實用標準直線與圓方程一、直線的方程、傾斜角：L、斜率：

，范圍≤若lx軸或與x軸合時，0關：=0=0已知L上兩點P（x）111

0

＜

2

0（,y2

=

2

不存在

k=

y1

2

2當x=x時，0，存在。當0時，＜0時，+arctank2、截距（略）曲線過原點橫截距都為0。、直線方程的幾種形式斜截式

已知、b

方程

說明不含y軸行平

幾種特殊位置的直線①x軸y=0于y的直線點斜式

=(x)y-y)111k

不含y軸平行于y的直線

②y軸：x=0兩點式

(x,y)1x,y2(22)

yxyyx12

不含坐標輛和平行于坐標軸的直線

③平行于軸：y=b截距式一般式

a

xaAx+by+c=0

不含坐標軸、平④行于軸x=a行于坐標軸和⑤過原點：過原點的直線A不時為0兩個重要結論：①平面內(nèi)任何一條直線的方程都是關于xy的二元一次方程。②任何一個關于x、y的二元一次方程都示一條直線。、直線系）共點直線系方程：p（x,y）定值，k參數(shù)y-y（x-x）000特別：y=kx+b表示過、b的直線系（不含y軸（2平行直線系：y=kx+b，k為定值為數(shù)。②AX+BY+入=0表與Ax+By+C=0平的線系③BX-AY+入=0示與垂的直線系（3過L,L交的直線系Ax+B+入AX+BY+C）=0（不L212122、三點共線的判定：①

BC

，②K，ABBC③寫出過其中兩點的方程，再驗證第三點在直線上。二、兩直線的位置關系文檔大全

實用標準、平行重合相交垂直

L：y=k11L：y=k22K=k且b≠112K=k且b11Kk12K1·k2=-1

L：AX+BY+C1111L：AX+BY+C2222AC1ACAC11ACAAAA+B=0112

L與L組成的方程組1無解有無數(shù)多解有唯一解（說明：當直線平行于坐標軸時，要單獨考慮）、L到L的角為，則12

211

（

k12

）、夾角：

tan

k2k2、點到直線距離：

Ax00

（已知點（p(x,y，L：）0①兩行平線間距離：L=AX+BY+CL：AX+BY+C112

c

②與平行且距離為d的線方程為Ax+By+C

d2③與=0和=0行且距離相等的直線方程是12AX

C1

2

0、對稱）點關于點對稱p(x關于M（x）的對稱110（2點關于線的對稱：設p(ab)

PX00對稱軸

對稱點

p

對稱軸

對稱點

p

X軸

Y軸y=x

pp

X=m(m≠≠0)

p、b)p)一般方法：文檔大全

﹡實用標準﹡如圖：(路1)設P點關于L的稱點為P,y)則KppK=－000L中點滿足L方0程解出(x,y)00（思路2）寫出過⊥L的線方程，先求垂足，然后用中點坐標公式求出(x,y的坐標。0yL

0x（3直線關于點對稱LAX+BY+C=0關點P（X、Y）對稱直線l-X）（-Y）000（4直線關于直線對稱①幾種特殊位置的對稱：已知曲線、關于x軸對稱曲線是、關于y=x對曲線是、關于y軸稱曲線是、關y=-x對曲線是、關于原點對稱曲線是、關于對曲線是f(2a-xy)=0關于對曲線是f(x2b-y)=0一般位置的對稱、結合平幾知識找出相關特征，逐步求解。三、簡單的線性規(guī)劃LY不等式表示的區(qū)域OXAX+BY+C=0約束條件、線性約束條件、目標函數(shù)、線性目標函數(shù)、線性規(guī)劃，可行解，最優(yōu)解。要點：①作圖必須準確（建議稍畫大一點性約束條件必須考慮完整。③先找可行域再找最優(yōu)解。四、圓的方程、圓的方程：①標準方程

