2019年湖南省衡陽市中考數學試卷

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分在每小題給出的四個選項中,只有一

項是符合題目要求的.）

1.（3分）-3的絕對值是（）

4

A.-3B.WC.-AD.A

4433

2.（3分）如果分式'?在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）

x+1

A.xW-1B.x>-1C.全體實數D.x=-1

3.（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四號任務“鵲橋”中繼星成功實施軌道捕獲控

制，進入環繞距月球65000公里的地月拉格朗日L2點”使命軌道，成為世界首顆運

行在地月L2點Halo軌道的衛星，用科學記數法表示65000公里為（）公里.

A.0.65X105B.65X103C.6.5X104D.6.5X105

4.（3分）下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

c?D,aw

5.（3分）下列各式中，計算正確的是（）

A.867-3b=5abB.（/）3=a5C.aSjra4=a2D.a1*a=a3

6.（3分）如圖，已知AB〃CQ,AF交CD于點E,HBEA.AF,/BED=40°,則NA的

度數是（）

A.40°B.50°C.80°D.90°

7.（3分）某校5名同學在“國學經典頌讀”比賽中，成績（單位：分）分別是86,95,97,

90,88,這組數據的中位數是（）

A.97B.90C.95D.88

8.（3分）下列命題是假命題的是（）

A.〃邊形（心3）的外角和是360°

B.線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等

C.相等的角是對頂角

D.矩形的對角線互相平分且相等

9.（3分）不等式組J的整數解是（）

x+4>2

A.0B.-1C.-2D.1

10.（3分）國家實施”精準扶貧“政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路.某地區2016

年底有貧困人口9萬人，通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人.設2016

年底至2018年底該地區貧困人口的年平均下降率為x,根據題意列方程得（）

A.9（1-2x）=1B.9（1-x）2=1C.9（l+2x）=1D.9（1+x）2=1

11.（3分）如圖，一次函數yi=fcv+6（AW0）的圖象與反比例函數）2=皿（機為常數且，”

x

#0）的圖象都經過A（-1,2）,B（2,-1）,結合圖象，則不等式船+6>里的解集是

x

（）

A.x<-1B.-l<x<0

C.x<-1或0<x<2D.-l<x<0或x>2

12.（3分）如圖，在直角三角形ABC中，NC=90°,AC=BC,E是48的中點，過點E

作AC和8c的垂線，垂足分別為點。和點尸，四邊形CQEF沿著CA方向勻速運動，點

C與點A重合時停止運動，設運動時間為/,運動過程中四邊形CDEF與AABC的重疊

部分面積為S.則S關于r的函數圖象大致為（）

B

E

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分.）

13.（3分）因式分解：2/-8=.

14.（3分）在一個不透明布袋里裝有3個白球、2個紅球和。個黃球，這些球除顏色不同其

它沒有任何區別.若從該布袋里任意摸出1個球，該球是黃球的概率為工，則a等

2

于.

15.（3分）揚-遂=.

16.（3分）計算：_L_=.

X-l1-X

17.（3分）已知圓的半徑是6,則圓內接正三角形的邊長是.

18.（3分）在平面直角坐標系中，拋物線＞=7的圖象如圖所示.已知A點坐標為（1,1）,

過點A作A4〃x軸交拋物線于點4,過點4作AIA2〃0A交拋物線于點A2,過點A2

作4泊3〃工軸交拋物線于點A3,過點A3作A3A4〃交拋物線于點4.,依次進行下

去，則點A2019的坐標為

三、解答題（本大題共8個小題，19-20題每題6分，21-24題每題8分，25題1（）分，26

題12分，滿分66分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

19.（6分）（!）-3+lV3-2|+tan60°-（-2019）0

2

20.（6分）進行了統計，并繪制了如下兩幅不完整的統計圖.請結合統計圖中的信息解決

下列問題:

課程選擇情況條形統計圖課程選擇情況扇形統計圖

（1）這次學校抽查的學生人數是;

（2）將條形統計圖補充完整；

（3）如果該校共有1000名學生，請你估計該校報。的學生約有多少人？

21.（8分）關于x的一元二次方程/-3x+A=0有實數根.

