中考總復(fù)習(xí)-幾何模型專題五

相似模型5.4比例式或乘積式的證明技巧理論依據(jù)情境導(dǎo)入考點(diǎn)聚焦典例精講查漏補(bǔ)缺課堂小結(jié)提升能力考點(diǎn)歸納知識(shí)梳理題型概述

通過前面的學(xué)習(xí),我們知道,比例線段的證明,離不開“平行線模型”(A型、X型、K型等),也離不開下面的6種“相似模型”.“模型”只是工具,怎樣選擇工具,怎樣使用工具,取決于我們?nèi)绾嗡伎紗栴}.合理的思維方法,能讓模型成為解題的利刃,讓復(fù)雜的問題變簡(jiǎn)單.

【技巧一】三點(diǎn)定型法

【技巧二】等長(zhǎng)代換法

【技巧三】等比代換法【技巧四】等積代換法

三點(diǎn)定型法01等長(zhǎng)代換法02等比代換法03等積代換法04證等量先證等比05知識(shí)要點(diǎn)精講精練【例1】如圖,平行四邊形ABCD中,E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),DE交BC于F.求證：ADCFEB三點(diǎn)：C、D、F；

三點(diǎn)：A、D、E。知識(shí)點(diǎn)一典例精講三點(diǎn)定型1.在Rt△ABC中,AD是斜邊BC上的高,BE平分∠ABC交AC,AD于E,F.求證：BF?BC＝BA?BEAFECDB三點(diǎn)：A、B、F；

三點(diǎn)：B、C、E。解：∵BE平分∠ABC,∴∠1=∠2,12∵AD是斜邊BC上的高,∴∠BAC=∠ADC=90o,34∴∠3+∠4=∠4+∠C=90o,∴∠3=∠C,∴△ABF∽△CBE,∴∴BF?BC＝BA?BE,三點(diǎn)定形知識(shí)點(diǎn)一針對(duì)訓(xùn)練三點(diǎn)定型三點(diǎn)定型法01等長(zhǎng)代換法02等比代換法03等積代換法04證等量先證等比05知識(shí)要點(diǎn)精講精練【例2-1】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)E在邊BA的延長(zhǎng)線上,CE交AD于F,∠ECA=∠D求證：AC·BE=CE·AD.替換比列式中的某一條線段.AFDCEBBC知識(shí)點(diǎn)二典例精講等長(zhǎng)代換法橫豎找不到(找不到相似三角形或找到但不相似),讓出去：等長(zhǎng)代換試一試.【例2-2】如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分線交AD于E,交BC的延長(zhǎng)線于F.求證：FD2=FB·FC.替換比列式中的兩條線段.AEFCDBFAFA知識(shí)點(diǎn)二典例精講等長(zhǎng)代換法知識(shí)點(diǎn)二針對(duì)訓(xùn)練等長(zhǎng)代換法1.如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60o,E是射線CB上一點(diǎn),F是邊CD上一點(diǎn),且∠EAF=120o.求證：AC替換比列式中的某一條線段.AFDCBE2.如圖,△ABC中,AB=AC,AD是中線,P是AD上一點(diǎn),過C作CF∥AB,延長(zhǎng)BP交AC于E,交CF于F.求證：BP2=PE·PF.證明：連接PC∴PC2＝PE·PF∴∠3=∠F∵AB=AC,AD是中線∴AD垂直平分BC∴BP=CP∴∠1=∠2∵AB=AC∴∠1+∠3=∠2+∠4∴∠3=∠4∵CF∥AB∴∠4＝∠F∵∠CPE是△CPE和△FPC的公共角∴△CPE∽△FPC∴PE∶PC＝PC∶PF∴BP2＝PE·PFCPCP等長(zhǎng)代換知識(shí)點(diǎn)二針對(duì)訓(xùn)練等長(zhǎng)代換法三點(diǎn)定型法01等長(zhǎng)代換法02等比代換法03等積代換法04證等量先證等比05知識(shí)要點(diǎn)精講精練【例3-1】如圖,已知AB∥CD,AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：OA?PD=OC?PAAB∥CDAOBCDP△PAB∽△PDC△AOB∽△CODOA?PD=OC?PA知識(shí)點(diǎn)三典例精講等比代換法兩次運(yùn)用平行線中的A型或X型找中間比(本題的中間比是：)【例3-2】如圖,在△ABC中,已知∠BAC=90o,AD⊥BC于D,E為直角邊AC的中點(diǎn),過D、E作直線交AB的延長(zhǎng)線于F.求證：AB·AF=AC·DF.證明：∵∠A=90o,AD⊥BC∴△FBD∽△FDA∴AB·AF=AC·DF.∴△ABD∽△CAD∴∠1=∠C=90o-∠ABC∵∠BDA=∠ADC=90o∵AD⊥BC,E為直角邊AC中點(diǎn)∴DE=EC∴∠3=∠C∵∠3=∠2,∠1=∠C∴∠1=∠2∵∠F是△FBD與△FDA的公共角兩次運(yùn)用相似找中間比AFDECB123(本題的中間比是：)知識(shí)點(diǎn)三典例精講等比代換AGCBEFD知識(shí)點(diǎn)三針對(duì)訓(xùn)練等比代換法1.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,連接AD,點(diǎn)G在AD上,GE∥BD,交AB于點(diǎn)E,GF∥AC,交CD于點(diǎn)F,求證：(本題的中間比是：)知識(shí)點(diǎn)三針對(duì)訓(xùn)練等比代換法GFPBADCEH2.如圖,在□ABCD的對(duì)角線BD上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P引一直線分別與BA,DC兩邊的延長(zhǎng)線交于E,G兩點(diǎn),又與BC,AD兩邊分別交于點(diǎn)F,H.求證：