y)r

2

，c（、）為圓心，r為徑。②一般方程：

x2yF0

，

DE,

r

D2EF當

D

2

E

2

F0

時，表示一個點。當

D

2

F0

時，不表示任何圖形。文檔大全

實用標準③參數(shù)方程：

xaco

yrsin

為參數(shù)以A（X，YB（Y）為直徑的兩端點的圓的方程是1（X-XX-X）+（Y-YY-Y）=0121、點與圓的位置關系：考察點到圓心距離d，然后與r比較大小。、直線和圓的位置關系：相交、相切、相離判定①立方程組消一個未知量得到一個一元二次方程eq\o\ac(△,：)相交eq\o\ac(△,、)相切、△＜0相離②利用圓心c、到直線AX+BY+C=0距離來定：＜相、d＝相＞相離（直線與圓相交，注意半徑、弦心距、半弦長所組成的eq\o\ac(△,kt)、圓的切線）過圓上一點的切線方程與圓

x

2yr2

相切于點（x、y）的切線方程是11

x11

2與圓

)

2)2r

相切于點（x、y）切成方程11為：

x)(x)y)()r1

2與圓

x

2

DXF0

相切于點（x、y）切線是1xy(11

xy1)(1

)F（）過圓外一切線方程的法：已知：(x，y)是圓00)y)2r

外一點1

2)r21①設切點是p、y解方程1(x)()y)()r201先求出的標，再寫切線的方程1②設切線是

yx0

即

kxykx00再由

kxy0k2

0

，求出，寫出方程。（當k值一時，應結合圖形、考察是否有垂直于x軸的切線）③已知斜率的切線方程：設

ykx

（b待用心到L離為，確定。、圓與圓的位置關系由圓心距進行判斷、相交、相離（外離、內(nèi)含（外切、內(nèi)切）、圓系文檔大全

實用標準①同心圓系：

)

22r2

、常數(shù)r為參數(shù)）或：

x

2y

DXF0

（D、E為數(shù)，F(xiàn)為數(shù)）②圓心在x軸：

r③圓心在y軸

x

2)r④過原點的圓系方程

x)

2)2⑤過兩圓

C2y2E111

和C:2

2

2

XEY022

的交點的圓系方程為x

2

2

XYF(x1

2

y

2

DXEY22

（不含中2入為參數(shù)若與相，則兩方程相減所得一次方程就是公共弦所在直線方程。12類一圓方例1求兩點

(1

(3

且圓心在直線

y

上的圓的標準方程并判斷點

(2

與圓的關系．分：求圓的標準方程，需求出圓心坐標的圓的半徑的大小，而判斷點

P

與圓的位置關系，只須看點

P

與圓心的距離和圓的半徑的大小關系，若距離大于半徑，則點在圓外；若距離等于半徑，則點在圓上；若距離小于半徑，則點在圓內(nèi)．解一待定系數(shù)法）設圓的標準方程為

x)

2)2

．∵圓心在

y

上，故

b

．∴圓的方程為

)2yr2

．又∵該圓過

(1

、

(3

兩點．r2∴)2r2解之得：

，

r

．所以所求圓的方程為

2y

．解二直接求出圓心坐標和半徑）因為圓過文檔大全

,、,2)

兩點所以圓心必線段AB的直平分線l上又為

22222實用標準22222

AB

4l的斜率為1又AB的點為,3)，的直平分線l的程1為：

yx

即

xy

．又知圓心在直線y上故圓心標為

C(∴半徑

rAC

(12

．故所求圓的方程為

2

2

．又點

(24)到心C(,

的距離為(225r∴點在外．

．說：題利用兩種方法求解了圓的方程都圍繞求圓的圓心和半徑這兩個關鍵的量然后根據(jù)圓心與定點之間的距離和半徑的大小關系來判定點與圓的位置關系點換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關系呢？例2求徑為，與圓

x

22

相切，且和直線y相的圓的程．分：據(jù)問題的特征，宜用圓的標準方程求解．解則題意，設所求圓的方程為圓

C

2)22

．圓

與直線

y

相切，且半徑為，圓心

的標為C(a,4)或C(a

．又已知圓

x

2

x的心的坐標為(2,

，半徑為3．若兩圓相切，則

CA

或

CA

．當

C(a1

時，

2(42，或(a22

(無)故可得a

．∴所求圓方程為

(x10)