（1）求k的取值范圍；

（2）如果上是符合條件的最大整數，且一元二次方程（m-1）/+x+〃?-3=0與方程-

-3x+k=0有一個相同的根，求此時m的值.

22.（8分）如圖，在一次綜合實踐活動中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面。處測得

樓房頂部A的仰角為30°,沿坡面向下走到坡腳C處，然后向樓房方向繼續行走10米

到達E處，測得樓房頂部A的仰角為60°.已知坡面CO=10米，山坡的坡度i=l：V3

（坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求樓房A3高度.（結果精確到0.1米）

(參考數據：遂F.73,72^1.41)

//樓

。說。/房

阻(60。

CEB

23.(8分)如圖，點A、B、C在半徑為8的。。上，過點B作BO〃AC,交。4延長線于

點。.連接BC,且N8C4=NOAC=30°.

(1)求證：8。是。。的切線；

(2)求圖中陰影部分的面積.

24.(8分)某商店購進A、B兩種商品，購買1個A商品比購買1個B商品多花10元，并

且花費300元購買A商品和花費100元購買B商品的數量相等.

(1)求購買一個A商品和一個8商品各需要多少元；

(2)商店準備購買A、B兩種商品共80個，若A商品的數量不少于8商品數量的4倍,

并且購買A、B商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方

案？

25.(10分)如圖，二次函數y=/+fer+c的圖象與x軸交于點A(-1,0)和點B(3,0),

與)，軸交于點N,以AB為邊在x軸上方作正方形A8CD,點P是x軸上一動點，連接

CP,過點P作CP的垂線與y軸交于點E.

(1)求該拋物線的函數關系表達式；

(2)當點尸在線段OB(點P不與0、8重合)上運動至何處時，線段OE的長有最大

值？并求出這個最大值；

(3)在第四象限的拋物線上任取一點M,連接MN、MB.請問：△M8N的面積是否存

在最大值？若存在，求出此時點M的坐標：若不存在，請說明理由.

26.（12分）如圖，在等邊AABC中，AB^6cm,動點P從點A出發以/cnz/s的速度沿AB

勻速運動.動點。同時從點C出發以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運動，當點P

到達點B時，點P、。同時停止運動.設運動時間為以f（s）.過點尸作PELAC于E,

連接尸。交4c邊于。.以C。、CE為邊作平行四邊形CQBE.

（1）當,為何值時，aBP。為直角三角形；

（2）是否存在某一時刻/,使點F在/ABC的平分線上？若存在，求出，的值，若不存

在，請說明理由；

（3）求。E的長；

（4）取線段BC的中點M,連接將△BPM沿直線PM翻折，得^夕RW,連接A8',

當，為何值時，AB'的值最??？并求出最小值.

BC—2

2019年湖南省衡陽市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分在每小題給出的四個選項中,只有一

項是符合題目要求的.）

1.（3分）-3的絕對值是（）

4

A.-3B.?C.-AD.A

4433

【分析】根據負數的絕對值是它的相反數，即可解答.

【解答】解：|-W=W,故選：B.

44

【點評】本題考查了相反數，解決本題的關鍵是熟記負數的絕對值是它的相反數.

2.（3分）如果分式」」在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）

x+1

A.x#-1B.x＞-1C.全體實數D.x=-1

【分析】根據分式有意義的條件即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：x+iro,

xW-1,

故選：A.

【點評】本題考查分式的有意義的條件，解題的關鍵是熟練運用分式有意義的條件，本

題屬于基礎題型.

3.（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四號任務“鵲橋”中繼星成功實施軌道捕獲控

制，進入環繞距月球65000公里的地月拉格朗日L2點Ha/o使命軌道，成為世界首顆運

行在地月L2點”軌道的衛星，用科學記數法表示65000公里為（）公里.