DG∥BE,DG∥BE證明：在□ABCD中.(本題的中間比是：)三點(diǎn)定型法01等長(zhǎng)代換法02等比代換法03等積代換法04證等量先證等比05知識(shí)要點(diǎn)精講精練【例4】如圖,在△ABC中,AD⊥BC于點(diǎn)D,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,求證：AE·AB=AF·ACAFCDBE由射影定理得：AD2=AE·AB；AD2=AF·AC.知識(shí)點(diǎn)四典例精講等積代換(本題的中間積是：AD2)遇等積,化等比,橫找豎看定相似.知識(shí)點(diǎn)四針對(duì)訓(xùn)練等積代換法2.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在BC和AC邊上,點(diǎn)G是BE上一點(diǎn),且∠BAD=∠BGD=∠C.連接AG.求證：AGBDEC(本題的中間積是：BD·BC)三點(diǎn)定型法01等長(zhǎng)代換法02等比代換法03等積代換法04證等量先證等比05知識(shí)要點(diǎn)精講精練【例5】如圖,△ABC為等腰直角三角形,點(diǎn)P為AB上任意一點(diǎn),PF⊥BC，PE⊥AC,AF交PE于N,BE交PF于M，求證：(1)PM=PN；(2)MN∥AB.AMNPFBCEaabbPM=PNMN∥AB知識(shí)點(diǎn)五典例精講證等量先證等比2.如圖,已知平行四邊形ABCD中,E、F分別在直線AD、CD上，EF∥AC,BE、BF分別交AC于M、N.求證：AM=CN.AMFDECBNAD∥BCAB∥CDAC∥EFAM=CN知識(shí)點(diǎn)五針對(duì)訓(xùn)練證等量先證等比

比例線段的證明,離不開“平行線模型”(K型、A型、X型等),也離不開6種“相似模型”。本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了相似三角形的5大證明技巧中的哪3種？我們學(xué)習(xí)了①三點(diǎn)定型法；②等長(zhǎng)代換法；③等比代換法；④等積代換法.

“模型”只是工具,怎樣選擇工具,怎樣使用工具,取決于我們?nèi)绾嗡伎紗栴}.合理的思維方法,能讓模型成為解題的利刃,讓復(fù)雜的問題變簡(jiǎn)單。知識(shí)梳理課堂小結(jié)相似三角形的五大證明技巧證明：∵∠BAC=90o,M為BC的中點(diǎn).∴AM∶MD=ME∶AM1.如圖,△ABC中,∠BAC=90o,M為BC的中點(diǎn),DM⊥BC交CA的延長(zhǎng)線于D,交AB于E,求證：AM2=MD·ME.∵∠BAC=90o,DM⊥BC∴MA=MB∴∠B=∠1∴∠D=∠B=90o-∠C∴∠1=∠D∵∠2=∠2∴△EAM∽△ADM∴AM2=MD·ME三點(diǎn)：A、M、E；

