二輪大題專練9—數(shù)列（裂項相消）1．在公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．解：（1）由題意，設等差數(shù)列的公差為，則，，，，成等比數(shù)列，，即，化簡整理，得，解得（舍去），或，，，（2）由（1），可得，．2．設為等差數(shù)列的前項和，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且是，的等差中項，若，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和．解：（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．因為是，的等差中項，所以，化簡得，，，因為各項均為正數(shù)，所以，因為，所以，，所以，因為，，解得，所以．（Ⅱ）因為的前項和為，所以，所以，，所以．3．設等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，且，，，求證：的前項和．解：（1）設等差數(shù)列的公差為，，，，，解得，．．（2）證明：．，，，則：的前項和，根據(jù)，，，．．．4．在①點在函數(shù)的圖象上；②；③這三個條件中任選一個，補充到下面問題中，并解答．在數(shù)列中，為其前項和，，______，其中．（1）求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．解：（1）選擇①：由題意知，，當時，．因為，所以時也滿足上式，所以．選擇②：由，得，所以，因為，所以，所以，又，所以成以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以．選擇③：，當時，，與相減得，所以因為，所以成以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以．（2）由（1）知，所以，所以．5．已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．解：（1）設等差數(shù)列的公差為．因為，，成等比數(shù)列，所以，即，整理可得或，而，且，所以，解得，所以，即數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，所以．6．在①，②，③中任選兩個，補充在橫線上，并回答下面問題．已知公差不為0的等差數(shù)列，且_____．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．解：（1）選①②時，在①，②，已知公差不為0的等差數(shù)列，所以，解得，，所以．選①③時，在①，③，已知公差不為0的等差數(shù)列，所以，解得，，所以．選②③時，②，③，已知公差不為0的等差數(shù)列，所以，解得，，所以．（2）由于，所以，則．7．在公差不為0的等差數(shù)列中，，且為與的等比中項．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和．解：（Ⅰ）在公差不為0的等差數(shù)列中，，且為與的等比中項．可得，且，即，解得，，則，；（Ⅱ），．8．等差數(shù)列中，，，其前項和為．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求的前項和．（Ⅲ）若數(shù)列滿足，且前項和為，求證：．解：設等差數(shù)列的公差為，，，，解得，．．．的前項和．．．，．．9．已知等比數(shù)列前項和為，，，數(shù)列的各項為正，且滿足，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求證：．解：（1）設公比為的等比數(shù)列前項和為，，，所以，整理得，由于，所以，故．由于，整理得，解得．數(shù)列的各項為正，且滿足，所以（常數(shù)），所以數(shù)列是以首項為1，公差為2的等差數(shù)列．所以，所以．證明：（2）由（1）得：，所以，由于數(shù)列單調遞增，由于，所以：．10．在數(shù)列，中，，，且，．（1）求，的值；（2）求的通項公式；（3）設，記的前項和為，證明：．解：（1）數(shù)列，中，，且，，當時，，所以．根據(jù)，解得．所以，．（2）由于，故①②得：，故（常數(shù)），所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列；所以．（3）證明：，所以．由的每一項都為正數(shù)，所以，故．38．已知數(shù)列前項和為，且，，數(shù)列為等差數(shù)列，，且．（Ⅰ）求數(shù)列和的通項公式；（Ⅱ）若，求的前