A.0.65X105B.65X103C.6.5X104D.6.5X105

【分析】科學記數法的表示形式為“X10”的形式，其中1W間＜10,〃為整數.確定n

的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相

同.當原數絕對值＞1時.，〃是正數；當原數的絕對值＜1時，〃是負數.

【解答】解：科學記數法表示65000公里為6.5X104公里.

故選：C.

【點評】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為aX10"的形式，其

中〃為整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及”的值.

4.（3分）下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【分析】直接利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

8、不是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

。、既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故此選項正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了中心對稱與軸對稱的概念：軸對稱的關鍵是尋找對稱軸，兩邊

圖象折疊后可重合，中心對稱是要尋找對稱中心，旋轉180°后與原圖重合.

5.（3分）下列各式中，計算正確的是（）

A.Sa-3b—SabB.（a2）3=a5C.iz84-a4=a2D.（^,a=a>

【分析】分別根據合并同類項的法則、同底數基的乘法法則、募的乘方法則以及同底數

幕除法法則解答即可.

【解答】解：A、8a與%不是同類項，故不能合并，故選項A不合題意；

B、（J）3=不，故選項B不合題意；

C、/+〃4=〃4,故選項。不符合題意；

D、a1'a—cc）,故選項。符合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查了累的運算性質以及合并同類項的法則，熟練掌握運算法則是解

答本題的關鍵.

6.（3分）如圖，已知AB〃C。，AF交CQ于點E,且BE_LAF,NBED=40°,則NA的

度數是（）

ED

AB

A.40°B.50°C.80°D.90°

【分析】直接利用垂線的定義結合平行線的性質得出答案.

【解答】解：NBED=40°,

.'.ZFED=50°,

■:ABHCD,

：.ZA=ZFED=50°.

故選：B.

【點評】此題主要考查了平行線的性質以及垂線的定義，正確得出NFEQ的度數是解題

關鍵.

7.（3分）某校5名同學在“國學經典頌讀”比賽中，成績（單位：分）分別是86,95,97,

90,88,這組數據的中位數是（）

A.97B.90C.95D.88

【分析】先將題中的數據按照從小到大的順序排列，然后根據中位數的概念求解即可.

【解答】解：將小明所在小組的5個同學的成績重新排列為：86、88、90、95、97,

所以這組數據的中位數為90分，

故選:B.

【點評】本題考查了中位數的概念：將一組數據按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺?/p>

歹如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；

如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數.

8.（3分）下列命題是假命題的是（）

A."邊形（〃N3）的外角和是360°

B.線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等

C.相等的角是對頂角

D.矩形的對角線互相平分且相等

【分析】根據多邊形的外角和、線段垂直平分線的性質、對頂角和矩形的性質判斷即可.

【解答】解：A、〃邊形523）的外角和是360°,是真命題；

8、線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，是真命題；

C、相等的角不一定是對頂角，是假命題；

。、矩形的對角線互相平分且相等，是真命題；

故選：C.

【點評】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯

誤的命題稱為假命題；經過推理論證的真命題稱為定理.

Q3V

的整數解是()

{x+4>2

A.0B.-IC.-2D.1

【分析】先求出不等式組的解集，再求出整數解，即可得出選項.

'2x>3x①

【解答】解:

x+4>2②

解不等式①得：x<0,

解不等式②得：x>-2,

不等式組的解集為-2Vx<0,

不等式組的整數解是-1,

x+4>2

故選：B.

【點評】本題考查了解一元一次不等式的應用，能靈活運用不等式的性質進行變形是解

此題的關鍵.

10.(3分)國家實施”精準扶貧“政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路.某地區2016

年底有貧困人口9萬人，通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人.設2016

年底至2018年底該地區貧困人口的年平均下降率為x,根據題意列方程得()

A.9(I-2x)=1B.9(1-x)2=1C.9(1+2%)=1D.9(1+x)2=1

【分析】等量關系為：2016年貧困人口乂(1-下降率)2=2018年貧困人口，把相關數

值代入計算即可.