2

y4)

2

4

2

，或

(x)

2

y

2

4

2

．當

C,2

時，

a，或(

(無)，a26

．∴所求圓的方程為

(6)

2

y

2

2

，或

(6)

2

y

2

4

2

．說：本題，易發(fā)生以下誤解：由題意，所求圓與直線相且半徑為，則圓心坐標為文檔大全

C(

，且方程形如

y或xy或xy)

2

2

2

又

x

2

y

2

即(

2

2

2

其心為

(2

，半徑為3．若兩圓相切，則

A

．故

(42

，解之得a

．所以欲求圓的方程

(x10)2y4

，或(x)22

．上述誤解只考慮了圓心在直線

y

上方的情形漏了圓心在直線

y

下方的情形外，誤解中沒有考慮兩圓內(nèi)切的情況．也是不全面的．例3求過點

5)

，且與直線

xy和y

都相切的圓的方程．分：確定圓的方程．需確定圓心坐標與半徑，由于所求圓過定A，只需確定圓心坐標．又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上．解∵圓和直線

xy與2y

相切，∴圓心

C

在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線

xy

和

2y

的距離相等．∴

5

5

．∴兩直線交角的平分線方程是

xy或3

．又∵圓過點

5)

，∴圓心

C

只能在直線

3

上．設圓心

C(t,3t)∵C到線

的距離等于，∴

2t5

t

2

．化簡整理得

t

t

．解得：

t

或

t∴圓心是

(1,

，半徑為或圓心是

(5,

，半徑為5．∴所求圓的方程為

x

2222

．文檔大全

實用標準說：題決的關鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上而確定圓心坐標得到圓的方程，這是過定點且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法．例、設圓足(1)截y軸所得弦長為；(2)軸成兩段弧，其弧長的比為:1，滿足條件(的所有圓中，求圓心到直線

l：

的距離最小的圓的方程．分：求圓的方程只利用條件求出圓心坐標和半徑，便可求得圓的標準方程．滿足兩個條件的圓有無數(shù)個其圓的集合可看作動點的軌跡能求出這軌跡的方程便可利用點到直線的距離公式過最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標而定圓的半徑，求出圓的方程．解一設圓心為

()

，半徑為r．則

P

到

x

軸、

軸的距離分別為

b

和

a

．由題設知：圓截

x

軸所得劣弧所對的圓心角為

90

，故圓截

x

軸所得弦長為

r

．∴

r

2又圓截所得弦長為．∴

r2

．又∵

(a,)

到直線

xy

的距離為d

a5∴

ab

a

2

b

2

ababa222當且僅當a時=”號，此時

d

min

55

．這時有

b22∴或文檔大全

實用標準r2又故所求圓的方程為

x

2y2或x2y

解二同解法一，得d

a5

．∴

a

．∴

a

24b5bd2

．將

ab2

代入上式得：bdd上述方程有實根，故

．2

，∴將

dd

5555

．代入方程得

．又

∴

．由

a

知

、

b

同號．故所求圓的方程為

x

2y2或x2y

．說：題是求點到直線距離最小時的圓的方程，若變換為求面最小呢？類二切方、點方、共方例5已圓

x

2y2

，過點．解∵點

不在圓

上，∴線

PT

的直線方程可設為

根據(jù)

r

∴

解得文檔大全

k

34

32實用標準32所以即

43因為過圓外一點作圓得切線應該有兩條見另一條直線的斜率不存在求另一條切線為

x

．說：述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補回漏掉解．本題還有其他解法例把所設切線方程代入圓方程判別式等于0解（也要注意漏解可以運用

xyr00

2

，求出切點坐標

x

0

、

y

0

的值來解決，此時沒有漏解．例兩

C：xxE0與C22DEy011122

相交于A、兩點，求它們的公共弦AB所直線的方程．分：先求A、B兩的坐標，再用兩點式直線AB的程，但是求兩圓點坐標的過程太繁．為了避免求交點，可以采用“設而不求”的技巧．解設兩圓

