43.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

44.

45.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

46.證明：

47.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

48.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

49.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

50.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

51.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

52.

53.

54.求微分方程的通解．

55.

56.

57.

58.

59.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

60.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.

65.

66.設

67.

68.

69.求微分方程的通解．

70.

五、高等數學(0題)71.設函數

=___________。

六、解答題(0題)72.設區域D由x2+y2≤1，x≥0，y≥0所圍成．求

參考答案

1.D本題考查的知識點為偏導數的運算。由z=sin(xy2)，知可知應選D。

2.B本題考查的知識點為線性常系數微分方程解的結構．

已知y1，y2為二階線性常系數齊次微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個解，由解的結構定理可知C1y1+C2y2為所給方程的解，因此應排除D．又由解的結構定理可知，當y1，y2線性無關時，C1y1+C2y2為y"+p1y'+p2y=0的通解，因此應該選B．

本題中常見的錯誤是選C．這是由于忽略了線性常系數微分方程解的結構定理中的條件所導致的錯誤．解的結構定理中指出：“若y1，y2為二階線性常系數微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個線性無關的特解，則C1y1+C2y2為所給微分方程的通解，其中C1，C2為任意常數．”由于所給命題中沒有指出)y1，y2為線性無關的特解，可知C1y1+C2y2不一定為方程的通解．但是由解的結構定理知C1y1+C2y2為方程的解，因此應選B．

3.D

4.C解析：

5.C

6.C

7.C本題考查的知識點為不定積分的性質。可知應選C。

8.C

9.D解析：

10.D

11.C方程F(x，y)=0表示母線平行于Oz軸的柱面，稱之為柱面方程，故選C。

12.D本題考查的知識點為極限與左極限、右極限的關系．

由于f(x)為分段函數，點x＝1為f(x)的分段點，且在x＝1的兩側，f(x)的表達式不相同，因此應考慮左極限與右極限．

13.D

14.B

15.C解析：

16.D本題考查的知識點為導數的幾何意義．

由導數的幾何意義可知，若y＝f(x)在點x0處可導，則曲線)，y＝f(x)在點(x0，f(x0))處必定存在切線，且切線的斜率為f(x0)．

由于y＝lnx，可知可知應選D．

17.C

18.B本題考查的知識點為可變上限的積分．

由于，從而知

可知應選B．

19.D

20.A解析：

21.

22.1/2本題考查的知識點為計算二重積分．其積分區域如圖1-2陰影區域所示．

可利用二重積分的幾何意義或將二重積分化為二次積分解之．

解法1由二重積分的幾何意義可知表示積分區域D的面積，而區域D為等腰直角三角形，面積為1/2，因此．

解法2化為先對y積分，后對x積分的二次積分．

作平行于y軸的直線與區域D相交，沿y軸正向看，入口曲線為y=x，作為積分下限；出口曲線為y=1，作為積分上限，因此

x≤y≤1．

區域D在x軸上的投影最小值為x=0，最大值為x=1，因此

0≤x≤1．

可得知

解法3化為先對x積分，后對Y積分的二次積分．

作平行于x軸的直線與區域D相交，沿x軸正向看，入口曲線為x=0，作為積分下限；出口曲線為x=y，作為積分上限，因此

0≤x≤y．

區域D在y軸上投影的最小值為y=0，最大值為y=1，因此

0≤y≤1．

可得知

23.

本題考查的知識點為二重積分的計算．

24.2/3

25.2xsinx2；本題考查的知識點為可變上限積分的求導．

26.

27.x=-2

28.(-∞2)(-∞,2)解析：

29.

解析：

30.0本題考查的知識點為極值的必要條件．

由于y=f(x)在點x=0可導，且x=0為f(x)的極值點，由極值的必要條件可知有f'(0)=0．

31.

32.2

33.

34.ex2

35.-ln(3-x)+C-ln(3-x)+C解析：

36.2本題考查了定積分的知識點。

37.ln2

38.-3e-3x

39.

40.(-22)(-2，2)解析：

41.

列表：

說明

42.

43.

44.由一階線性微分方程通解公式有

45.函數的定義域為

注意

46.

47.由等價無窮小量的定義可知

48.

49.

50.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

51.由二重積分物理意義知

52.

53.

54.

55.

56.

57.

則

58.

59.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

60.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

61.

62.

63.

64.