【解答】解：設這兩年全省貧困人口的年平均下降率為x,根據題意得：

9(1-X)2=1,

故選：B.

【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，得到2年內變化情況的等量關系是

解決本題的關鍵.

11.（3分）如圖，一次函數yi=H+〃（&W0）的圖象與反比例函數”=見（m為常數且相

x

W0）的圖象都經過A（-1,2）,B（2,-1）,結合圖象，則不等式丘+6>皿的解集是

C.x<-1或0<x<2D.或x>2

【分析】根據一次函數圖象在反比例函數圖象上方的x的取值范圍便是不等式依+6>見的

X

解集.

【解答】解：由函數圖象可知，當一次函數），尸自+%*W0）的圖象在反比例函數”=皿

x

（〃?為常數且，"W0）的圖象上方時，x的取值范圍是：x<-l或0<xV2,

二不等式履+b>皿的解集是-1或0Vx<2

x

故選：C.

【點評】本題是一次函數圖象與反比例函數圖象的交點問題：主要考查了由函數圖象求

不等式的解集.利用數形結合是解題的關鍵.

12.（3分）如圖，在直角三角形ABC中，NC=90°,AC=8C,E是AB的中點，過點E

作AC和的垂線，垂足分別為點。和點凡四邊形CDEF沿著C4方向勻速運動，點

C與點4重合時停止運動，設運動時間為t,運動過程中四邊形CDEF與△A8C的重疊

部分面積為S.則S關于/的函數圖象大致為（）

BK

CD

【分析】根據已知條件得到aABC是等腰直角三角形，推出四邊形EFCO是正方形，設

正方形的邊長為“，當移動的距離時，如圖15=正方形的面積-H的面積=

a2--I72；當移動的距離＞a時，如圖2,S—SMCH——(2a-f)2——t2-2at+2a2,根

222

據函數關系式即可得到結論；

【解答】解：；在直角三角形48c中，ZC=90°,AC=BC,

.?.△ABC是等腰直角三角形，

,：EF1BC,ED±AC,

四邊形EFCZ)是矩形，

是AB的中點，

：.EF=^AC,DE=LBC,

22

：.EF=ED,

四邊形EFCD是正方形，

設正方形的邊長為a,

如圖1當移動的距離＜a時，5=正方形的面積-aEE'，的面積=/-▲/；

2

當移動的距離＞a時，如圖2,5=5AAC-H=—(2a-z)2=.Lp-2at+2a2,

22

.??S關于r的函數圖象大致為C選項，

B

CDD,

圖1

【點評】本題考查動點問題的函數圖象，正方形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵

是讀懂題意，學會分類討論的思想，屬于中考常考題型.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分.)

13.(3分)因式分解：2a2-8=2Q+2)(。-2).

【分析】首先提取公因式2,進而利用平方差公式分解因式即可.

【解答】解：2a2-8=2(a2-4)=2(a+2)(a-2).

故答案為:2(a+2)(a-2).

【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應用乘法公式是解題

關鍵.

14.(3分)在一個不透明布袋里裝有3個白球、2個紅球和。個黃球，這些球除顏色不同其

它沒有任何區別.若從該布袋里任意摸出1個球,該球是黃球的概率為工,則。等于5.

2

【分析】根據概率公式列出關于。的方程，解之可得.

【解答】解：根據題意知=工，

3+2+a2

解得。=5,

經檢驗：4=5是原分式方程的解，

??。=5,

故答案為：5.

【點評】本題主要考查概率公式，解題的關鍵是掌握概率=所求情況數與總情況數之比.

15.(3分)V27-V3=_2V3-.

【分析】先將二次根式化為最簡，然后合并同類二次根式即可得出答案.

【解答】解：原式=36-蟲=2我.

故答案為：2。"§.

【點評】此題考查了二次根式的加減運算，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握二次根

式的化簡及同類二次根式的合并，難度一般.

16.（3分）計算：_J—+-L-=1.