C

、

C

的任一交點坐標為

y)00

，則有：Dxy0101

①0

2

0

2

Dxy22

②①－②得：

DyF0120102

．∵

A

、

B

的坐標滿足方程

(DxE)yF2121

．∴方程

(DxE)yF是、B兩的直線方程．2121又過、兩點的直線是唯一的．∴兩圓

C

C

的公共弦

AB

所在直線的方程為

(D)xE)yF21212

．說：述解法中，巧妙地避開了求

A

、

B

兩點的坐標，雖然設出了它們的坐標，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達到了目標．從解題的角度上說，這是一種“設而不求的巧從識內(nèi)容的角度上說還體現(xiàn)了對曲線與方程的關系的深刻理解以及對直線方程是一次方程的本質(zhì)認識．它的應用很廣泛．例7、過圓

x

2

外點M(2,3)

，作這個圓的兩條切線MA、MB，點分別是、B，求直線AB的程練習：．求過點

(3,1)

，且與圓

(x2

相切的直線

l

的方程解：設切線方程為

yx

，即

kx

，∵圓心

(1,0)

到切線

l

的距離等于半徑

，文檔大全

實用標準∴

|kk

，解得

34

，∴切線方程為

(x

，即

3

，當過點

M

的直線的斜率不存在時方程為

x

圓

(1,0)

到此直線的距離等于半徑

，故直線

x

也適合題意。所以，所求的直線

l

的方程是

3

或

x

．、過坐標原點且與圓

xy

52

相切的直線的方程為解：設直線方程為

ykx

，即

kx

∵圓方程可化為

(x2

52

，∴圓心102k為（2，徑為依題意有，解得2

1kk，直線方程3為

y

或

、已知直線

5x

與圓

2xy20

相切，則

的值為

解(2y的心

2

得a或

類三弦、問例8、求直線

l:3x

被圓

C:2y2x0

截得的弦

AB

的長例9、直線

3xy3

截圓

y

得的劣弧所對的圓心角為解題得心

故弦長

AB2r

2

從eq\o\ac(△,而)OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為

AOB

例10求兩圓

x2y2y

和

xy2

的公共弦長類四直與的置系例11已知直線

33和圓x

y

，判斷此直線與已知圓的位置關例12若直線

ym

與曲線

y

2

有且只有一個公共點，求實數(shù)m取值范.解∵線

y

2

表示半圓

y

4(0)

∴用數(shù)形結合法可得實數(shù)的取值范圍是

或

2

文檔大全

實用標準例13圓

2y

上直線3

的距離為1的有幾個？分：助圖形直觀求解．或先求出直線

l

、

l

的方程，從代數(shù)計算中尋找解答．解一圓

2y

的圓心為

(33)

，半徑

r

．設圓心

O

到直線

3

的距離為

，則

d

3322

2

．如圖，在圓心

O

同側(cè)，與直線

3

平行且距離為1的線

l

與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意．又

r

．∴與直線

3x

平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意．∴符合題意的點共有．解二符合題意的點是平行于直線

3

，且與之距離為1的線和圓的交點．設所求直線為

3，

m

，∴

即m或m

，也即l

，或

ly

．設圓

Oy1

的圓心到直線

l

、

l

的距離為

d

、

d

，則

2

，

2

．∴

l

與

O

相切，與圓

O

有一個公共點；

l

與圓

O

相交，與圓

O

有兩個公共點．即符合題意的點共個．說：于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：設圓心

O

到直線

30

的距離為

，則

d

332

2

．∴圓

O

到

30

距離為1點有兩個．文檔大全

實用標準顯然，上述誤解中的

是圓心到直線

30

的距離，

dr

，只能說明此直線與圓有兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1．到一條直線的距離等于定值的點與此直線距離為這個定值的兩條平行直線上此中所求的點就是這兩條平行直線與圓的公共點直線與圓的公共點個數(shù)般據(jù)圓與直線的位置關系來判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比較來判斷．練習1直線

x與x

2y

ay(

沒有公共點，則a的值范圍是解：依題意有

a2

a

，解得.

