PAGEPAGE7拋物線的幾何性質(zhì)課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求了解拋物線的幾何圖形以及簡單幾何性質(zhì).2.通過對拋物線的學(xué)習(xí),進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.1.直觀想象——能依據(jù)拋物線的方程和圖形研究其幾何性質(zhì).2.數(shù)學(xué)運(yùn)算——能利用拋物線的簡單幾何性質(zhì)求拋物線的方程,或根據(jù)拋物線的方程求其簡單幾何性質(zhì).自主學(xué)習(xí)·必備知識教材研習(xí)教材原句要點(diǎn)一拋物線y2=2px（p>0）的幾何性質(zhì)（1）范圍x≥①0.除頂點(diǎn)外,拋物線上的其余點(diǎn)都在y軸的右側(cè).（2）對稱性拋物線C關(guān)于②x軸對稱,稱x軸是拋物線的對稱軸（簡稱為軸）.（3）頂點(diǎn)稱③原點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn).（4）離心率拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比稱為拋物線的離心率,用e表示.根據(jù)拋物線的定義可知,拋物線的離心率e=④1要點(diǎn)二拋物線y2=-2px（p>0）,x2=-2py（p>0）,x2=2py（p>0）的幾何性質(zhì)（1）拋物線y2=-2px(p>0)中，x≤0\text,除頂點(diǎn)外,拋物線上的其余點(diǎn)都在y軸的⑤（2）拋物線x2=2py(p>0)中,y≥0,除頂點(diǎn)外,拋物線上的其余點(diǎn)都在x軸的⑥上方,拋物線的開口向上（或朝上）,拋物線關(guān)于（3）拋物線x2=-2py(p>0)中,y≤0,除頂點(diǎn)外,拋物線上的其余點(diǎn)都在x軸的⑦下方,拋物線的開口向下（或朝下）,拋物線關(guān)于自主思考1拋物線的范圍是x∈R答案：提示拋物線的方程不同,其范圍就不同,如y2=2px(p>0)的范圍是2.拋物線y2答案：提示拋物線y23.影響拋物線開口大小的量是什么,是如何影響的?答案：提示參數(shù)p影響拋物線的開口大小,p值越大,拋物線的開口越大;p值越小,開口越小名師點(diǎn)睛拋物線的特征（1）拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;（2）拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;（3）拋物線只有一個頂點(diǎn)、一個焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;（4）拋物線的離心率是確定的,為1.互動探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一由拋物線的性質(zhì)求拋物線的方程精講精練例（1）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸是x軸,拋物線上點(diǎn)（-5,m）到焦點(diǎn)的距離是6,則拋物線的方程是()A.y2=-2xC.y2=2x（2）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為x軸,且與圓x2+y2=4答案：（1）B解析：（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為y2=-2px(p＞0),其焦點(diǎn)為(-p由拋物線的定義知,（-5,m）到焦點(diǎn)的距離是6,即(-5,m)到準(zhǔn)線的距離是6,∴p2+5=6,∴p=2,∴答案：（2）由已知得,拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸正半軸上,也可能在x軸負(fù)半軸上．故可設(shè)拋物線的方程為y2∵拋物線y2=ax(a≠0)與圓x2∴點(diǎn)A與B關(guān)于x軸對稱,故設(shè)A(x,∴|y1|=|∴|y1|=|y∴A(±1,3)或A(±1,-3),將其代入拋物線方程,得3=±a,∴a=±3.∴所求拋物線的方程是y2=3x或解題感悟用待定系數(shù)法求拋物線方程的步驟：遷移應(yīng)用1.已知邊長為1的等邊三角形AOB,O為原點(diǎn),AB⊥x軸,則以O(shè)為頂點(diǎn)且過A、B兩點(diǎn)的拋物線的方程是()A.yB.yC.yD.y答案：B解析：不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸的上方,當(dāng)拋物線開口向右時,可設(shè)拋物線的方程為y2易知A(32,12同理,當(dāng)拋物線開口向左時,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-3探究點(diǎn)二由拋物線的方程求其幾何性質(zhì)精講精練例已知拋物線y（1）求出該拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍;（2）P是拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)Q(4,0),求|PQ|的取值范圍.答案：（1）拋物線y2=8x的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍分別為(0,0),(2,0),x=-2,x軸,（2）設(shè)P(x0∴|PQ|=(當(dāng)且僅當(dāng)x0=0時,|PQ變式本例的拋物線方程不變,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn),作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦點(diǎn)F是△OAB的重心,求△OAB的周長．答案：如圖所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x軸,設(shè)垂足為點(diǎn)M,由焦點(diǎn)F是△OAB的重心可得|OF|=23|OM|.因?yàn)镕(2,0),所以|OM|=32|OF|=3,所以M(3,0)．故設(shè)A(3,m),代入y2=8x得所以m=26,所以A(3,26),則B(3,-26),所以|OA|=|OB|=33,所以△OAB的周長為233解題感悟把握三個要點(diǎn)確定拋物線的幾何性質(zhì)：（1）開口：由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程看圖像開口,關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項(xiàng)是x還是y,一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù)．（2）關(guān)系：頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間,準(zhǔn)線垂直于對稱軸．（3）定值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p;過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦（又稱為通徑）長為2p;離心率恒等于1.遷移應(yīng)用1.若拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)A是拋物線上一點(diǎn),且∠AFO=120°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)）,AK⊥l答案：4解析：由拋物線方程知F（1,0）,準(zhǔn)線l的方程為x=-1.如圖,設(shè)A(x0,y0),過A作AH⊥x由∠AFO=120°所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0解得x0=3或x0=13（舍去）,所以點(diǎn)探究點(diǎn)三拋物線的焦點(diǎn)弦問題精講精練例（2020山東鄒城一中高二月考）已知拋物線C：y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線方程是（1）求拋物線C的方程;（2）過點(diǎn)F且傾斜角為π4的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),求|AB|（3）設(shè)點(diǎn)M在拋物線C上,且|MF|=6,求△OFM的面積(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).答案：（1）因?yàn)閽佄锞€C的準(zhǔn)線方程是x=-2,所以p2=2即故拋物線C的方程為y2（2）因?yàn)橹本€l過點(diǎn)F,且傾斜角為π4所以直線l的方程是聯(lián)立y2=8xy=x-2設(shè)A(x1,故|AB|=x（3）設(shè)M(x0,y0),因?yàn)閷?4,y0)代入方程y則△OFM的面積為12解題感悟1.拋物線的焦半徑：定義拋物線的焦半徑是指以拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)為端點(diǎn)的線段焦半徑公式P(x0,①若拋物線為y2=2px(p>0),則②若拋物線為y2=-2px(p>0),則③若拋物線為x2=2py(p>0),則④若拋物線為x2=-2py(p>0),2.過焦點(diǎn)的弦長的求解方法：設(shè)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為,A(x1y遷移應(yīng)用1.設(shè)拋物線C:x2=2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F,M(p,p-1)（1）求拋物線C的方程;（2）若過點(diǎn)(0,2)的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且|AF||BF|=13,求直線l的方程.答案：（1）因?yàn)镸(p,p-1)是拋物線C上的點(diǎn),所以p2又p＞0,所以解得p=2,則拋物線C的方程為x2（2）設(shè)A(x1,y由y=kx+2x2=4y得由拋物線的定義知|AF|=y則|AF||BF|=(解得k=±1,所以直線l的方程為y=x+2或y=2-x.評價檢測·素養(yǎng)提升1.頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為y軸,頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x2=16yC.x2=±8y答案：D2.若拋物線y2=x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離,則點(diǎn)A.(14C.(14答案：B3