X-l1-X

【分析】原式變形后，利用同分母分式的減法法則計算即可得到結果.

【解答】解：原式=上-工

X-1X-1

=X-1

X-1

=1.

故答案為：1.

【點評】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

17.（3分）已知圓的半徑是6,則圓內接正三角形的邊長是6近.

【分析】易得正三角形的中心角為120°,那么中心角的一半為60°,利用60°的正弦

值可得正三角形邊長的一半，乘以2即為正三角形的邊長.

【解答】解：如圖，圓半徑為6,求AB長.

NAOB=360°4-3=120°

連接04,OB,作0CLA8于點C,

\'OA=OB,

：.AB=2AC,ZAOC=60a,

；.AC=OAXsin60°=6X丈

2

工AB=2AC=60

故答案為：6^3-

【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，先利用垂徑定理和相應的三角函數知識

得到4C的值是解決本題的關鍵.

18.（3分）在平面直角坐標系中，拋物線），=/的圖象如圖所示.已知A點坐標為（I,1）,

過點A作A41〃x軸交拋物線于點4,過點4作AIA2〃OA交拋物線于點42,過點A2

作A2A3〃x軸交拋物線于點A3,過點A3作A3A4〃OA交拋物線于點4.,依次進行下

去，則點A2019的坐標為（-1010,101（）2）.

【分析】根據二次函數性質可得出點Ai的坐標，求得直線4A2為y=x+2,聯立方程求

得42的坐標，即可求得A3的坐標，同理求得4的坐標，即可求得A5的坐標，根據坐標

的變化找出變化規律，即可找出點A20I9的坐標.

【解答】解：：A點坐標為(1,1),

直線0A為＞=*,Ai(-1,1),

"：A\Ai//OA,

直線442為y=x+2,

fy=x+2fx=-lfx=2

解＜o得4或＜,

v=x2Iy=iIy=4

???A2(2,4),

??.A3(-2,4),

YA3A4〃04,

???直線A34為y="6,

解尸+：得盧-2或卜=3,

y=x2Iy=4\y=9

???A4(3,9),

???A5(-3,9)

,,,,

AA2019(-1010,10102),

故答案為(-1010,10102).

【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、一次函數的圖象以及交點的坐標，

根據坐標的變化找出變化規律是解題的關鍵.

三、解答題(本大題共8個小題，19-20題每題6分，21-24題每題8分，25題10分，26

題12分，滿分66分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

19.（6分）（工）3+lV3-2|+tan60°-（-2019）0

2

【分析】直接利用特殊角的三角函數值以及零指數基的性質、特殊角的三角函數值分別

化簡得出答案.

【解答】解：原式=8+2-赤+我7

=9.

【點評】此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵.

20.（6分）進行了統計，并繪制了如下兩幅不完整的統計圖.請結合統計圖中的信息解決

下列問題：

課程選擇情況條形統計圖課程選擇情況扇形統計圖

（1）這次學校抽杳的學生人數是40；

（2）將條形統計圖補充完整；

（3）如果該校共有1000名學生，請你估計該校報。的學生約有多少人？

【分析】（1）利用A項目的頻數除以它所占的百分比得到調查的總人數；

（2）計算出C項目的人數后補全條形統計圖即可；

（3）用總人數乘以樣本中該校報D的學生數占被調查學生數的比例即可得.

【解答】解：（1）這次學校抽查的學生人數是12?30%=40（人），

故答案為：40人；

（2）C項目的人數為40-12-14-4=10（人）

條形統計圖補充為：

八年級(3)班研學項目選擇情況的

條形統計圖

(3)估計全校報名軍事競技的學生有1000X_L=100(人).

40

【點評】本題考查條形統計圖、扇形統計圖、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確

題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答.

21.(8分)關于x的一元二次方程7-3x+A=O有實數根.

(1)求上的取值范圍；

(2)如果k是符合條件的最大整數，且一元二次方程(〃?-1)/+x+〃?-3=O與方程/

-3x+k=0有一個相同的根，求此時，”的值.