0

，∴a

練習2若直線

y

與圓

(x2)y2

有兩個不同的交點則

的取值范圍是

解：依題意有

k

，得

，∴的值范圍是

4(0,)3

練習、圓

x2x

上到直線

xy

的距離為

的點共有（（A）1個（B2個（3個D）分：

x

2

y

2

0化

圓為

為

r2

，圓心到直線的距離為2，以在圓上共有三個點到直線的距離等于，以選．練習、過

值時，直線l與C

有公共點，如圖所示．分：察動畫演示，分析思路．解設直線

l

的方程為

y即

O

xkxk根據(jù)

r

有

Ek

整理得

文檔大全

1P實用標準1P解得0類五圓圓位關問題導學四：圓與圓位置關系如何確定？

43

．例14判斷圓關系，

C:x2xy26與圓Cx2012

的位置例15圓

y

0和

y

4y

的公切線共有

條。解：∵圓

(x22

的圓心為

(1,0)1

，半徑

r1

，圓

y2

的圓心為O徑rOOrr.rOr222122112∴兩圓相交.有2條切線。練習

，若

x

2ymx20與xy2x4m

0

相切則數(shù)

的取值集合是

解圓

(x)

4的心為(m

半徑

r2(1

2

y)

2

的圓心為

O()2

，半徑

r32

，且兩圓相切，∴

r2

或

r21

，∴(

(2m

或(

(2)

，解得m

或m，或m0或

，∴實數(shù)的取值集合是{,0,2}5

：求與圓

外于點(

，且半徑為的圓的方程.解：設所求圓的圓心為

O(,)1

，則所求圓的方程為

x))2

兩圓外切于點，OPOO31

，∴

(ab)，b

，∴求圓方程為(

y6)

20

類六圓的稱題例16圓

x

2y

x

關于直線

2

對稱的圓的方程是文檔大全

實用標準例

自點

軸，被x軸射，反射光線

y所在的直線與圓

C：x

2y2

y0

相切Ml和反射光線所在直線方程．（1求光線到切點所經(jīng)過的路程．（2光線自分、解觀察畫演示，分析思路．根據(jù)對稱關系，首先求出

A

C

N點

A

的對稱點

的坐標為

的圓

C

的切線方程為

GOB

x根據(jù)

，即求出圓

C的切線的斜率為4k或k3

A進一步求出反射光線所在的直線的方程為

圖4

或

3最后根據(jù)入射光與反射光關于

x

軸對稱，求出入射光所在直線方程為4或xy光路的距離為'M，可由勾股定理求得

A

M

A

CCM

．說：題亦可把圓對稱到

x

軸下方，再求解．類七圓的值題例：

x2x0

上的點到直線

x

的最大距離與最小距離的差是解：∵圓

(

y2)

的圓心為（2，徑

r2

，∴圓心到直線的距離

52

，∴直線與圓相離，∴圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是(drr2

例19已知圓

O1

2，P)為O上的動點求dy2

的最大、最小值．(2)已知圓

2)2

22

，()

為圓上任一點．求

yx

的最大、最小值，求xy

的最大、最小值．分：(2)小題都涉及到圓上點的坐標，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結合解決．解法由圓的標準方程文檔大全

y

．

'min實用標準'min可設圓的參數(shù)方程為

xy

（

是參數(shù)則

dx2

2

2

26cos

26cos(

（其中

tan

43

所以

d

max

，

d

min

2616

．(法圓上點到原點距離的最大值等圓心到原點的距離加半徑1點到原點距離的最小值

d

等于圓心到原點的距離

d

'

減去半徑1．所以

1

2

2

．22

．所以

d

max

．d

min

．法1)由

2)

22

得圓的參數(shù)方程：

xysin

是參數(shù)．則

sin．coscos

，得

sin

，

2

t

2t1

3334

．所以

t

max

33，t．44即

3333的最大值為，最小值為．44此時

ycos

sin

5

．所以

xy

的最大值為

，最小值為

5

．(法設

，則kx由于()

是圓上點，當直線與圓有交點時，如圖所示，文檔大全

222實用標準222兩條切線的斜率分別是最大、最小值．由

2

，得

3

．所以

33的最大值為，小值為．4令

xy

，同理兩條切線在

軸上的截距分別是最大、最小值．由

d

5

，m5

．所以

xy

的最大值為

，最小值為

5

．例20已

(2,0)

