費馬點與加權費馬點【例題1】．（1）知識儲備①如圖1,已知點P為等邊△ABC外接圓的BC上任意一點.求證：PB+PC=PA.②定義：在△ABC所在平面上存在一點P,使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為^ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離.（2）知識遷移①我們有如下探尋△ABC（其中NA,ZB，/C均小于120°）的費馬點和費馬距離的方法：如圖2,在4ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓，根據（1）的結論，易知線段的長度即為△ABC的費馬距離.②在圖3中，用不同于圖2的方法作出△ABC的費馬點P（要求尺規作圖）.（3）知識應用①判斷題（正確的打J,錯誤的打X）：.任意三角形的費馬點有且只有一個;.任意三角形的費馬點一定在三角形的內部.②已知正方形45。。，尸是正方形內部一點，且以+總+尸C的最小值為立班，求正方形ABCD的邊長.A【練習1】．（1）閱讀證明①如圖1,在4ABC所在平面上存在一點尸，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為^ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離.②如圖2,已知點尸為等邊外接圓的標上任意一點.求證：PB+PC=B4.（2）知識遷移根據（1）的結論，我們有如下探尋△ABC（其中NA,ZB，/C均小于120°）的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖3,在4ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；第二步:在標上取一點尸°,連接尸尸o8尸0C,尸。。.易知尸/+尸膽+尸°C：尸》+（尸05+尸0C）=P0A+；第三步：根據（1）①中定義，在圖3中找出△ABC的費馬點P，線段的長度即為^ABC的費馬距離.（3）知識應用已知三村莊A,B,C構成了如圖4所示的△ABC（其中NA,NB，/C均小于120°）,現選取一點P打水井，使水井P到三村莊A,B,C所鋪設的輸水管總長度最小.求輸水管總長度的最小值．【練習2】．問題探究將幾何圖形按照某種法則或規則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換．旋轉變換是幾何變換的一種基本模型．經過旋轉，往往能使圖形的幾何性質明白顯現．題設和結論中的元素由分散變為集中，相互之間的關系清楚明了，從而將求解問題靈活轉化．問題提出：如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，P為八ABC內部一點，連接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值.方法分析：通過轉化，把由三角形內一點發出的三條線段（星型線）轉化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用“兩點之間線段最短”求最小值（化折為直）．問題解決：如圖2,將4BPA繞點B逆時針旋轉60°至4BP'AI連接PP、AC,記A'C與AB交于點D,易知BA'=BA=BC=1,ZA'BC=ZA'BA+ZABC=120°.由BP'=BP,ZP'BP=60°,可知△PBP為正三角形，有PB=P'P.故PA+PB+FC=P'A+F'P+PC>AZCVS.因此，當4、尸、尸、。共線時，PA+PB+PC有最小值是學以致用：（1）如圖3,在^ABC中，ZBAC=30°,AB=4,CA=3,P為^ABC內部一點，連接PA、PB、PC,則的最小值是.（2）如圖4,在中，/B4c=45；蛙=2亞，CA=3,尸為△/BC內部一點，連接以、pb、pc,求V^FA+PB+FC的最小值.（3）如圖5,P是邊長為2的正方形ABCD內一點，Q為邊BC上一點，連接PA、PD、PQ，求PA+PD+PQ的最小值.【練習3].如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD(不含B點)上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN,連接EN、AM、CM.(1)求證：△AMB/△ENB；(2)①當M點在何處時，AM+CM的值最小;②當M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由;(3)當的最小值為行(3)當的最小值為行+1時，求正方形的邊長.【練習4].在邊長為2的正方形ABCD內求一點R使得PA+PB+PC之和為最小，并求這個最小值及此時PA個最小值及此時PA、PB、PC的大小.A D【練習5].（1）閱讀材料：如圖（1）,四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN,連接EN、AM、CM,①求證：△AMB/△ENB；②當M點在何處時，AM+CM的值最小；③當M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；（2）根據閱讀材料所提供的數學思想和方法，完成下面的題目：如圖（2）,A、B、C、D四個城市恰好為一個正方形的四個頂點,要建立一個公路系統,使每兩個城市之間都【練習6].如圖，△ABC中，NBAC=30°且AB=AC,P是底邊上的高AH上一點.若4P+AP+CP的最小值為2乃，貝ljBC=.SHC【練習8】．綜合與實踐：發現問題：如圖①，已知：^OAB中，OB=3,將4OAB繞點O逆時針旋轉90°得4OA‘B，連接BB’.貝°BB'=.問題探究：如圖②，已知△/BC是邊長為羽E的等邊三角形，以為邊向外作等邊△BC。，尸為△ABC內一點，將線段CP繞點C逆時針旋轉60°,P的對應點為Q.(1)求證：△DCQ/△BCP(2)求PA+PB+PC的最小值.實際應用：如圖③，某貨運場為一個矩形場地ABCD,其中AB=500米，AD=800米，頂點A、D為兩個出口，現在想在貨運廣場內建一個貨物堆放平臺P，在BC邊上(含B、C兩點)開一個貨物入口X,并修建三條專用車道PA、PD、PX.若修建每米專用車道的費用為10000元,當M,P建在何處時,修建專用車道的費用最少？最少費用為多少？【思考】。七上n