【分析】(1)利用判別式的意義得到4=(-3)2-我》0,然后解不等式即可；'

(2)利用(1)中的結論得到上的最大整數為2,解方程/-3x+2=O解得xi=l,%2=2,

把x=l和x=2分別代入一元二次方程("L1)/+x+相-3=0求出對應的相，同時滿足

"2-1W0.

【解答】解：(1)根據題意得△=(-3)2-4^0,

解得kQ

4

(2)k的最大整數為2,

方程?-3x+Z=0變形為?-3X+2=0,解得川=1,X2=2,

???一元二次方程(W-1)/+x+m-3=0與方程/-3x+&=0有一個相同的根，

???當x=l時，加-1+1+根-3=0,解得機=3；

2

當元=2時，4(機-1)+2+m-3=0,解得加=1,

而機-1#0,

：.m的值為2.

2

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程/+法+。=0(aWO)的根與△=y-4ac

有如下關系：當△>?時，方程有兩個不相等的實數根；當△=()時，方程有兩個相等的

實數根；當△＜（）時，方程無實數根.

22.（8分）如圖，在一次綜合實踐活動中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面。處測得

樓房頂部A的仰角為30。，沿坡面向下走到坡腳C處，然后向樓房方向繼續行走10米

到達E處，測得樓房頂部A的仰角為60°.已知坡面8=10米，山坡的坡度，=1：M

（坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求樓房AB高度.（結果精確到0.1米）

（參考數據：遮p1.73,我七1.41）

【分析】過。作。GJ_BC于G,OH_LAB于"，交4E于凡作/P_LBC于P,則力G=

FP=BH,DF=GP，求出/￡)CG=30°,得出FP=￡)G=Lc￡)=5,CG=V^Z>G=5?,

2

求出。尸=6產=竺返+10,證出ND4尸=30°=ZADF,得出4尸=。產=22返+10,得

33

出尸〃=工4/=生叵+5,因此即可得出答案.

23

【解答】解：過。作。G_LBC于G,DHLAB于H,交AE于F,作/T_LBC于尸，如圖

所示：

則DG=FP=BH,DF=GP,

?.,坡面8=10米,山坡的坡度i=l：a，

AZDCG=30°,

：.FP=DG^1-CD=5,

2

:.CG=^^DG=5M，

:NFEP=6Q°,

：.FP=y/3EP=5,

：.EP=^H.,

3_

.?.DF=GP=5J3+10+-^/l=2Q^,+10,

33

VZAEB=60°,

.?./EA8=30°,

VZADH=30°,

：.ZDAH=60°,

：.ZDAF=30°=ZADF,

；.AF=￡）F=20匹+10,

3_

/7/=J_AF=.l°立+5，

23

.?.A/7=&F”=10+5。

AB=AH+BH=104-573+5=15+5?弋15+5X1.73七23.7（米）,

答：樓房AB高度約為23.7米.

GCEPB

【點評】此題是解直角三角形的應用--仰角，俯角問題，主要考查了仰角、坡度的定

義，能夠正確地構建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類

題的關鍵.

23.(8分)如圖，點A、B、C在半徑為8的。0上，過點B作BO〃AC,交。4延長線于

點、D.連接BC,且/BCA=NOAC=30°.

(1)求證：8。是。。的切線；

(2)求圖中陰影部分的面積.

【分析】(1)連接OC,根據圓周角定理求出NCQ4,根據三角形內角和定理求出NOCA,

根據切線的判定推出即可；

(2)根據平行線的性質得到/=30°,解直角三角形求出8。，分別求出△BOO的面積

和扇形4OB的面積，即可得出答案.