三點(diǎn)：A、M、D。三點(diǎn)定型提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練比例式或乘積式的證明技巧2.(1)如圖1,△ABC中,AD平分∠BAC,EF垂直平分AD,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

求證：DF2=BF·CF(2)△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,CF∥BA,BF交AD于點(diǎn)P,交AC于點(diǎn)E,

求證：BP2=PE·PFAPEFCDB圖1AEFCDB圖2等長(zhǎng)代換法提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練比例式或乘積式的證明技巧3.(1)如圖1,△ABC中,AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD與CE相交干0點(diǎn),

求證：0C·BD=AB·OD(2)如圖2,∠ACB=90o,FD垂直平分AB,交AC于點(diǎn)E,

求證：DC2=DE·DF(遇平方,找有公共邊的相似三角形)ACBDFE圖1CBAEOD圖2等積代換法提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練比例式或乘積式的證明技巧4.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E在邊BC上,且△ADE是等邊三角形,∠BAC=120o,求證：DE2=BD·CE.ACEDB替換比列式中的兩條線段.AEAD提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練比例式或乘積式的證明技巧ACFEDB∴△BAF∽△BEA.∴BD·BC=BF·BE證明：∵∠BAC=90o,AD⊥BC.∴∠BAC=∠BDA=90o.∵∠ABD=∠CBA.∴△ABD∽△CBA.∴AB2=BD·BC.∵∠BAC=90o,AF⊥BE.∴∠BAC=∠AFB=90o.∵∠FBA=∠ABE.∴AB2=BF·BE.等積代換法提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練比例式或乘積式的證明技巧5.如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90o,AD⊥BC于點(diǎn)D,E是AC上任意一點(diǎn),連接BE,過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F.求證：BD·BC=BF·BE.6.如圖,□ABCD中,過B作直線AC、AD于O、E,交CD的延長(zhǎng)線于F,求證：OB2=OE·OF.AEODFCBAB∥CDAD∥BCOB2=OE·OF等比代換(本題的中間比是：)提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練比例式或乘積式的證明技巧7.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90o,AD⊥BC,P為AD的中點(diǎn),EF⊥BC.求證：EF2=AE·EC.APECFDBG延長(zhǎng)BA、FE交于點(diǎn)G,△BAP∽△BGE△BDP∽△BFE∵AP=PD,∴GE=EF.△AEG∽△FECEF2=AE·EC等比代換(本題的中間比是：)提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練比例式或乘積式的證明技巧8.如圖,已知CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，在EC的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)P，連接AP,BG⊥AP于點(diǎn)G,交CE于點(diǎn)D.求證：CE2=PE·DE.PGCBEAD由射影定理得：CE2=PE·DE(本題的中間積是：AE·BE)提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練比例式或乘積式的證明技巧等積代換9.如圖,在△ABC中,∠ACB=90o,點(diǎn)D在邊BC上，CE⊥AB,CF⊥AD,E,F分別是垂足,連接EF.求證：AE·BD=AD·EF.AFDCEB(本題的中間積是：AC2)提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練比例式或乘積式的證明技巧等積代換10.如圖,在△ABC中(AB＞AC)的邊AB上取一點(diǎn)D,在邊AC上取一點(diǎn)E,使AD=AE,直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P.求證：BP·CE=CP·BDADEPCBF過點(diǎn)B作BF∥AC交PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.則BF=BD△PBF∽△PCEBFF等線段代換替換比列式中的某一條線段.提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練比例式或乘積式的證明技巧11.如圖,在△ABC中,∠BAC=90o,D為AC中點(diǎn),AE⊥BD,E為垂足.求證：∠CBD=∠ECD.AEDBC由射影定理得：DA2=DE·DB又∵D為AC中點(diǎn)，∴DA=DC∴DC2=DE·DB∴△DCE∽△DBC∴∠CBD=∠ECD等積代換提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練比例式或乘積式的證明技巧12.如圖,正方形BFDE內(nèi)接于△ABC,CE與DF交于點(diǎn)N,AF交ED于點(diǎn)M，CE與AF交于點(diǎn)P.求證：(1)EM=DN；(2)MN∥AC.AMNEDCFBPbaaEM=DNMN∥AC證等量先證等比提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練證等量先證等比13.