，

點

P

在圓

(3)

y4)

4

上運動則

PB的最小值是

解

x

則(x

x

y

2(

2設圓心為

C

，則

OP

OCmin

，∴PA的小值為2

26

練習：：已知點

x

在圓

上運動（1求

的最大值與最小值）

2

的最大值與最小.解）設

yx

k

，則

表示點

x

與點（21連線的斜當該直線與圓相切時，

取得最大值與最小值.由

k

解

3∴的大值為最小值3為

33

文檔大全

實用標準（2

2xym

m

表示直線

2xym

在

軸上的截距當該直線與圓相切時取得最大值與最小值.由

，解得

5

，∴

2y

的最大值為

5

，最小值為

5

點

(x,y)

是圓

x

2y2

是任一點，求

u

的取值范圍．分一利用圓上任一點的參數(shù)坐標代替

x

、

，轉(zhuǎn)化為三角問題來解決．解一設圓

x2

上任一點

則有

cos

，

y

,∴

u

sin

，∴

u

∴

．即

u

）∴

(u2)u2

．又∵

sin(∴

解之得：

u

34

．分二

u

的幾何意義是過圓

x2

上一動點和定點

(

的連線的斜率，利用此直線與圓

x

2

2

有公共點，可確定出u的取值范圍．解二

u

得：

y(x

，此直線與圓

x

2

2

有公共點，故點(00)

到直線的距離．∴

解得：

u

34

．另外，直線

y(x

與圓

x2

的公共點還可以這樣來處理：文檔大全

22實用標準22由

y(xx

消去

后得：

2uuu

，此方程有實根，故

uu)4(2u0

，解之得：

u

34

．說：里將圓上的點用它的參數(shù)式表示出而將求變量的圍問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關知識來求解．或者是利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成斜率來求解，使問題變得簡捷方便．知點A(B(C(4,

P

在圓x

2

y

2

4上動PA的最大值和最小.類八軌問例、基礎訓練已知M與個定點O

，

A

的距離的比為

12

，求點的軌跡方程M例22已知線段的點的坐標是4點A在(線段的中點的軌跡方程.

y

上運動，求例如所示，已知圓

x

2y

與軸正方向交于點點B在線y2上運動，過

B

做圓

O

的切線，切點為

，求

ABC

垂心

H

的軌跡．分：常規(guī)求軌跡的方法設

H(,)找y的系非常難由H點隨B，C點運動而運動，可考慮H，三坐標之間的關系．解設

H(,)，

'

，連結AH，，則

BC

，

AB

，

是切線

OCBC

，文檔大全

'2222實用標準'2222所以OC，//OA，，所以四邊形AOCH是形．所以

CHOA

，得

yx

''

yx又

x

'

滿x

'

2

4

，所以

x

2y2

x0)

即是所求軌跡方程．說：目巧妙運用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的關知識取代入法求軌跡方程做題時應注意分析圖形的幾何性質(zhì)軌跡時應注意分析與動點相關聯(lián)的點相聯(lián)點軌跡方程已知，可考慮代入法．類九圓綜應例、已圓

x

22

x與線xy相交于P、Q兩，為點，且OQ，實數(shù)的．分：用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解．解一圖形中交MOMABAB，在直角三角形

AOM

中，若設

Qxy)

，則

M

,)2

．由

OM

AM

，即(

1)2)[(x)224

)

]

，也即

x

2

y

2

r

2

2

2)

，這便是

Q

的軌跡方程．解二設

(

、

(,)11

、

(,)2

，則

x，y1122

r

2

．又PQAB，即)

2

y)

2

x1

2

y)12

2

2r

2

xy1

．①又

AB

與

PQ

的中點重合，故

x

，

yy

，即文檔大全

0實用標準0)

2

y)

2

r

2

xxy)121

②①＋②，有

x

222r2

．這就是所求的軌跡方程．解三設

(r

rsin

、B(r

rsin

、(x)