【解答】(1)證明：連接。8,交CA于E,

VZC=30°,NC—/BOA,

2

...NBO4=60°,

ZBCA=ZOAC=30°,

AZAEO=90Q,

即OBLAC,

'：BD//AC,

；.NDBE=NAEO=90°,

是。。的切線；

（2）解：\'AC//BD,NOCA=90°,：.ZD=ZCAO=30°,

VZOBD=90°,OB=8,

，BO=&OB=8?,

?'?Sm—S^BDO~S扇形AOB=LX8X8M-60"兀X82=32?-

23603

BD

'不

【點評】本題考查了平行線的性質，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解直角

三角形等知識點的綜合運用，題目比較好，難度適中.

24.（8分）某商店購進4、B兩種商品，購買1個A商品比購買1個B商品多花10元，并

且花費300元購買A商品和花費100元購買8商品的數量相等.

（1）求購買一個A商品和一個B商品各需要多少元；

（2）商店準備購買A、8兩種商品共80個，若A商品的數量不少于8商品數量的4倍,

并且購買48商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方

案？

【分析】（1）設購買一個8商品需要x元，則購買一個A商品需要（x+10）元，根據數

量=總價+單價結合花費300元購買A商品和花費100元購買B商品的數量相等，即可

得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；

(2)設購買B商品〃?個，則購買A商品(80-m)個，根據A商品的數量不少于B商

品數量的4倍并且購買A、8商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，即可得出關

于機的一元一次不等式組，解之即可得出，"的取值范圍，再結合加為整數即可找出各購

買方案.

【解答】解：(1)設購買一個B商品需要無元，則購買一個A商品需要(x+10)元，

依題意，得：?_=坨，

x+10x

解得：x=5,

經檢驗，x=5是原方程的解，且符合題意，

/.%+10=15.

答：購買一個4商品需要15元，購買一個B商品需要5元.

(2)設購買8商品機個，則購買A商品(80-根)個，

’80F》41n

依題意，得一15(80-m)+5m>100G

15(80TD)+5I[<105C

解得：15W/nW16.

為整數，

.'.ZM=15或16.

，商店有2種購買方案，方案①：購進4商品65個、B商品15個；方案②：購進4商

品64個、8商品16個.

【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：(1)

找準等量關系，正確列出分式方程；(2)根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不

等式組.

25.(10分)如圖，二次函數y=/+bx+c的圖象與x軸交于點A(-1,0)和點B(3,0),

與y軸交于點M以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD,點P是x軸上一動點，連接

CP,過點P作CP的垂線與y軸交于點E.

(1)求該拋物線的函數關系表達式；

(2)當點P在線段OB(點P不與。、B重合)上運動至何處時，線段OE的長有最大

值？并求出這個最大值；

(3)在第四象限的拋物線上任取一點M,連接MN、MB.請問：的面積是否存

在最大值？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)將點A、B的坐標代入二次函數表達式，即可求解；

(2)設。則PB=3-x,由△POEsaCBP得出比例線段，可表示OE的長，利

用二次函數的性質可求出線段OE的最大值：

(3)過點M作MH//y軸交BN于點H,由即可求解.

【解答】解：(1))?拋物線y=/+6x+c經過A(-1,0),B(3,0),

把A、B兩點坐標代入上式，1l-b+c=O,

I9+3b+c=0

解得：尸2,

lc=-3

故拋物線函數關系表達式為)，=/-2x-3；

(2)VA(-1,0),點B(3,0),

."8=04+08=1+3=4,

:正方形4BCD中，/ABC=90°,PCI.BE,

:.NOPE+NCPB=90°,

NCPB+NPCB=90°,

：.NOPE=NPCB,

又；NEOP=NP8C=90°,

:ZOEsACBP,

.BC_0P

設。P=x,則PB=3-x,

?4x

3rOE

.??O￡=L(23)；(總)2J_,

4、742^16

V0<x<3,

X3時，線段0E長有最大值，最大值為_L.

216

即0P=3時，線段OE有最大值.最大值是

216

（3）存在.

如圖，過點“作M//〃y軸交BN于點從

??x=o,y=-3,

；.N點坐標為（0,-3）,

設直線BN的解析式為y^kx+b,

j3k+b=0,

'lb=-3'

直線BN的解析式為y=x-3,

設M（“，a2-2a-3）,則，（ma-3）,

/.MH—a-3-（J-2。-3）--a~+3a>

119129

MNBBMHMNH（）十號）

/?S&=S^+S^=-￡-HH.QB=x-a"+3aX3=5

:蔣＜0，

.??a=g時，aMBN的面積有最大值，最大值是,此時M點的坐標為（為，-11）.

2824

【點評】本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征、二次

函數的性質和相似三角形的判定與性質；會利用待定系數法求函數解析式；理解坐標與

圖形性質，會利用相似比表示線段之間的關系.利用數形結合的思想把代數和幾何圖形

結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度是解題的關鍵.

26.（12分）如圖，在等邊AABC中，A8=6a〃，動點P從點A出發以/a*/s的速度沿A8

勻速運動.動點Q同時從點C出發以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運動，當點P

到達點B時，點P、Q同時停止運動.設運動時間為以t(5).過點P作PEYAC于E,

連接PQ交AC邊于￡>.以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE.

(1)當f為何值時，ABP。為直角三角形；

(2)是否存在某一時刻f,使點尸在N4BC的平分線上？若存在，求出f的值，若不存

在，請說明理由；

(3)求。E的長；

(4)取線段BC的中點M,連接將△8PM沿直線翻折，得連接AB',

當，為何值時，A8的值最??？并求出最小值.

【分析】(1)當8Q=2B尸時，/8PQ=90°,由此構建方程即可解決問題.

(2)如圖1中，連接BF交4c于證明EF=2EM,由此構建方程即可解決問題.

(3)證明DE=1AC即可解決問題.

2

(4)如圖3中，連接AM,AB'.根據AB'^AM-MB'求解即可解決問題.

【解答】解：(1);△ABC是等邊三角形，

AZB=60°,

當BQ=2BP時，NBPQ=90°,

；.6+/=2(6-f),

t—3>

.1=3時，ABP。是直角三角形.

(2)存在.

理由：如圖1中，連接BF交AC于M.

圖1

???8/平分NA3C,BA=BC,

：.BFLAC,AM=CM=3cmf

YEF//BQ,

：.ZEFM=ZFBC=kzABC=30°,

2

:.EF=2EM,

??"=2?(3-L),

2

解得r=3.

(3)如圖2中，作尸K〃8C交AC于K.

圖2

???△ABC是等邊三角形，

：.ZB=ZA=60°,

■:PK/IBC,

???NAPK=N8=60°,

AZA=ZAPK=ZAKP=60°,

???△APK是等邊三角形，

：.PA=PKf

*：PE±AK,

：.AE=EK,

'：AP=CQ=PK,ZPKD=ZDCQ,ZPDK=ZQDC,

:APKD義4QCD(AAS),

：.DK=DC,

:.DE=EK+DK=L(AK+CK)=J-AC=3(cm).

22

(4)如圖3中，連接AM,AB'

圖3

：BM=CM=3,AB=AC,

：.AM±BC,

???4M=YAB2-BH2=3仃

"：AB'^AM-MB',

：.AB'>3b-3,

：.AB'的最小值為3爪-3.

【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性偵，平行四邊形的判定和性質,

翻折變換，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常

用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸

題.

初中數學重要公式

1、幾何計數：

⑴當一條直線上有n個點時，在這條直線上存在條線段.

⑵平面內有n個點，過兩點確定一條直線，在這個平面內最多存在條直線.

⑶如果平面內有。條直線，最多存在個交點.

⑷如果平面內有n條直線，最多可以將平面分成部分.

（5）、有公共端點的n條射線（兩條射線的最大夾角小于平角），則存在.個角.

2、AB//CD,分別探討下面四個圖形中N4%與/為8、NRN的關系。

3、全等三角形的判定方法：

a.三條邊對應相等的兩個三角形全等（簡記為）.

b.兩個角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（簡記為）.

c.兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（簡記為）.

d.兩條邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（簡