，由于

為矩形，故

AB

與

PQ

的中點重合，即有xr

，①yrsin

sin

，②又由

PA

有

rrcos

rr

③聯(lián)立①、②、③消去

、

，即可得

Q

點的軌跡方程為

x2r22)

．說：題的條件較多且較隱含題路應清晰應充分利用圖形的幾何性質(zhì)，否則，將使解題陷入困境之中．本題給出三種解法其的解法是幾何方法充分利用了圖形中隱含的數(shù)量關系解法二與解法三，從本質(zhì)上是一樣的，都可以稱為參數(shù)方法．解法二涉及到了

、

、

、

四個參數(shù)，故需列出五個方程；而解法三中，由于借助了

2

的參數(shù)方程只涉及到兩個參數(shù)、，故只列出三個方程便可．上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數(shù)形結合的思想方法求解．練習：、動點P向

y

引兩條切線、PB切點分別為、BAPB，則動點

P

的軌跡方程是

解：

P(x,y)

∵

APB0，

0.∵

OAAP

，∴OP∴

2

2

2，簡得

，∴動點

P

的軌跡方程是

y

練習鞏固設

(,0),(cc

為兩定點動P點的距離與到B點距的比為定值

aa

，求

P

點的軌解：設動點

P

的坐標為

x

由

PAPB

a0)

，得

()()

22

，文檔大全

113M實用標準113M化簡得(1

2

)x

2

2

)

2

2

)

2

(1

2

)0當

時化簡得xy

21

2

)

x

2整得(xc)y(2a2

2

；當a時，簡得所以當

a

時，

P

點的軌跡是以

c

為圓心，

2aca2

為半徑的圓；當

a

時，

P

點的軌跡是

y

軸、已知兩定點

(

，

(1,0)

，如果動點

P

滿足

PAPB

，則點

P

的軌跡所包圍的面積等于解：設點

P

的坐標是

(y)

由

PAPB

，得x

2

y

2

2(x

2

y

2

，化簡得(x2)2y4，點P軌跡是以，0為圓心，半徑的圓，∴所求面積為4、知定點

，點A在圓

y

上運動，是線段上的一點，且1AMMB3

，問點

M

的軌跡是什么？解：設

,y),11

∵

AM

13

MB

，∴

1(x,y))3

，14x)xx33∴，∴.點1yyy11

A

在圓

2

上運動∴

，∴(2

y

39(x)2點的軌跡方程是()y416

例、已知定點

，點A在圓

y

上動的分線交于，則點

M

的軌跡方程是

文檔大全

Mx實用標準Mx解設

M(x),A)1

∵

OM

是

AOB

的平分線∴

AMMB

，∴

1MB3

9由變式得點的軌跡方程是(x)y.練習鞏固：已知直線

y

與圓

224

相交于

A

、

B

兩點，以

、

為鄰邊作平行四邊形

，求點

P

的軌跡方程.解

(y)，AB的點為.是行四邊形M是的點點M的坐標為

22

，且

OMAB

∵線

y

經(jīng)過定點

C

，∴

OMCM

，∴xxyOM,))2(222

，化簡得

y

.∴P的跡方程是

y2

類型九：圓的綜合應用例、已圓

x

22

x

與直線

xy

相交于

P

、

Q

兩點，

為原點，且OQ，實數(shù)的．分析：設

P

、

Q

兩點的坐標為

(x,y)1

、

(xy2

，則由

k

OQ

，可得xy121

再用一元二次方程根與系數(shù)關系求解因為通過原點的直線的斜率為

yy，由直線l與圓的方程造以為知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關系得出xxk

OQ

的值，從而使問題得以解決．解一設點

P

、

Q

的坐標為

(x,y)1

、

(xy2

．一方面，由

，得k

OQ

y即12也即：xxy121212

．①另一方面(x,y)()12

是方程組

xyx2y

的實數(shù)解xx是方程

5

m27

②的兩個根．∴

x112

4m5

．③文檔大全

1實用標準1又

P

、

Q

在直線

xy

上，∴

y2

11))[9)]22

．將③代入，得

y

m5

．④將③、④